Musterlösung - Uni Regensburg/Physik

Name & Matrikelnummer:
1
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
1. SI, Newton & Co. [14 Punkte] Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
Beantworten Sie durch Ankreuzen!
(a) Der Drehimpuls ist eine Vektorgröße.
wahr falsch (b) Ein starrer Körper, dessen Schwerpunkt sich nicht bewegt, besitzt keine kinetische
Energie.
wahr falsch (c) Die Stoffmenge N ist eine SI-Basisgröße.
wahr falsch (d) Das Newton ist eine SI-Basiseinheit.
wahr falsch (e) Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zeigt in die Richtung, in die sich die Oberfläche eines Körpers bei der Drehung bewegt.
wahr falsch (f) Bei einem inelastischen Stoß zweier Teilchen ist die Energie erhalten.
wahr falsch (g) Der Impuls ~p einer Masse m ist in der klassischen Mechanik gegeben durch ~p = m~v.
wahr falsch (h) In einem harmonisch schwingenden System (zB. näherungsweise Feder, Federpendel) sind die Beträge von Auslenkung und Beschleunigung der schwingenden Masse
zueinander proportional.
wahr falsch (i) Um eine gedämpfte Schwingung aufrechtzuerhalten, muß Arbeit verrichtet werden.
wahr falsch (j) In einem bewegten Bezugssystem wirken immer Scheinkräfte. wahr falsch (k) Wirken auf ein System von Teilchen keine äußeren Kräfte ein, dann ist der Gesamtimpuls des Systems konstant.
wahr falsch (l) Ein Kreisel führt nur eine Nutationsbewegung durch, wenn ein äußeres Drehmoment
anliegt.
wahr falsch (m) Das Trägkeitsmoment eines starren Körpers hängt von der Lage der Rotationsachse
ab.
wahr falsch (n) Die Schwingungsfrequenz eines ungedämpften harmonischen Oszillators ist konstant.
wahr falsch a) wahr, b) falsch, c) wahr, d) falsch, e) falsch, f) falsch, g) wahr, h) wahr, i) wahr, j) falsch,
k) wahr, l) falsch, m) wahr, n) wahr
Bitte alle Blätter einfach auf dem Tisch liegenlassen!
Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
2
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
2. Kompliziertes Pendel [9 Punkte] An der Decke hänge ein Pendelkörper (genähert als
Punktmasse), der zusätzlich über eine Feder senkrecht unter der Pendelaufhängung mit
dem Boden verbunden ist (siehe Abbildung). Die Masse des Pendelkörpers ist m, die Länge
des Fadens ` und die Federkonstante k. Die Feder ist entspannt genau `/2 lang, und der
Abstand zwischen Decke und Boden beträgt 23 `. Faden und Feder sind masselos; der Faden
ändert seine Länge nicht. Das Pendel wird nun so zur Seite gezogen, dass es einen Winkel
θmax zur Vertikalen bildet, und dann aus der Ruhe losgelassen.
θ
l
x
l/2
l/2
(a) Welche drei Kräfte (in Worten) wirken in diesem Moment auf den Pendelkörper; in
welche Richtungen zeigen sie?
Gewichtskraft (nach unten), Federkraft (zum Befestigungspunkt der Feder hin), Fadenkraft (zum Aufhängungspunkt hin)
(b) Leiten Sie die Formel für die Ausdehnung der Feder x(θ ) als Funktion des Winkels
θ her.
Nach dem Satz von Pythagoras für das untere rechtwinklige Dreieck in der Skizze
gilt
`
+x
2
2
3
= (` sin θ ) +
` − ` cos θ
2
2
2
Auflösen nach x ergibt
r
x=`
13
1
− 3 cos θ −
4
2
Das Ergebnis der Teilaufgabe (b) ist x(θ ) = `
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q
13
4
!
− 3 cos θ − .
1
2
Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
3
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
(c) Welche potentielle Energie Epot (θ ) hat das Pendel, wenn es um einen Winkel θ ausgelenkt ist?
Wir müssen die potentielle Energie im Schwerefeld und die potentielle Energie der
Feder aufsummieren. Wir wählen Epot,G = 0 im tiefsten Punkt der Bahn des Körpers
und erhalten:
Epot (θ ) = Epot,G (θ ) + Epot,F (θ )
Aus der Geometrie ergibt sich
Epot,G = m g `(1 − cos θ )
1
Epot,F = k (x(θ ))2
2
Einsetzen ergibt
r
1
Epot (θ ) = m g `(1 − cos θ ) + k `2
2
13
1
− 3 cos θ −
4
2
!2
(d) Wenn das Pendel anfangs um θmax ausgelenkt war, was ist dann nach dem Loslassen
sein Geschwindigkeitsbetrag im Punkt senkrecht unter der Aufhängung? Verwenden
Sie das Ergebnis aus (c).
Wir bezeichnen den Punkt maximaler Auslenkung (θ = θmax ) als Punkt 1 und den
Punkt direkt unter der Aufhängung (θ = 0) als Punkt 2. Nun setzen wir die Energieerhaltung an:
Epot,F,1 + Epot,G,1 + Ekin,1 = Epot,F,2 + Epot,G,2 + Ekin,2
Das Pendel wird aus der Ruhe losgelassen, also ist seine Geschwindigkeit und
kinetische Energie am Punkt 1 gleich Null. Aus dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe
ergibt sich, daß die potentielle Energie an Punkt 2 gerade Null ist. Somit vereinfacht
sich die Energieerhaltung zu
Epot,F,1 + Epot,G,1 = Ekin,2
Einsetzen liefert
1 2
1
m v2 = m g `(1 − cos θ ) + k `2
2
2
r
13
1
− 3 cos θ −
4
2
!2
Umstellen nach v2 liefert die gesuchte Geschwindigkeit.
v
u
u g
k
v2 = `t2 (1 − cos θ ) +
`
m
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r
13
1
− 3 cos θ −
4
2
!2
Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
4
3. Total frontal [4 Punkte] Zwei Wagen, ein Laster mit Masse m1 (in der Zeichnung links)
und ein Pickup mit Masse m2 < m1 (in der Zeichnung rechts) stoßen mit der Geschwindigkeit v frontal zusammen:
(a) Auf welchen Wagen wird ein größerer Kraftbetrag ausgeübt?
Die Kräfte sind gleich.
(b) Welche Wagen erfährt die größere Änderung des Impulsbetrags?
Die Impulsänderungen sind gleich.
(c) Welcher Wagen erfährt die größere Änderung des Geschwindigkeitsbetrags?
Der rechte Wagen.
(d) Welche Wagen erfährt den größeren Beschleunigungsbetrag?
Der rechte Wagen.
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Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
5
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
4. Gravitationsfeld einer radial inhomogenen Kugel [7 Punkte] Die Dichte einer Kugel
mit Mittelpunkt am Koordinatenursprung (r = 0) sei durch ρ(r) = C/r gegeben. Die Kugel
habe den Radius R = 5 m und die Masse M = 1, 0 · 1011 kg.
(a) Verwenden Sie den Zusammenhang zwischen Masse M und Dichte ρ(r) und berechnen Sie den Wert der Konstante C.
Es gilt:
Z2π
ZZZ
M=
ρ dV =
dϕ
0
Vol.
ZR
= 4πC
ZR
Zπ
dr
dθ
0
C 2
r sin θ
r
0
r dr = (50 m2 )πC
0
C=
M
(50 m2 )π
= 6, 37 · 108 kg · m−2
(b) Leiten Sie die Formel für den Betrag des Gravitationsfelds G der Kugel im Bereich
r < 5, 0 m her. Die Rechnung von (a) hilft hier!
Wir können uns auch diese Kugel so vorstellen, als sei sie aus homogenen Kugelschalen zusammengesetzt. Für das Gravitationsfeld innerhalb der Kugel ist die
innerhalb des Radius gelegene Masse relevant, also:
Zr
m(r) = 4πC
r 0 dr 0
0
Also gilt für das Feld innerhalb der Kugel:
Rr
Gi =
γm(r)
=
r2
γ4πC r0 dr0
0
r2
= 0, 27 N · kg−1
Innerhalb der Kugel ist das Gravitationsfeld räumlich im Betrag konstant.
(c) Stellen Sie die Formel für den Betrag des Gravitationsfelds G der Kugel im Bereich
r > 5, 0 m auf. Hier ist keine Rechnung notwendig, aber dann eine gute Begründung!
Wie wir aus der Vorlesung gelernt haben, gilt für das Feld außerhalb der Kugel
Ga =
1
γM
= (6, 7 N · m2 · kg−1 ) 2
2
r
r
wie bei einer Punktmasse.
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Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
6
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
5. Ballerburg [4 Punkte] Ein Projektil werde von einem h = 200 m hohen Steilufer aus
abgeschossen (siehe Abbildung). Die Anfangsgeschwindigkeit betrage v0 = 60 m/s und die
Abschussrichtung sei θ = 60◦ zur Horizontalen. Der Luftwiederstand soll vernachlässigt
werden.
(a) Geben Sie die Anfangsgeschwindigkeit vektoriell an.
~v(0) =
vx,0
vy,0
= 60 m/s
cos 60◦
sin 60◦
=
30
51, 96
m/s
(b) Wie lange ist das Projektil bis zum Aufschlag unterwegs?
Der Abschussort soll mit (0, 0) angenommen werden. Dann ist
~r(t) =
x(t)
y(t)
=
vx,0t
vy,0t − 12 gt 2
Beim Aufschlag gilt y(t) = −200 m. Also
1
vy,0t − gt 2 = −200 m
2
Das Lösen der quadratischen Gleichung gibt zwei Lösungen
t1/2 = 5, 3 s ± 8, 3 s
Hier ist die positive Lösung relevant, sie ist t2 = 13, 6 s.
(c) Welche Reichweite (siehe Abbildung) hat das Projektil?
x(t2 ) = vx,0t2 = 30 m/s · 13, 6 s = 408 m
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Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
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7
6. Rumkugeln [5 Punkte] Ein homogener Vollzylinder, eine Kugel und ein (deckel- und bodenloser) Hohlzylinder rollen eine schiefe Ebene mit der Neigung α = 30.0◦ hinab (siehe
Skizze). Sie haben jeweils die Masse M und den Radius R.
(a) Die drei Körper werden nun jeweils im Auflagepunkt A aus der Ruhe heraus losgelassen. Ohne komplizierte Rechnung — welcher Körper passiert zuerst den Auflagepunkt B, und warum?
Für alle drei Körper gilt
I = α M R2
mit
2
(Angabe)
5
1
αVollzyl. =
(Angabe)
2
αKugel =
und
αHohlzyl. = 1 (trivial)
Damit erreicht die Kugel den Punkt B zuerst, da hier aufgrund des kleinsten Trägheitsmoments am wenigsten Energie in Rotationsbewegung “investiert” werden muß.
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die die drei Körper jeweils am Auflagepunkt
B haben, wenn Sie im Auflagepunkt A mit der Geschwindigkeit v = 0 losgelassen
werden, und die Höhendifferenz zwischen beiden Auflagepunkten ∆h = 20 m beträgt.
Aus der Energieerhaltung ergibt sich:
trans
rot
Ekin
+ Ekin
= Epot
1 2 1 2
Mv + Iω = Mg∆h
2
2
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Name & Matrikelnummer:
8
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
Mit der Rollbedingung v = Rω erhalten wir
1
I
M + 2 v2 = Mg∆h
2
R
und mit I = αMR2
vKugel = 16, 9 m/s
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1
(1 + α)v2α = g∆h
2
r
2g∆h
vα =
1+α
vVollz. = 16, 3 m/s
vHohlz. = 14, 1 m/s
Wiederholungsklausur Physik 1A für Chemiker und Lehramt, 3.5.2017
Name & Matrikelnummer:
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
9
7. Seil [5 Punkte] Die Auslenkung einer harmonischen Welle auf einem Seil sei
1
1
y(x,t) = (2 mm) · sin 60
x + 300
t
m
s
(a) Berechnen Sie die Frequenz f und die Wellenlänge λ der Welle.
Zur Frequenz: f = 1/T , und
300 s−1 T = 2π
2π
T=
s
300
300
f=
Hz = 47, 75 Hz
2π
Zur Wellenlänge:
60 m−1 λ = 2π
2π
λ=
m = 0, 105 m
60
(b) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit v ph der Welle?
v ph = f λ = 5
m
s
(c) In welche Richtung pflanzt sich die Welle fort?
Wählen wir die Ortskoordinate “negativer”, dann müssen wir die Zeit “größer” wählen, damit in der Klammer das gleiche Ergebnis herauskommmt. D.h. die Welle
kommt dort “später” an, also pflanzt sie sich in negative x-Richtung fort.
(d) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit, mit der sich ein Stück des Seils bewegt?
Das Seil bewegt sich in y-Richtung. Wir können seine Geschwindigkeit durch Ableiten ermitteln:
vy (x,t) =
∂
y(x,t) = (2 mm) · (300 s−1 ) · cos (60 m−1 )x + (300 s−1 )t
∂t
Diese Funktion erreicht ihren maximalen Wert, wenn der Kosinus gleich 1 wird, also
ist
mm
m
vy,max = (2 mm) · (300 s−1 ) = 600
= 0, 6
s
s
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Name & Matrikelnummer:
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
10
8. Radioaktiv [8 Punkte]
Der Atomkern des Bor-Isotops 9 B (Masse mB ' 9u) ist instabil; er zerfällt in ein Proton
(Masse mp ' u) und zwei Alphateilchen (Masse jeweils mα ' 4u). Dabei werden Ez =
4.4 × 10−14 J Energie freigesetzt. Wir nehmen an, daß der Atomkern anfangs am Ursprung
des Koordinatensystems in Ruhe ist. Der Gesamtimpuls bleibt erhalten, aber die gesamte
beim Zerfall freiwerdende Energie geht in kinetische Energie der Zerfallsprodukte über
(d.h. die kinetische Gesamtenergie hinterher ist genau Ez = 4.4×10−14 J). Wir beobachten,
wie in obiger Skizze gezeigt, daß das Proton in x-Richtung mit Geschwindigkeit vp =
6 × 106 m/s wegfliegt.
(a) Stellen Sie die Vektorgleichung für die Impulserhaltung auf!
0 = mα~vα1 + mα~vα2 + mp~vp
(b) Stellen Sie die Gleichung für die kinetische Energie der drei Teilchen nach dem Zerfall auf (entsprechend der Energieerhaltung)!
1
1
1
Ez = mα~v2α1 + mα~v2α2 + mp~v2p
2
2
2
Wir nehmen nun an, daß die beiden Alphateilchen gleiche kinetische Energie haben.
(c) Was genau heißt das mathematisch für ihre Geschwindigkeitsvektoren?
Der Geschwindigkeitsbetrag ist für beide Teilchen gleich.
(d) Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Gleichung für die kinetische Energie der drei
Teilchen den Geschwindigkeitsbetrag eines Alphateilchens.
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Name & Matrikelnummer:
Andreas K. Hüttel, Gruppe A
11
Wir kennen vp und Ez , und wissen daß ~v2α1 =~v2α2 . Also:
1
mα~v2α1 = Ez − mp~v2p
2
s
Ez − 12 mp~v2p
vα = |~vα1 | = |~vα2 | =
= 1.4575 × 106 m/s
mα
(e) Betrachten Sie die Gleichung für die Impulserhaltung. Was sagt sie uns (in Worten)
über die y-Komponenten von ~vα1 und ~vα2 , und damit über die Winkel γ1 und γ2 , in
denen die beiden Teilchen wegfliegen (siehe Skizze)?
Die Summe der y-Komponenten muß Null sein, d.h. vy,α1 = −vy,α2 , d.h. beide Teilchen fliegen im gleichen Winkel γ = γ1 = γ2 zur x-Achse weg
(f) Schreiben Sie die Vektoren ~vα1 und ~vα2 als Funktion von vα und γ1 bzw. γ2 , setzen
Sie in die Impulserhaltungsgleichung ein und berechnen Sie die Winkel γ1 und γ2 .
− cos γ1
− cos γ
~vα1 = vα
= vα
sin γ1
sin γ
− cos γ2
− cos γ
~vα2 = vα
= vα
− sin γ2
− sin γ
Aus der x-Komponente der Impulserhaltung ergibt sich
−mα vα cos γ − mα vα cos γ + m p v p = 0
γ = 59.031◦
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