Elfmeter - klett.de
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Elfmeter Mit Sicherheit wird es in den Spielen der FußballWeltmeisterschaft wieder eine Reihe von Elf­metern zu schießen geben. Viele Schützen werden darüber informiert sein, wie die jeweiligen Torwarte in der Vergangenheit in solchen Situationen ­reagiert haben: Tendiert der Torwart zum Sprung in die rechte Ecke oder neigt er eher dazu, sich nach links zu werfen? Mit den folgenden Fragen soll die Situation der Elfmeterschützen ein wenig beleuchtet werden. Zeichne und rechne! Wegen der verhältnismäßig kurzen Flugwege des Balls darf die Flugbahn idealisiert als geradlinig angenommen werden. 1 Ein Spieler steht am Elfmeterpunkt. a) Berechne den Abstand von den Torpfosten. b) Unter welchem Blickwinkel sieht der Spieler das Tor? Torbreite: 7,32m Torhöhe: 2,44m Balldurchmesser: 0,22m 2 Bei einem Strafstoß trifft der Ball gerade unter der Mitte der Torlatte noch ins Tor. a) Welchen Weg hat der Ball vom Elfmeterpunkt bis dahin zurückgelegt? b) Unter welchem Winkel wurde der Ball abgeschossen? 3 Der Ball fliegt gerade noch ins linke obere Toreck. a) Welchen Weg hat der Ball vom Elfmeterpunkt bis zum Lattenkreuz zurückgelegt? b) Unter welchem Winkel wurde der Ball abgeschossen? 4 Ein sehr guter Torwart hat eine Reaktionszeit von 0,2 s. km Zeige, dass er einen mit 120 _ platziert ins Toreck geschossenen Ball nicht erreichen kann. h Bemerkung: Dies ist der Grund, warum sich viele Torhüter schon vor dem Schuss für eine Ecke entscheiden und damit früher springen. Nur so haben sie noch halbwegs eine Chance, einen derart scharf geschossenen Ball zu erreichen. 5 Timo behauptet zutreffend, dass er auf dem Spielfeld noch einen weiteren Punkt markieren kann, von dem aus das Tor unter dem gleichen Blickwinkel wie in Aufgabe 1 b) erscheint. Bestimme zeichnerisch einen solchen Punkt. Forschungsaufgabe Seine Freundin Sophie behauptet: „Es gibt sogar beliebig viele Punkte auf dem Spielfeld, von denen aus das Tor unter diesem Blickwinkel erscheint.“ Finde alle diese Punkte und begründe die Richtigkeit deiner Lösung. © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2014 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Bildquelle: iStockphoto (Fotograf: mikkelwilliam); Calgary, Alberta. Seite 1 | 3 Elfmeter Lösungen Inhalte (ab Klasse 9) Satz von Pythagoras, Trigonometrie, Umfangwinkelsatz 1 Torbreite 3,66m 3,66m a) Mit dem Satz von Pythagoras in einem der beiden rechtwinkligen Dreiecke erhält man 11,00m d2 = (11,00 m)2 + (3,66 m)2 und damit d ≈ 11,59 m. 3,66 m b) Für die Winkelweite α gilt: tan (α) = __ 11,00 m ≈ 0,3327 Daraus folgt: α ≈ 18,4 ° Der Blickwinkel ist doppelt so groß, hat also die Weite von ungefähr 36,8°. d α Elfmeterpunkt 2 a) Der Ballmittelpunkt liegt 0,11 m über dem Elfmeterpunkt und dann 0,11 m unter der Querlatte. Der Ballmittelpunkt überwindet also einen Höhenunterschied von 2,22 m. Mit dem Satz von Pythagoras ergibt sich für den Flugweg d die Bedingung d2 = (11,00 m)2 + (2,22 m)2 und daraus d ≈ 11,22 m. Der Flugweg ist etwa 11,22 m lang. Querlatte Ballmittelpunkt d 2,22m β Ballmittelpunkt 11,00m 2,22 m b) Für die Weite β des Abschusswinkels gilt: tan (β) = __ 11,00 m ≈ 0,2018 Der Abschusswinkel hat demnach etwa die Weite 11,4°. 3 a) Von der Tormitte bis zum Pfosten bewegt sich der Ballmittelpunkt 3,55 m weit. Von diesem Punkt aus muss der Ballmittelpunkt noch 2,22 m senkrecht nach oben bewegt werden, damit der Ball im Tor­eck ist. Zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt: Ziel Ballmittelpunkt neben Pfosten 2,22m Tormitte 3,55m f2 = e2 + (2,22 m)2 = (11,00 m)2 + (3,55 m)2 + (2,22 m)2 11,00m e e2 = (11,00 m)2 + (3,55 m)2 f Die Länge f der Flugbahn ist daher näherungsweise 11,77 m. b) Die Winkelweite δ kann z. B. mit dem Sinus ermittelt werden: 2,22 m δ γ 2,22 m sin (δ) = _ f = __ = 0,1886 11,77 m Folglich: δ ≈ 10,9° © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2014 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Seite 2 | 3 Elfmeter Lösungen 4 s f f 11,77 m 11,77 m Flugzeit des Balls ins Toreck: v = _ t = _t , t = _ v = __ _ = __ ≈ 0,35 s 1000 m km _ 120 h 120 · 3600 s Wegen der Reaktionszeit von 0,2 s bleiben dem Torwart noch 0,15 s, um sich in Richtung Toreck zu bewegen. Der direkte Flugweg von Tormitte auf der Torlinie ins Eck ist etwa 4,3 m lang. Selbst mit ausgestreckten Armen müsste ein großer Torwart ungefähr noch 2 m zurücklegen. Dies erforderte eine Geschwindigkeit von m etwa 13 _ s . Er müsste also schneller sein als ein Weltrekordsprinter. 5 Torbreite 3,66m 3,66m Timo hat recht. Einen solchen Punkt kann er durch Probieren finden. Die Abbildung zeigt ein Beispiel. 37° 37° Elfmeterpunkt Forschungsaufgabe Beweisskizze Die Punkte Q und R seien auf dem Kreis um M ortsfest. Die Dreiecke SQM und RSM sind gleichschenklig. Daher sind die Basiswinkel in jedem dieser Dreiecke gleich weit. Diese Weiten sind mit α 1 und β1 bezeichnet. Nach dem Satz über Außenwinkel im Dreieck gilt: ε1 = 2α1 und ε2 = 2β1 Folglich: ε = ε 1+ ε 2= 2α1+ 2β1 = 2 · (α1+ β 1) Der Mittelpunktswinkel der Weite ε ist also doppelt so weit wie der sogenannte Umfangwinkel mit dem Scheitel S. Da bei fest gewählten Punkten Q und R die Weite des Mittelpunktswinkels unverändert bleibt, ändert sich die Umfangwinkelweite nicht, wenn S auf dem Kreis wandert. Von jedem Punkt S auf diesem Kreisbogen über RQ erscheint daher die Strecke RQ unter demselben Winkel. Dieser Sachverhalt wird als Satz vom Umfangwinkel bezeichnet. R Q β1 ε2 ε1 α1 M β1 α1 S Anmerkungen 1.Wenn sich S weiter auf dem Kreis nach links bewegt, so erkennt man, dass die Argumentation hinsichtlich der Winkel abgeändert werden muss. Führe dies selbst durch. 2.Der Satz vom Umfangwinkel enthält den Satz des Thales als Spezialfall. Lasse S so wandern, dass α1 = 0° gilt! © Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2014 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Seite 3 | 3
