C7 Differentgleichungen (DG) C7.1 Definition, Existenz

C7 Differentgleichungen (DG)
(enthalten Ableitungen der gesuchten Funktionen)
[Stoffgliederung im Skript für Kapitel C7 weicht ab vom Altland-Delft-Text]
C7.1 Definition, Existenz, Eindeutigkeit von Lösungen
Motivation: z.B. Newton 2. Gesetz:
Geschwindigkeit:
Ort:
Beschleunigung:
Kraft
Typische Problemstellung: für orts - und/oder zeitabhängige Kraft,
bestimme die Trajektorie
!
Das führt zu einer "Differentialgleichung" (DGL):
Beispiel 1: Harmonischer Oszillator in einer Dimension:
"Antriebskraft"
"Rückstellkraft"
Beispiel 2: Radioaktiver Zerfall
Zerfallsrate
Zahl der radioaktiven Atome
(proportional zur Zahl der Atome!)
Anfangswert:
Aufgabe: finde
Atome zum Zeitpunkt
!
Zerfallskonstante [Dimension: 1/Zeit]
.
Lösung: Schlau geraten: welche Funktion ist
proportional zu ihrer Ableitung? Exponentialfunktion!
Also Ansatz:
(3) in (1):
Anfangswert:
Gesuchte Lösung:
Grafische Analyse:
Steigung
negativ
Steigung
weniger
negativ
kleines
größeres
Weitere Beispiele: wichtige Differentialgleichungen in der Physik:
Ort
Mechanik: Newton 2:
(gewöhnliche DGL 2. Ordnung):
(gesuchte Funktion hängt nur von einer Variable ab, hier t)
(Ableitungen 2. Ordnung kommen vor)
Elektrodynamik:
Maxwell-Gleichungen
Magnetfeld
(gekoppelte partielle
DGL 1. Ordnung)
Elektrisches Feld
(nur Ableitungen 1. Ordnung kommen vor)
(gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab, hier x,y,z,t)
Quantenmechanik:
Schrödinger-Gleichung:
(partielle DGL 2. Ordnung)
Wellenfunktion
Hydrodynamik:
Navier-Stokes-Gleichung:
Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit
(nicht-lineare partielle
(gesuchte Funktion kommt nicht nur linear vor)
DGL 2. Ordnung)
AllgemeinerTrick: durch Einführen neuer Variablen lassen sich höhere
Ableitungen eliminieren; der Preis ist ein System von mehreren DGL.
Beispiel: Newton 2:
lässt sich schreiben als:
Im Folgenden betrachten wir folglich nur DGL, die nur erste Ableitungen enthalten.
Definition: Sei auf einem Gebiet
eine stetige Funktion
gegeben, d.h. ein stetiges (zeitabhängiges) Vektorfeld. Dann ist
ein "System von gewöhnlichen Differentialgleichungen (DGL) erster Ordnung".
(keine höheren Ableitungen)
(gesuchte Vektorfunktion hängt nur von einer
Variable ab, partiellen Ableitungen kommen nicht vor)
Gesucht wird nach Lösung(en) auf einem Intervall,
also eine differenzierbare, vektorwertige Funktion
mit den Eigenschaften:
und
"Anfangswertproblem": Finde Lösungen mit "Anfangsbedingungen"
so, dass
Visualisierung der Fragestellung für n = 2:
Zeit
Gegeben:
Kraft als Funktion
von Ort und Zeit:
Kraft
Raum
Raum
Gesucht: Trajektorie
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen einer DGL?
Ist in der Physik immer gewährleistet, falls Problem physikalisch sinnvoll gestellt ist!
Mathematisch gibt es für gewöhnliche DGL erster Ordnung mehrere denkbare
Möglichkeiten (abhängend von der Form der Gleichung, d.h. der Form von
- es gibt gar keine Lösung,
):
die die angegebene Anfangsbedingung erfüllt
- es gibt eine und genau eine Lösung,
("eine eindeutige")
- es gibt mehrere Lösungen,
erfüllen
- oder: es gibt zwar eine Lösung, aber nur in einer hinreichend kleinen Umgebung des
Anfangswertes
("lokale Existenz")
- oder: es existiert eine Lösung für alle
("globale" Lösung)
Theorie der Existenz v. Lösungen einer gegebenen DGL ist i.A. ein schwieriges
mathematisches Problem!
Satz (Picard & Lindelöf): Falls
Lipshitz-stetig in
und
ist, existiert eindeutig eine lokale Lösung des
stetig differenzierbar in
Anfangswertproblems.
"Stetig differenzierbar": Ableitung ist stetig,
d.h., Funktion hat "keine Zacken":
"Lipshitz-stetig": Steigung zwischen zwei beliebigen Punkte
auf der Kurve ist begrenzt, d.h., Funktion hat "keine Sprünge":
Steigung unendlich:
Steigung endlich:
Bemerkungen zur physikalischen Anwendung:
(i) Satz (1) gewährleistet Determinismus a la Newton: Spezifikation von Anfangsort
und - Geschwindigkeit [in Gl. (c.1), (c.2)] legt weitere Bewegung eindeutig fest!
(ii) Allgemeiner: DGL sind für sinnvolle Beschreibung physikalischer Prozesse geeignet.
C7.2 Lösungstrategien im Eindimensionalen
Im Folgenden:
stetig differenzierbar
a) Trivialfall:
rechte Seite unabhängig von x
Integration:
Lösung:
Fazit: Das Lösen von (1) entspricht dem Finden der Stammfunktion v. g(t)
b) "Autonome" DGL: [siehe Altland-Delft, Abschnitt C7.4]
rechte Seite hat keine explizite Abhängigkeit von t
[explizite t-Abhängigkeit wäre gegebn, falls
Umstellen:
Sei
die Stammfunktion von
also:
]
Definiere:
Kettenregel
Dann:
Integration:
Auflösen nach x(t):
Umkehrfunktion v. H
Kurzfassung dieser Rechnung:
"Trennung (oder Separation) der Variablen"
x nach links, t nach rechts:
Integrieren:
Fläche =
letzter Schritt: Auflösen nach x(t)...
Beispiel 3:
mit Anfangsbedingung:
Grafische Analyse:
Steigung = 1
je größer
,
je größer die Steigung!
je größer
,
je größer die Steigung!
Beispiel 3, explizit gerechnet, mittels "Trennung der Variablen" (Gl. j.1 - 4):
Trennung der
Integration:
Einsetzen der
Anfangsbedingung:
Umkehrfunktion:
(6) aufgelöst nach x(t):
Produktregel
Check:
Die Lösung gilt nur im
dann
c) "Separable DGL" (lösbar durch Trennung oder "Separation" der Variablen)
[analog zu (h.4),
aber mit extra g(t)]
Umstellen:
Stammfunktion:
also
Substitution:
Kettenregel
Differenzieren:
Integrieren:
(6)
Einsetzen:
Stammfunktion:
letzter Schritt:
auflösen nach x(t)
Kurzfassung: Lösungschema für separable DGL:
WICHTIG!
Trennen:
Integrieren:
Ausgedrückt durch
Stammfunktionen:
gemeint ist:
Umkehrfunktion:
Beispiel 4:
Grafische Analyse
Bereich:
mit
Steigung
Trennen:
divergiert wie
Integrieren:
verschwindet wie
Anfangsbedingung (2):
Umkehrfunktion
= gesuchte Lösung:
Steigung
[für t >
würde (7) die Lösung x(t)
was nicht erlaubt ist, da x(t) > x(0) = 1]
Fazit: Lösung existiert nur für:
mit
, liefern,
C7.3 Autonome DGL in zwei Dimensionen
Betrachte DGL mit stetig differenzierbaren
"Autonom": rechte Seite
ist zeitunabhängig:
Gesucht sind Lösungen
Direkte Lösung ist oft schwierig. Trick: Überführung in 1-dimensionale DGL !
Interpretiere die gesuchte Lösung als eine durch
parametrisierte Bahnkurve;
entlang dieser ist
eine von
abhängige Variable:
Kettenregel
Wir erhalten eine
1-dimensionale DGL für
Man merke sich (5) mit der Eselsbrücke:
Beispiel 5: Newton 2:
(siehe C7d.2,3)
(m = Masse, p = Impuls)
(= Kraftfeld)
Bahnkurve:
DGL (l.7) für
Bahnkurve:
Eselsbrücke (l.7)!
Trennen der Variablen:
Annahme: F(x) habe die Form:
Integrieren:
Fazit: Energie-Erhaltung!
(Vorzeichen per
Konvention)
Beispiel 6: Feldlinien in 2 Dimensionen
sei ein Vektorfeld. Zeichne die Feldlinien!
Strategie: Finde Raumkurve
mit
Dann ist Vektorfeld ist tangential an Raumkurve
(verschiedene Anfangsbedingungen liefern verschiedene Raumkurven)
In 2d:
Feldlinie:
DGL für
Feldlinie:
Eselsbrücke (l.7)!
Beispiel:
DGL für
Feldlinie:
Trennen,
Integrieren:
Umgestellt:
Feldlinien bilden Kreise!
Konstante unabhängig
von x und y