Didaktik der Arithmetik

Dr. U. Baltes
WS 2008/09
Didaktik der Arithmetik
Übung 11: Bruchrechnen I
Abgabe: 7.01.09 vor der Vorlesung
Schriftliche Hausaufgabe
11.1) „Bruchsummen“
Die folgenden Gleichungen beruhen alle auf einer einheitlichen Regel:
1 1 1 1
1 1 1 1
1
= + + ;
= + + +
;
3 4 16 48
3 4 16 64 192
1 1 1
1
1 1 1
1
1
= + +
;
= + +
+
;
4 5 25 100
4 5 25 125 500
1 1 1
1
= + +
;
5 6 36 180
1
die entsprechende Summe mit vier Summanden an.
5
b) Wie lauten die Summen für
1
1
bzw. ?
2
9
c) Kann man nach dieser Regel auch noch längere oder kürzere Summen für
1 1 1
usw. bilden?
2 3 4
d) Stellen Sie für drei Summanden eine entsprechende Formel auf und beweisen
Sie diese.
a) Geben Sie für
11.2) Kettenbrüche: Quelle: Judita Cofman, Einblicke in die Geschichte der Mathematik
1
ist ein sogenannter „Kettenbruch“. Zeigen Sie, dass dieser Kettenbruch
a) 3 +
1
2+
1
5+
4
159
gleich dem Bruch
ist.
46
159
. Wie
b) Betrachten Sie die Verwandlung des obigen Kettenbruchs in die Zahl
46
könnte man dieses Verfahren umkehren, um eine beliebige Zahl in einen Kettenbruch
3
umzuwandeln? Wandeln Sie nach diesem Verfahren in einen Kettenbruch um.
5
1
1
c) Die Kettenbrüche 1, 1 + , 1 +
bilden eine Folge, die man endlos fortsetzen
1
1
1+
1
kann. Setzen Sie die Reihe fort (mind. drei weitere Folgenglieder) und verwandeln Sie
die Kettenbrüche der Reihe nach in „gewöhnliche“ Brüche. Nennen Sie eine
Eigenschaft dieser Zahlen und begründen Sie Ihre Beobachtung.
11.3 Initialaufgaben / Pizzawelt
a) Michael und seine drei Freunde haben drei Pizzen bestellt. Sie finden verschiedene
Möglichkeiten, die drei Pizzen gerecht unter sich zu verteilen. Geben Sie fünf solcher
Möglichkeiten an.
b) Michael hat heute zweimal Pizza gegessen, zuerst hat er sich eine Pizza mit seinem
Bruder geteilt und danach eine Pizza mit seinen beiden Freundinnen gegessen. Wie
viel Pizza hat Michael insgesamt verzehrt.
c) Michael ist mit 6 Freunden in einer Pizzeria zusammen, sie teilen sich fünf Pizzen. Zu
Hause gibt es noch einmal Pizza, da teilt er sich mit seinen beiden Schwestern zwei
Pizzen. Wie viel Pizza hat Michael gegessen? Hat er in der Pizzeria mehr als zu
Hause gegessen? Wenn ja, wie viel mehr?
Die Lösungen sollen auf anschauliche Weise gefunden werden. Guten Appetit!
11.4 Uhr-Zeiger-Problem
a) „Es ist jetzt neun Uhr. Um wie viel Uhr hat der große Zeiger den kleinen eingeholt?“
Argumentieren Sie zuerst, um welche Uhrzeit der große den kleinen Zeiger ungefähr
eingeholt hat. Bestimmen Sie dann den Zeitpunkt exakt.
b) Wie viele Überholungen gibt es im Laufe von 12 Stunden?
Geben Sie die Überholungszeitpunkte nach 0 Uhr an.
Mündliche Hausaufgabe
11.5 Bruchzahlen als Wahrscheinlichkeiten
a) Ein blauer und ein roter Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass
1. mindestens ein Würfel eine 6 zeigt,
2. die Augenzahl des roten Würfels größer ist als die des blauen,
3. die Augensumme beider Würfel kleiner als 8 ist?
b) In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, beim „blinden“ Ziehen eine ungerade Zahl oder eine Primzahl
zu ziehen?
c) In der ersten Urne befinden sich 3 schwarze und 2 weiße Kugeln, in der zweiten Urne
4 schwarze und 3 weiße Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 weiße Kugeln zu ziehen, wenn nacheinander je
eine Kugel aus den beiden Urnen „blind“ gezogen wird?
d) Die Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Monat des Jahres geboren zu werden sei
1
(vereinfachte Annahme).
für jeden Monat gleich
12
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei sich zufällig treffende Personen im
gleichen Monat Geburtstag haben.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide im Dezember geboren sind?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Heiligabend geboren sind?
Von welcher Annahme gehen Sie dabei aus?