¨Ubung zur Vorlesung ” Elementare WMS“

Übung zur Vorlesung
Elementare WMS“
”
5. Serie
1. Wie groß ist in einer Familie mit 2 Kindern die Wahrscheinlichkeit, daß beide
Kinder Jungen sind, unter der Bedingung, daß
(a) das erste Kind ein Junge ist
3P
bzw. daß
(b) mindestens ein Kind ein Junge ist?
Zur Lösung des Problems gebe man zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an!
2. In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die im Falle eines Einbruchs
mit Wahrscheinlichkeit 0, 99 die Polizei alarmiert. In einer Nacht ohne Einbruch
wird mit Wahrscheinlichkeit 0, 002 Fehlalarm ausgelöst: Eine Maus berührt die
Anlage, o. ä. Die Einbruchswahrscheinlichkeit für eine Nacht ist 0, 0005. Die
Anlage hat gerade Alarm gegeben. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, daß
es kein Fehlalarm ist und tatsächlich ein Einbruch im Gange ist.
3. Eine Urne enthalte M Kugeln, davon m weiße. Es wird eine geordnete Auswahl
vom Umfang N vorgenommen. Es sei An (n ≤ m) das Ereignis, daß genau n
weiße Kugeln gezogen werden, und Bk sei das Ereignis, daß im k-ten Schritt
eine weiße Kugel gezogen wird. Man berechne P (Bk |An ) für eine Auswahl
3P
4P
(a) mit Zurücklegen,
(b) ohne Zurücklegen.
Hinweis: Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind jeweils
n
N
4*. (Laplacescher Folgesatz)
Eine Urne enthalte N Kugeln, und zwar W weiße und N − W schwarze. Dabei
sei W zufällig mit der Gleichverteilung
1
, 0 ≤ w ≤ N.
P ({W = w}) =
N +1
Es bezeichne An das Ereignis, bei einer zufälligen Entnahme von n Kugeln
ohne Zurücklegen nur weiße Kugeln zu erhalten. man berechne P (An+1 |An ),
also die Wahrscheinlichkeit dafür, bei der (n+1)-ten Ziehung wieder eine weiße
Kugel zu erhalten, wenn bereits bei allen n vorangegangenen Ziehungen weiße
Kugeln das Ergebnis waren.
Hinweis: Man berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit von An unter der Bedingung {W = w}, w = 0, ..., N.
Abgabe: Montag, 26.11.2007 (1. Gruppe) bzw. Dienstag, 27.11.2007 (2. Gruppe),
jeweils zu Beginn der Übungszeit
* Zusatzpunkte
1
4P