Klausur zur Vorlesung Grundwissen Schulmathematik Ersttermin

Dr. Christian Werge, Steffen Hintze
WS 2015/2016
Klausur zur Vorlesung
Grundwissen Schulmathematik
Ersttermin WS 2015/2016
Allgemeine Hinweise
• Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer.
• Nutzen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt.
• Weder elektronische Rechenmaschinen noch Aufzeichungen sind zugelassen.
• Für die Bearbeitung der Aufgaben haben Sie ingesamt 90 Minuten Zeit.
• Alle Lösungen sind zu begründen.
• Mit 30 Punkten haben Sie bestanden.
Name, Vorname:
Matrikelnummer:
Unterschrift:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
Gesamt
Punkte
Note:
VIEL ERFOLG !
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Seite 1 von 5
Dr. Christian Werge, Steffen Hintze
WS 2015/2016
Aufgabe 1
Rechnen in verschiedenen Stellenwertsystemen
10 Punkte
Lösen Sie die folgenden Rechenaufgaben schriftlich. Rechnen Sie in den Teilaufgaben a), b) und c)
die Zahlen NICHT in das Dezimalsystem um.
a) (7461)8 + (5537)8
(2 P)
b) (524)6 · (25)6
(3 P)
c) Rechnen Sie die Zahl (6451)7 ins Stellenwertsystem zur Basis b = 4 um.
(3 P)
d) Es gilt: (396)10 = (246)b . Ermitteln Sie die Basis b ∈ N.
(2 P)
Aufgabe 2
Aufgaben zur Teilbarkeit
10 Punkte
a) Zeigen Sie, dass die auf N definierte Relation
R = {(a, b)|a, b ∈ N; 5|(2a + 3b)}
eine Äquivalenzrelation ist.
Geben Sie drei verschiedene Zahlen an, die in der Äquivalenzklasse [1]R liegen.
(7 P)
b) Untersuchen Sie, welchen Rest die Zahl
3523842
bei der Division durch 5 lässt.
(3 P)
Aufgabe 3
Lineare Kongruenzen und diophantische Gleichungen
10 Punkte
a) Untersuchen Sie zunächst, ob die lineare Kongruenz lösbar ist. Bestimmen Sie im Falle der
Lösbarkeit alle ganzen Zahlen, welche die jeweilige lineare Kongruenz erfüllen. Geben Sie
anschließend die drei kleinsten natürlichen Zahlen an, welche die Kongruenz erfüllen.
(4 P)
1.) 41x ≡ 8 (mod 19)
2.) 42x ≡ 15 (mod 24)
b) Burt bewahrt seine Kronkorkensammlung in kleinen Schachteln auf. Legt er jeweils zwölf
Kronkorken in eine Schachtel, so bleiben am Ende zwei Kronkorken übrig. Legt er jeweils elf
Kronkorken in eine Schachtel, so bleiben am Ende sieben Kronkorken übrig.
Ermitteln Sie alle möglichen Anzahlen von Kronkorken, aus denen Burts Sammlung diesen
Angaben nach bestehen kann.
Untersuchen Sie, ob die Anzahl von Kronkorken in Burts Sammlung den obigen Angaben nach
ein Vielfaches von 4 sein kann.
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
(6 P)
Seite 2 von 5
Dr. Christian Werge, Steffen Hintze
WS 2015/2016
Aufgabe 4
Flächeninhalt eines Vierecks
6 Punkte
Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a werde ein weiteres Viereck EF GH so einbeschrieben,
dass gilt:
E ∈ AB ; AE = s ; F ∈ BC ; BF = s ; G ∈ CD ; GD = s ; H ∈ AD ; AH = s
Beweisen Sie, dass der Flächeninhalt des einbeschriebenen Vierecks EF GH von der Länge s mit
0 < s < a unabhängig ist.
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Seite 3 von 5
Dr. Christian Werge, Steffen Hintze
WS 2015/2016
Aufgabe 5
Kreisbögen und Winkel
12 Punkte
Der Kreisbogen kA um den Punkt A durch den Punkt B schneidet den Kreisbogen kB um den
Punkt B durch den Punkt A im Punkt E.
D ist ein variabler Punkt auf kA . Die Strahlen AE und BD schneiden sich im Punkt C.
a) Zeigen Sie, dass ^BAE = 60◦ gilt.
(2 P)
b) Berechnen Sie den funktionalen Zusammenhang der Winkel α = ^BAD und γ = ^ACB in
der Form γ = f (α).
Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Funktion f (α) so an, dass die Charakteristik der
Figur sinnvoll erhalten bleibt.
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
(10 P)
Seite 4 von 5
Dr. Christian Werge, Steffen Hintze
WS 2015/2016
Aufgabe 6
Kreise und gleichschenkliges Dreieck
12 Punkte
Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck 4ABC mit der Basis AB = c und Basiswinkeln von 72◦ .
a) Der Kreis k berührt die Strecke AB in ihrem Mittelpunkt E und er verläuft durch C. Zeigen
Sie, dass für seinen Radius r gilt:
q
√
c
r = · 5+2 5
4
p
√
Nutzen Sie den Zusammenhang tan 72◦ = 5 + 2 5 für Ihre Argumentation.
(2 P)
b) Der Kreis ki sei der Inkreis des Dreiecks 4ABC. Berechnen Sie seinen Radius ri . Nutzen Sie
p
√
den Zusammenhang tan 36◦ = 5 − 2 5 für Ihre Argumentation.
(5 P)
c) Berechnen Sie die Länge der Strecke AD, wobei D der Schnittpunkt von AC und k ist. (5 P)
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Seite 5 von 5