Loesung3

Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017
Abgabe: Dienstag, 21. März 1200
Serie 3
English terms:
Wärmekapazität = heat capacity
Latente Wärme = heat of transformation
Schmelzwärme = heat of fusion
Wasserdampf = water vapour / steam
Aggregatzustand = aggregate state, state of aggregation
Spezifische Wärme = specific heat
Verdampfungswärme = heat of vaporization
Wasserstoffbrücken = hydrogen bond
Föhn = foehn
Allgemeine Fragen
1. Was ist die spezifische Wärmekapazität und was die Wärmekapazität?
Antwort:
Die Wärmekapazität C eines Systems ist gegeben durch:
C(T ) =
∆Q
∂U
∂W
∂U
p∂V
=
−
=
+
(= CV + nR).
∆T
∂T
∂T
∂T
∂T
(0.1)
Es wurde der 1. Hauptsatz der Thermodynamik und die Volumenänderungsarbeit δW = −pdV verwendet. Das letzte Gleichheitszeichen gilt NUR für ideale Gase (pV = nRT ). Anschaulich ist C die Menge
an Wärmeenergie, die einem System pro Temperaturerhöhung zugeführt werden muss. Sie ist abhängig
von der Anzahl der Freiheitsgrade die angeregt werden können und damit auch von der Temperatur. Die
Einheit ist [C] = J/K.
C
mit m der
Die spezifische Wärmekapazität c (auch spezifische Wärme genannt) eines Systems ist c = m
Masse des Systems. Ihre Einheit ist [c] = J/K/kg. Der Begriff spezifisch wird auch verwendet, wenn die
Wärmekapazität mit einer anderen Grösse als der Masse normiert ist.
Man unterscheidet weiter zwischen cv und cp . Bei ersterem wird bei Erwärmung das Volumen konstant gehalten, bei letzterem der Druck. Bei konstantem Druck muss sich das Volumen bei Erwärmung vergrössern,
somit wird Arbeit verrichtet, welche indirekt einen Teil der Wärme speichert. Es gilt also cv < cp .
2. Was ist die molare Wärmekapazität?
Antwort:
Die molare Wärmekapazität ist definiert als:
Cm =
C
n
(0.2)
mit der Stoffmenge n. Die Einheit lautet [Cm ] = J/K/mol.
3. Was ist eine adiabatische Zustandsänderung?
Antwort:
Eine adiabatische Zustandsänderung ist eine Zustandsänderung, die ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, d.h. dQ = 0 und somit dU = dW . Solche Zustandsänderungen treten in guter Näherung
bei schnellen Prozessen oder gut isolierten Systemen auf. Ein typisches Beispiel ist die Expansion und Kompression im Zylinder von Verbrennungsmotoren. Für ideale Gase gilt pV κ = konst. mit dem Adiabatenexc
ponenten κ = cvp = f +2
f . Die adiabatische Zustandsänderung ist eine wichtige Art der Zustandsänderung,
wie auch die auf dem letzten Blatt besprochenen Isobare, Isochore und Isotherme Zustandsänderungen.
Es gibt weitere Arten der Zustandsänderung, dabei wird die Vorsilbe Iso immer dann verwendet, wenn
die entsprechende Grösse konstant ist.
1
4. Diskutiere anhand des Wassers die latente Wärme und was sie bewirken kann. Wir nehmen Normalbedingungen für den Druck an (1.01325 bar = 101’325 Pa).
Antwort:
Beim Schmelzen von Eis zu flüssigem Wasser oder Verdampfen von flüssigem zu gasförmigem Wasser wird
Wärme hinzugefügt, ohne dass sich die Temperatur ändert. Diese für den Phasenübergang erster Ordnung
(z.B. Änderung eines Aggregatzustandes) notwendige Wärme wird latente (lat. für verborgene) Wärme
genannt. Die spezifische Verdampfungswärme für Wasser beträgt L = 2257 kJ/kg und die spezifische
Schmelzwärme L = 333 kJ/kg (Werte aus Taschenbuch der Physik).
Abbildung 1: Verlauf des Aggregatzustandes bei Temperaturerhöhung. Quelle: Wilo
Aufgaben
1 Maxwell-Verteilung [3P]
Neutronen aus einem Reaktor werden durch flüssiges Helium der Temperatur T = 4.2 K abgekühlt. Durch Blenden wird ein waagerechter Neutronenstrahl erzeugt. Dieser durchläuft anschliessend ein 210 m langes evakuiertes
Rohr.
(a) [1P] Wie gross ist die RMS-Geschwindigkeit vrms (Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat) der
Neutronen? Berechnen Sie daraus deren Flugzeit t durch die Röhre und die Fallhöhe h unter dem Einfluss der
Erdanziehung.
(b) [1P] Wenn die Halbwertszeit der Neutronen 10.1 Minuten beträgt, wieviel Prozent der Neutronen zerfallen
während des Durchlaufens der berechneten Höhe h?
(c) [1P] Warum ist bei der Maxwell-Verteilung die am häufigsten vorkommende Geschwindigkeit etwas verschieden von der mittleren Geschwindigkeit und diese wiederum verschieden von der RMS-Geschwindigkeit, d.h. von
der Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat?
Lösung
(a) Gefragt ist:
√
< v2 > =
sZ
0
2
∞
v 2 p(v)dv.
(1.1)
3/2
Für das Integral in der Wurzel ergibt sich mit den Substitutionen A = 4π 2πkmB T
und B = 2km
BT
durch partielle Integration:
Z ∞
Z ∞
A h −Bv2 3 i∞
−Bv 2
−Bv 2 3
2
−3ve
v dv
(1.2)
ve
v dv =
−
< v >= A
−e
v
2B
0
0
0
Der erste Term ist Null aus dem Zweiten ergibt sich durch erneute partielle Integration analog:
Z ∞
2
3A
< v 2 >=
e−Bv dv
2
4B 0
(1.3)
Dieses Integral berechnet sich gleich wie das Integral über die Gauß-Verteilung. Da die Funktion symmetrisch um 0 ist kann auch von −∞ bis +∞ integriert und durch 2 geteilt werden. Das ganze quadrieren
und man erhält:
2 Z ∞
2 Z ∞
Z ∞
2
3A
3A
−Bv 2
−Bv 2
=
e
dv
e
dv
·
e−Bu du
(1.4)
< v 2 >2 =
8B 2 −∞
8B 2
−∞
−∞
2 Z ∞
2
2
3A
=
e−B(v +u ) dvdu
(1.5)
2
8B
−∞
Transformation in Polarkoordinaten (r2 = u2 + v 2 ) ergibt
2 Z ∞ Z 2π
2
3A
< v 2 >2 =
re−Br dφdr
8B 2
0
0
(3A)2
= 2 5π
8 B
und damit
√
4
< v 2 >2 =
√
r
r
√
3
3kB T
A
< v2 > =
π
=
= 322 m/s.
8 B 5/2
m
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Daraus ergibt sich die Flugzeit t zu:
t=
l
= 0.65 s
v
(1.9)
und eine Fallhöhe h von:
1 2
gt = 2.09 m.
(1.10)
2
Bemerkung: Normalerweise verwendet man die mittlere Geschwindigkeit v̄ für die Berechnung der Flugzeit.
h=
(b) Wir benutzen die Formel für die Berechnung der Anzahl noch radioaktiver Atomkerne nach der Zeit t mit
der Halbwertszeit t1/2 = τ · ln(2) von 10.1 min = 600 s + 0.1 min·60 s/min = 606 s:
N (t)
= N0 exp(−λt)
t
= N0 exp(− )
τ
ln(2) · t
= N0 exp(−
)
t1/2
= N0 · 2
−t
t
1/2
.
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Das Verhältnis N (t)/N0 := n ergibt dann 99.926%. Es sind also in der Zeit t = 0.65 s 0.074% der Neutronen
zerfallen.
R∞
(c) Der durchschnittliche Wert einer Grösse a mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichte p(v) wird als 0 ap(v)dv
berechnet. Der Wert des Integrals ist in der Regel abhängig von a und ungleich dem Maximum von p(v).
Für die Maxwell-Verteilung gilt p(vmax ) > p(v̄) > p(vRM S ). Im Spezialfall einer symmetrischen Verteilung,
wie z.B. der Gauß-Verteilung ist der Mittelwert gleich dem Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte.
3
2 Arbeit bei Kompression [2P]
Ein Mol eines 2-atomigen Gases soll komprimiert werden. Der Enddruck pE sei das m-fache des Anfangdruckes
pA . Die Kompression soll einmal isotherm und einmal adiabatisch ablaufen.
(a) [1P] Wie gross ist das Verhältnis der Arbeiten Wisotherm : Wadiabatisch , wenn in beiden Fällen der Anfangszustand derselbe ist?
(b) [0.5P] Bestimmen Sie das Verhältnis der Arbeiten für m = 2 und m = 100.
(c) [0.5P] Zeichnen Sie die entsprechenden Arbeiten qualitativ in ein p-V-Diagramm ein.
Lösung
(a) Isotherme Kompression. Nach dem ersten Hauptsatz gilt:
δW = dU − δQ
(2.1)
wobei dU = cV dT gilt. Da der Vorgang isotherm ist, gilt dT = 0 und daher
δW = −δQ = pdV.
(2.2)
Wir erhalten also:
Z
E
= −
Wisotherm
pdV
(2.3)
A
Z
E
1
dp
p2
A
pE
= N kB TA ln
pA
= N kB TA ln m,
= N kB TA
⇒ Wisotherm
p
(2.4)
(2.5)
(2.6)
wobei wir die Gasgleichung
pV = N kB TA
und
dV =
∂V
∂p
dp = −
T
(2.7)
N kB TA
dp
p2
(2.8)
benutzt haben.
Betrachte nun den Vorgang als adiabatischen Prozess. Es gilt δQ = 0 und daher δW = dU = cV dT . Damit
erhalten wir für die Arbeit
Z E
Wadiabatisch =
cV dT
(2.9)
A
⇒ Wadiabatisch
= cV (TE − TA ).
(2.10)
Für adiabatische Vorgänge gilt weiterhin pV κ = konst. Mit
V =
N kB T
p
(2.11)
erhält man:
T κ p1−κ = konst. = W ⇒ T p
4
1−κ
κ
=W ⇒T =
W
p
1−κ
κ
.
(2.12)
Damit erhält man:
Wadiabatisch
=
=
=
⇒ Wadiabatisch
=
cV (TE − TA )
κ−1
κ
cV W (pE
κ−1
κ
(2.13)
κ−1
κ
− pA )
κ−1
κ
− 1)
cV W pA · (m
κ−1
5
N kB TA (m κ − 1),
2
(2.14)
(2.15)
(2.16)
wobei wir im letzten Schritt cV = 25 N kB benutzt haben.
Das Verhältnis der Arbeiten ist dann:
Wisotherm
Wadiabatisch
=
2
ln m
.
· κ−1
5 m κ −1
(2.17)
(b) Mit κ = 1.4 für ein 2-atomiges Gas (f = 5) ergibt sich ein Verhältnis von:
Wisotherm
Wadiabatisch
Wisotherm
Wadiabatisch
=
1.27 bei m = 2,
(2.18)
=
0.68 bei m = 100.
(2.19)
(c) Folgender Plot zeigt die pV-Diagramme mit eingefärbter Arbeit der beiden Prozesse.
Abbildung 2: Durch isotherme und adiabatische Kompression zu leistende Arbeit.
3 Gay-Lussac: Temperatur [1P]
Die eine Hälfte eines Gay-Lussacschen Überströmungsapparates1 , welcher komplett nach aussen isoliert ist,
enthält ein Mol CO2 in einer Flasche von 10 l Inhalt.
(a) [0.5P] Um wieviel ändert sich die Gas-Temperatur, wenn das Gas ohne äussere Arbeitsleistung sein
Volumen verdoppelt (durch Aussströmen in eine evakuierte gleichgrosse zweite Flasche), und das ganze
System wieder im Gleichgewicht ist?
1 Eine
genauere Beschreibung des Gay-Lussacschen Überströmungsversuches findet sich in den Ergänzungsunterlagen auf der
PHY121 Webseite.
5
(b) [0.5P] Warum ändert sich die Temperatur nur für das reale Gas und nicht für ein ideales Gas?
CO2 verhält sich wie ein Van-der-Waals-Gas mit:
a = 0.36
Pa · m6
,
mol2
b = 0.0427
l
,
mol
cV = 28
J
mol · K
Lösung
(a) Wir verwenden die kalorische Zustandsgleichung für Van-der-Waals Gase:
a
U = cv · n · T − n 2
(3.1)
V
um ∆T = T1 − T0 zu bestimmen. Da das System keine Arbeit verrichtet (und auch kein Wärmeaustausch
stattfindet), gilt U = const. Somit folgt
1
1
−
(3.2)
cv · n · ∆T = n2 · a ·
V1
V0
und mit V0 = 0.01 m3 , V1 = 2 · V0 , n = 1 mol sowie den in der Aufgabe angegebenen Konstanten nach
Auflösung nach ∆T :
∆T = −0.64 K
(3.3)
Die Luft kühlt sich also während des Überströmens um 0.64 K ab.
(b) Der Grund liegt in den Kräften zwischen den Gasteilchen, welche beim Van-der-Waals Gas in die Betrachtung mit einbezogen und als anziehend betrachtet werden. Somit bedeutet eine Vergrösserung des
durchschnittlichen Abstands zwischen zwei Teilchen eine Erhöhung der potentiellen Energie der Teilchen,
was sich durch die Abgeschlossenheit des Systems automatisch in einer Reduktion der kinetischen Energie
der Teilchen einhergehend mit einer Temperaturreduktion widerspiegelt.
Genau mit den analogen, umgekehrten Argumenten können wir auch erklären, warum sich ein Ionengas (Gas mit lauter gleichgeladenen Teilchen, also abstossende Kräfte zwischen den Teilchen) im GayLussacschen Überstörmungsapparat erwärmen wird. Für ein ideales Gas bleibt die Temperatur konstant,
da die innere Energie ∆U = ∆Q + ∆W = 0 ist (es wird dem System weder Wärme zu- noch abgeführt
und es wird auch keine Arbeit in das System gesteckt).
4 Verdampfungswärme [2P]
Die Verdampfungswärme von Wasser bei 1.013 × 105 Pa und 100 ◦C beträgt 2.256 × 106 J/kg (aus Taschenbuch
der Physik).
(a) [1P] Wir wollen vom flüssigen zum gasförmigen Zustand gehen. Welcher Bruchteil dieser Energie wird zur
Volumenvergrösserung gebraucht?
(b) [1P] Wozu wird der Rest der Wärme gebraucht?
Lösung
(a) Bei 100 ◦C sind die Dichten ρfl = 958 kg/m3 und ρgas = 0.598 kg/m3 (Werte aus Kohlrausch Tabellen
und Diagramme2 ). Da der Prozess isobar verläuft, gilt für die aufzuwendende Arbeit zur Volumenänderung
W = p · ∆V . Somit gilt für die Arbeit:
W
=
p · ∆V
(4.1)
=
p · (Vgas − Vfl )
m
m
−
,
p·
ρgas
ρfl
(4.2)
=
2 http://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/publikationen/buecher/Kohlrausch/Tabellen/Kohlrausch_3_Tabellen_und
_Diagramme_Waerme.pdf
6
(4.3)
und für die Arbeit pro Masse
Wm
W
=
=p·
m
1
ρgas
1
−
ρfl
= 1.69 · 105 J/kg,
(4.4)
was rund 7.5% der gesamten Verdampfungswärme entspricht.
(b) Der Grund für diesen kleinen Anteil liegt in den starken zwischenmolekularen Kräften von Wasser (Wasserstoffbrücken). Dadurch wird ein hoher Anteil der Verdampfungswärme gebraucht, um diese Bindungen zu
brechen. Man beachte z.B. die Tatsache, dass die spezifische Verdampfungswärme für Wasser bis zu zehnmal
grösser als bei anderen Flüssigkeiten ist.
5 Föhn [4P]
Mit Wasserdampf gesättigte Luft (pB = 9.5 × 104 Pa, TB = 293 K) steigt von Bellinzona zum Gotthard auf.
Während des Aufsteigens kühlt sich die Luft ab und ein Teil des Wasserdampfs kondensiert. Auf der Passhöhe
misst man einen Druck von pG = 7.76 × 104 Pa und eine Temperatur von TG = 285 K.
(a) [1P] Welche Temperatur TG0 würde man auf der Passhöhe messen, wenn kein Wasserdampf kondensiert
wäre (behandeln Sie das Aufsteigen der Luft als adiabatischen Prozess)?
(b) [0.5P] Erklären Sie qualitativ, weshalb die Abkühlung in Wirklichkeit kleiner ausfällt als abgeschätzt.
(c)
[1P] Der Dampfdruck von Wasser beträgt bei 293 K pD,B = 2.3 × 103 Pa, bzw. bei 285 K pD,G =
1.38 × 103 Pa. Wieviele Mol Wasser ist pro Mol Luft während dem Aufstieg kondensiert? Wieviel Wärme ∆Q ist bei der Kondensation dieser Wassermenge frei geworden? Die Verdampfungswärme ist WV =
4.37 × 104 J/mol.
(d) [0.5P] Um wieviel kann man 1 mol trockene Luft mit dieser Energie ∆Q erwärmen, wenn man den Druck
konstant hält?
(e) [1P] Auf der Nordseite des Gotthards sinkt die Luft auf 500 m.ü.M hinunter. Der Druck sei wieder pN =
pB = 9.5 × 104 Pa und der Prozess sei adiabatisch. Wie gross ist die Endtemperatur TN auf der Nordseite?
Begründen Sie qualitativ, weshalb die Luft wesentlich wärmer wird, als sie in Bellinzona war.
Lösung
(a) Wir verwenden die Adiabatengleichung für die Abkühlung, welche als adiabatischer Prozess behandelt
wird,
p · V κ = const,
(5.1)
wobei κ der Adiabatenkoeffizient ist. Im Falle von Luft gilt κ ≈ cP /cV = 1.4. Weiter nehmen wir an, dass
die Luft der idealen Gasgleichung gehorcht, folglich können wir durch Einsetzen dieser in die Adiabatengleichung das Volumen V eliminieren:
⇒ p1−κ · T κ = const.
(5.2)
⇒ p1−κ
· TBκ = p1−κ
· TGκ0
B
G
!(1−κ)/κ
pB
⇒ TG0 = TB ·
pG
(5.3)
⇒ TG0 = 276.5 K.
Vom rein adiabatischen Prozess würden wir folglich eine Temperatur von rund 3.5 ◦ C erwarten.
7
(5.4)
(5.5)
(b) Die höhere tatsächliche Temperatur TG ist die Folge des Kondensationsprozesses von einem Teil des in der
Luft enthaltenen Wassers. Da dieser Prozess Wärme abgibt, führt er zu einer Erhöhung der Temperatur
verglichen mit dem abgeschätzten Wert TG0 .
(c) Wir können mittels der idealen Gasgleichung die molare Dichte der Luft ρeLuft,i = ni /Vi mit i = [B, G]
für Bellinzona und Gotthard bestimmen:
ρeLuft,i
=
pi
,
R · Ti
wobei wir für die Situation auf dem Gotthard den wahren Wert für T einsetzen müssen:
ρeLuft,B
=
39 mol/m3
ρeLuft,G
=
32.75 mol/m3 .
Ebenfalls können wir die molare Dichten für den Wasserdampf abschätzen:
ρeH2 O,i
=
ρeH2 O,B
=
pD,i
R · Ti
0.944 mol/m3
ρeH2 O,G
=
0.58 mol/m3 .
Das Verhältnis der molaren Dichten des Wasserdampfes und der Luft in Bellinzona beträgt somit rund
rB = ρeH2 O,B /e
ρLuft,B = 0.0242 und auf dem Gotthard rG = ρeH2 O,G /e
ρLuft,G = 0.0177. Das heisst, rund
∆rmol = rB − rG = 0.0065 Mol Wasser pro Mol Luft werden während des Prozesses auskondensiert.
Die Verdampfungswärme für Wasser beträgt WV = 4.37 · 104 J/mol. Somit lässt sich die frei gewordene Energie ∆Q pro Mol Luft bestimmen mittels:
∆Q = WV · ∆rmol = 284 J/molLuft .
(5.6)
(d) Die Erwärmung findet bei konstantem Druck statt, somit gilt:
∆Q = cP · ∆T
∆Q
∆Q
⇒ ∆T =
= 7 = 9.8 K.
cP
2R
(5.7)
(5.8)
Somit könnte man die Luft um 9.8 K erwärmen, was TGe = TG0 + ∆T = 286.3 K ergäbe. Dies stimmt fast
mit dem ursprünglichen Wert von TG = 285 K überein.
(e) Der Absinkprozess findet wieder adiabatisch statt. Wir verwenden dabei wieder (5.3) und erhalten:
TN = TG ·
⇒
TN = 302 K.
pG
pN
! (1−κ)
κ
(5.9)
(5.10)
Die Temperatur auf der Nordseite beträgt also rund 30 ◦ C. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass es
sich bei dem Absinkprozess um eine trockenadiabatische Erwärmung handelt, während der Aufstieg eine
feuchtadiabatische Abkühlung ist.
24. März 2017
8