Klausur Mikroökonomik

Prof. Dr. Ulrich Schwalbe
Wintersemester 2003/04
Klausur Mikroökonomik
Bitte bearbeiten Sie alle zehn Aufgaben. Auf dem Klausurbogen befindet sich nach
jeder Teilaufgabe ein Kästchen. In dieses Kästchen schreiben Sie bitte Ihre Lösung.
Geben Sie nur die Klausurbögen ab. Alles andere Papier ist Schmierpapier und
wird bei der Korrektur nicht berücksichtigt. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1 Lösen Sie folgende Teilaufgaben grafisch und verbal.
a) Zeigen Sie, dass zwei Indifferenzkurven eines Individuums sich nicht schneiden können, sofern die Präferenzen den Bedingungen der Vollständigkeit,
Transitivität und Monotonie genügen.
Lösung:
1
b) Erläutern Sie kurz den Begriff der Konvexität der Präferenzen.
Lösung:
2
Aufgabe 2 Die Nachfragefunktion in einem Markt sei gegeben durch
D(p) = max{70 − 2p, 0}
wobei p den Preis des Gutes bezeichnet. Die Angebotsfunktion lautet
S(p) = 5p.
a) Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis p∗ und die im Gleichgewicht gehandelte Menge x∗ .
Lösung:
p∗ =
x∗ =
3
b) Stellen Sie das Gleichgewicht grafisch dar. Berechnen Sie die Konsumentenrente sowie die Produzentenrente.
Lösung:
Konsumentenrente:
Produzentenrente:
4
Aufgabe 3 Die Präferenzen eines Konsumenten bezüglich zweier Güter seien durch die
folgende Nutzenfunktion u : R2+ → R beschrieben:
0,6
u(x1 , x2 ) = x0,3
1 x2 .
Das Einkommen betrage m > 0; die Preise seien p1 > 0 und p2 > 0.
a) Bestimmen Sie die Nachfragefunktionen x1 (p1 , p2 , m) und x2 (p1 , p2 , m).
Nachfragefunktion Gut 1:
Nachfragefunktion Gut 2:
b) Welcher Anteil des Einkommens wird im Optimum jeweils für Gut 1 bzw.
Gut 2 ausgegeben?
Ausgabenanteil Gut 1:
Ausgabenanteil Gut 2:
5
c) Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage nach Gut 1 in bezug
auf die Änderung des Preises von Gut 1 und geben Sie den Betrag der
Elastizität an.
Lösung:
|11 | =
d) Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage nach Gut 2 in bezug
auf die Änderung des Preises von Gut 1 und geben Sie den Betrag der
Elastizität an.
Lösung:
|21 | =
6
Aufgabe 4 Frau Schulz erbt von ihrer Tante 12 Kisten Champagner, der auf dem Markt
mit p1 = 300 Euro pro Kiste gehandelt wird. Ausser Champagner gibt es noch
ein anderes Gut (Gut 2). Der Preis für Gut 2 beträgt p2 = 1. Frau Schulz
hat kein weiteres Einkommen (m = 0) und bestizt auch nichts an Gut 2. Sie
entschliesst sich, zehn der Kisten zu verkaufen.
Sie können davon ausgehen, dass Frau Schulz vollständige, transitive, streng
monotone, streng konvexe Präferenzen sowie glatte Indifferenzkurven (d.h. solche, die keine Knickstellen aufweisen) hat.
a) Geben Sie die Budgetbeschränkung von Frau Schulz an. Stellen Sie die
Situation grafisch dar, d.h. zeichnen Sie die Budgetgerade und eine Indifferenzkurve ein.
Budgetbeschränkung:
Grafik:
7
b) Angenommen, der Preis pro Kiste Champagner sinkt auf 200 Euro. Gleichzeitig erbt Frau Schulz von einem Onkel 1000 Euro. Stellen Sie grafisch dar, wie sich diese Änderungen auf die Budgetbeschränkung (gegenüber der Budgetbeschränkung aus Aufgabenteil a)) auswirken. Wird
Frau Schulz durch die Änderungen ihren Champagnerkonsum erhöhen?
Budgetbeschränkung:
Grafik:
Wird Frau Schulz den Champgnerkonsum erhöhen (Ja/Nein)?
8
Aufgabe 5 Zwei Nachbarn, Frau A und Herr B, tauschen Obst und Gemüse aus ihren
Gärten. Frau A baut Tomaten an, Herr B dagegen Birnen. Bei der letzten Ernte
hat Frau A 10 kg Tomaten geerntet. Herr B hat 50 kg Birnen geerntet. Die
Präferenzen beider Personen lassen sich durch die Nutzenfunktion u : R2+ → R
mit
u(x1 , x2 ) = x1 x2
darstellen, wobei x1 und x2 die Mengen an Tomaten bzw. Birnen bezeichnen,
jeweils in kg.
a) Stellen Sie die Situation in einer Edgeworth–Box dar. Achten Sie auf eine
präzise Bezeichnung der Achsen und zeichen Sie die Anfangsausstattung
sowie für jeden Akteur eine Indifferenzkurve ein. Ist die Anfangsausstattung Pareto–effizient? Begründen Sie Ihre Aussage!
Edgeworth–Box:
9
b) Frau A gibt Herrn B 8 kg Tomaten im Tausch gegen 10 kg Birnen. Ist
die neue Allokation Pareto–effizient? Begründen Sie Ihre Antwort!
Lösung:
c) Wie lauten die beiden Hauptsätze der Wohlfahrtstheorie.
1. Hauptsatz:
2. Hauptsatz:
10
Aufgabe 6 Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziert Schuhe mit der Produktionsfunktion f : R2++ → R+ mit
y = f (x1 , x2 ) =
√
x1 +
√
x2 ,
wobei x1 die eingesetzte Menge an Arbeit und x2 die Menge an eingesetztem
Kapital bezeichnen. Die Faktorpreise sind w1 = 10, w2 = 5, und der Produktpreis beträgt p = 100.
a) Ermitteln Sie das Gewinnmaximum. Wieviel Arbeit und Kapital werden
im Gewinnmaximum eingesetzt?
Lösung:
x∗1 =
x∗2 =
11
b) Wieviel bietet das Unternehmen an?
Lösung:
y∗ =
c) Wie hoch ist der Gewinn des Unternehmens?
Lösung:
Gewinn:
12
Aufgabe 7 Eine Firma produziert mit der Produktionsfunktion f : R2+ → R+ mit
0,5
y = f (x1 , x2 ) = x0,5
1 x2 ,
wobei x1 und x2 die Mengen der beiden Einsatzfaktoren bezeichnen. Es sollen
y = 120 Mengeneinheiten produziert werden. Die Faktorpreise sind w1 = 1,
w2 = 4.
a) Lösen Sie das Kostenminimierungsproblem mit Hilfe des Lagrange–Ansatzes. Bestimmen Sie die bedingte Faktornachfrage für die Outputmenge
y = 120 und die Faktorkosten w1 = 1, w2 = 4.
Lösung:
x1 (1, 4, 120) =
x2 (1, 4, 120) =
13
b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion. Wie hoch sind die minimalen Kosten
der Produktion von 120 Einheiten bei den Faktorpreisen w1 = 1, w2 = 4?
Lösung:
C(1, 4, 120) =
c) Bestimmen Sie die Grenzkosten M C sowie die Stückkosten AC bei einer
Menge von 120 Einheiten und Faktorpreisen w1 = 1, w2 = 4.
Lösung:
M C(1, 4, 120) =
AC(1, 4, 120) =
14
Aufgabe 8 Gegeben sei die Produktionsfunktion f : R2++ → R+ mit
3/4
1/2
y = f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
Ermitteln Sie die Grenzprodukte, die partiellen Produktionselastizitäten und
die Skalenelastizität.
Lösung:
GP1 =
GP2 =
σ1 =
σ2 =
σ=
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Aufgabe 9 Geben Sie ein Beispiel für eine Produktionsfunktion an, die abnehmende Grenzprodukte aber zunehmende Skalenerträge aufweist. Zeigen Sie diese Eigenschaften an Ihrem Beispiel.
Lösung:
16
Aufgabe 10 Ein Monopolist sieht sich der Preis–Absatz–Funktion p(y) = max{380−18y, 0}
gegenüber. Seine Kostenfunktion ist
C(y) = y 2 + 50.
a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Angebotsmenge sowie den maximalen
Gewinn des Monopolisten.
Lösung:
Angebot:
Gewinn:
17
b) Zeigen Sie, dass der Monopolist im Vergleich zu einer Firma bei vollkommener Konkurrenz eine geringere Menge anbietet, und dass die volkswirtschaftliche Rente im Monopol geringer ist als bei vollkommener Konkurrenz. Illustrieren Sie dies anhand einer Grafik.
Lösung:
18