Oktober 2015

Bauingenieur- und Umweltingenieurwesen
Institut für Geotechnik
und
Geohydraulik
Universität Kassel- D-34109 Kassel
Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch
Universität Kassel
Kurt-Wolters-Str. 3
34125 Kassel
[email protected]
fon + 49-561 804-3198
fax + 49-561 804-3953
WS 2015/2016
Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen)
Hydromechanik I + II (Nachklausur)
06. Oktober 2015, 10:00 – 12:00 Uhr, Kurt-Wolters-Straße 3, HS 0117
Prüfungsteilnehmer
Korrekturbemerkungen
___________________________________
Name, Vorname
___________________________________
Matrikelnummer
___________________________________
Unterschrift
Punktebilanz und Note
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Sum
Max. Punkte
4
4
5
4
5
5
6
3
6
6
6
6
60
Punkte
Note
Aufgabe 1
Bei einer Temperatur von 25°C sind 200g Luft in einem Zylinder mit einem Volumen
von V Zyl. = 20L eingeschlossen.
(a)
Wie groß ist der Druck im Zylinder?
(b)
Wie groß ist die Dichte der Luft?
Gegeben: allgemeine Gaskonstante R=8,31J/(K*mol)
Aufgabe 2
Nach einer Siebanalyse des Lockergesteines eines sehr homogenen Grundwasserleiters wurde der Porendurchmesser mit d=1.2mm bestimmt. Berechnen Sie
a) die maximale Kapillarsteighöhe des Wassers in dem Grundwasserleiter und
b) den Unterdruck in der Kapillare.
Gegeben: Oberflächenspannung des Wassers σ=0,074N/m
Aufgabe 3
Ein Körper mit einer Masse von 50 kg steht auf einer horizontalen, mit Öl geglätteten Fläche.
(a) Welche Kraft muss auf den Körper wirken damit er sich mit der Geschwindigkeit von
v=0,5m/s bewegt?
(b) Wie groß wäre die Kraft, wenn die Fläche nicht mit Öl benetzt wäre?
(c) Erklären Sie den physikalischen Unterschied der beiden Reibungsphänomene.
Gegeben: für (a) Öl als Gleitmittel; dynamische Viskosität η=0,1Pa s, Dicke des Gleitfilms
d=0,1mm, rechteckige Kontaktfläche des Körpers A=0,5 x 0,4m; für (b) Reibungszahl μ=0,7
Aufgabe 4
Ein Ziegelstein mit den Maßen 24 cm x 12 cm x 7 cm wird ins Wasser geworfen.
Welche Kraft muss man aufbringen, um den Stein unter Wasser anzuheben?
Gegeben: Dichte Ziegelstein ρ = 1,4 g/cm 3 .
Aufgabe 5
Aus einem Boot, das auf einem Teich schwimmt, wird ein Stein ins Wasser geworfen.
Wie verändert sich der Wasserspiegel im Teich , d.h. sinkt er, bleibt er gleich, oder
steigt er? Begründen Sie Ihre (qualitative) Antwort (sonst Punkteabzug).
Aufgabe 6
Wie groß ist die mit dem Differentialmanometer (Abb. 1) gemessene Druckdifferenz zwischen den Punkten A und B, wenn sich die angezeigte Spiegeldifferenz im Manometer von
8cm einstellt?
Gegeben: Dichte von Quecksilber ρHg=13600kg/m³, Dichte von Wasser ρH20=1000kg/m³
Abb. 1: Differenzdruckrohrmanometer
Aufgabe 7
Wie hoch ist die Druckkraft auf eine quadratisc he,
geneigte Platte (Abb. 2) in dem Flusskanal? Berechnen Sie die Höhe des Druckpunktes sowie die en tsprechende Außermittigkeit.
Gegeben: quadratische Fläche der Platte: a=b=3m x
3m; α=50°; Wassertiefe h=6m
Abb.2: geneigte Platte
Aufgabe 8
Welche Arten von Turbinen für die Wasserkraftnutzung gibt es, und wie und wo
werden diese vorzugsweise angewendet?
Aufgabe 9
Die Drei-Schluchten-Talsperre
am Jangtsekiang in China beherbergt das größte
Wasserkraftwerk der Erde mit einer installierten Generator-Leistung (bei 26 Turbinen) von P=18,2 Gigawatt. Die Bemessungstauhöhe für die Aufrechterhaltung dieser
Leistung beträgt h=185m.
(a) Berechnen Sie den Gesamt-Durchfluss Q durch alle Turbinen, der notwendig ist,
um diese elektrische Leistung zu produzieren (bei einem Wirkungsgrad η=0,9).
(b) Die Drei-Schluchten-Talsperre „fängt“
in dem dahinter liegenden Stausee (mit
einer Länge von etwa 600 km und mittleren Breite von 1,6 km), langfristig alles
Wasser im Einzugsgebiet (EZG) des Jangtse oberhalb der Talsperre ab. Dieses Wasser
ist der von diesem EZG abfließende effektive Niederschlag N eff , d.h. fallender Niederschlag N minus (im wesentlichen) Verdunstung V . Letztere beträgt etwa 0,6 von
N.
Der mittlere jährliche Niederschlag im Oberlauf des Jangtse kann mit 1000mm
angenommen werden.
Berechnen Sie unter Annahme einer stationären Wasserbilanz (was für einen Zeitraum vom einem Jahr meistens angenommen werden kann) die effektive Fläche A eff
des EZG, die den Niederschlag produzieren muss, um den in Aufgabe (a) berechn eten Durchfluss Q an der Drei-Schluchten-Talsperre aufrecht zu erhalten.
Aufgabe 10
(a) Erklären Sie die Begriffe statischer, dynamischer und Gesamt-Druck anhand der
Bernoulli Gleichung.
(b) Diese Begriffe sind von Bedeutung in der praktischen Messung von Geschwindigkeiten (Flugzeug) mittels eines Prandtl - (missverständlich auch Pitot) Rohres. Skizzieren und beschreiben Sie die Funktionsweise eines solchen Rohres .
(c) Welche Druckdifferenz p dym stellt sich dann im Prandtl-Rohr am Tragflügel eines
Flugzeuges beim Abheben nach dem Start bei einer Geschwindigkeit von 250 km/h
ein? Gegeben: Dichte der Luft ρ L =1kg/m 3 .
Aufgabe 11
Skizzieren Sie die Energie- und Piezometerlinien für die gezeichnete Strömungsko nfiguration (Abb. 3)
(a) ohne Rohrverlust (ideale Strömung)!
(b) mit Rohrverlusten (reale Strömung)!
Bitte fertigen Sie 2 Skizzen an mit erklärender Kurzbeschriftung.
(c) Wie groß ist die Geschwindigkeit v 2 im mittleren Rohr (d 2 ), wenn im dünnsten
Rohr (d 3 ) eine Geschwindigkeit von v 3 =10m/s gemessen wird? (keine Verluste)
Gegeben: v 3 = 10m/s, d 2 = 6cm, d 3 = 4cm, L 2 =25m, L 3 =20m.
L2
L3
Abb 3: Scharfkantiger Auslauf in ein Rohr mit Rohrverjüngung (d 2 → d 3 )
Aufgabe 12
In dem in der vorherigen Aufgabe 11 dargestelltem, auslaufendem Behälter (Abb.
3) soll ein Auslauf von Q = 10L/s sichergestellt werden.
Wie hoch muss dazu der
Wasserspiegel z 1 im Behälter gehalten werden, bei Berücksichtigung aller Verluste?
Gegeben: kinematische Viskosität ν=1,13*10 -6 m²/s; k (Stahlrohr)=1mm, Scharfer
Einlauf, Verlustkoeffizient ζ am Rohrübergang = 0,3: Moody-Diagramm (Abb.4)
Abb. 4: Moody-Diagramm
Lösung
Aufgabe 1: (4 Punkte)
(a)
p * V = m * Rs * T
// R s : spezifische Gaskonstante
R s = R/M = 8,31J/(K*mol) / 0,029kg/mol = 286,55J/(K*kg)
p = (m * R s * T) / V = (0,2kg * 286,55J/K*kg * (273,15K+25K) / 0,02m³
p = 854349 Pa
(b)
ρ = m/V = 0,2kg / 0,02m³
ρ = 10 kg/m³
Aufgabe 2: (4 Punkte)
(a)
h = (2 * σ) / (ρ * g * r) =(2*0,074N/m) / (1000kg/m³ * 9,81m/s² * 0,0006m)
h = 0,0251m (= 2,5cm)
(b)
p = (2 * σ) / r = 2 * 0,074N/m / 0,0006m
p = 246,66Pa
Aufgabe 3: (5 Punkte)
(a)
Newton’scher Schubspannungsansatz
τ = F/A
τ = η * (dv/dx)
F/A = η * (dv/dx)
F = η * (dv/dx) * A
F = 0,1Pa*s * (0,5m/s / 0,0001m) * (0,5m * 0,4m)
F = 100N
(b)
Coulomb’sches Reibungsgesetz
F R = μ * FG
FR = μ * m * g
FR = 0,7 * 50 kg * 9,81 m/s²
FR = 343,4 N
(c)
1. Newton‘sches Reibungsgesetz (Innere Reibung):
- Platte bewegt sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit über ein Fluid
- Kraft hängt von Geschwindigkeit der Platte, Viskosität des Fluids und Dicke des
Fluid-Films ab
2. Coulomb’sches Reibungsgesetz (Äußere Reibung):
- Platte bewegt sich auf anderer Kontaktfläche
- Nur abhängig von Reibungszahl der Kontaktfläche und Masse der Platte
Aufgabe 4 (4 Punkte)
G = m *g
= ρ * V *g
//Gewichtskraft des Ziegelsteines
G = 1400 * (0,24 * 0,12 * 0,07) *9,81
G = 27,69N
F A = ρ H2O * g * V
//Auftriebskraft des verdrängten Wassers
F A = 1000 * 9,81* (0,24 * 0,12 * 0,07)
F A = 19,78 N
F H = G - F A = 27,69- 19,78 //Hebekraft
F H = 7,91N
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Sei die Dichte des Steins ρ Stein . Diese ist sehr viel größer als die Dichte des
Wassers ρ H2O . Der Stein hat eine Gewichtskraft G stein = ρ Stein *V Stein *g.
Wenn
der Stein noch im Boot ist, stellt sich ein Schwimmgleichgewicht ein, und d ie
Gewichtskraft des Steines (+ Boot) wird durch den Auftrieb des Wassers
kompensiert, d.h. es wird F A = ρ H2O * g * V, mit V dem verdrängten Wasser,
d.h. V = F A / ρ H2O * g > V Stein .
Wird der Stein vom Boot in das Wasser geworfen, nimmt das Volumen des
Wassers im Teich zunächst um dieses Volumen V ab, um dann nach Absinken
des Steines sich wieder um das Volumen V Stein zu vergrößern. Da V > V Stein ,
ist die effektive Volumenänderung negativ, d.h. der Wasserspiegel sinkt.
Aufgabe 6 (5 Punkte)
p Links = p Rechts
p A + ρ H20 * g * h = p B + ρ Hg * g * h
p A - p B = Δp = (ρ Hg - ρ H20 ) *g * Δh
Δp = (13600kg/m³ - 1000kg/m³) * 9,81m/s² * 0,08m
Δp = 9888,48Pa (=9,89kPa)
Aufgabe 7 (6 Punkte)
FD = ρ * g * z S * A
z S = h -z SW
//z SW = b/2 sinα
z S = h - b/2 sinα = 6m -3m/2 *sin50°
z S =4,85m
und
z S ’ = z S / sinα
z S ’ =6,33m
F D = 1000kg/m³ * 9,81m/s² * 4,85m * 3m *3m
F D = 428207N
b/2
Außermittigkeit
e’ = I 0 / (z S ’ *A)
//z S ’ = z S / sinα
e’ = I 0 / (z S / sinα *A)
e’ = (ab³/12) / (z S / sinα *A)
e’ = (3*3³ /12)/(6,33*3*3)
e’ = 0,118 m
z D ’ = z S ’ + e’
z D ’ = 6,33+0,118
z D ’ = 6,45m
z D = z D ’ *sinα = 6,45 * sin50°
z D = 4,94m
Aufgabe 8 (3 Punkte)
Stichworte:
Pelton: hohe Fallhöhen
Francis: mittlere Fallhöhen
Kaplan: geringe Fallhöhen
s. Kennlinienfeld.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/a4/Kennfeld.PNG
Aufgabe 9 (6 Punkte)
a)
Turbinenformel
P eff =P P /η
P eff =p*Q
Q = P/(η*ρ*g*h)
Q =18,2*10 9 W / (0,9 * 1000kg/m³ * 9,81m/s² * 185m)
Q =11142,6 m 3 /s
b)
Es wird angenommen, dass der obige Durchfluss im Mittel durch den effekt iven Niederschlag pro Sekunde produziert wird.
Effektive Niederschlagshöhe im Jahr
N eff = N - V
|V=N*0,6
N eff = N - N*0,6
N eff = 1m/a – 1m/a * 0,6
N eff = 0,4m/a
|/365 /86400
Effektive Niederschlagshöhe pro Sekunde
N eff = 1,27*10 -8 m/s
Q = N eff * A EZG
A EZG = Q/ N eff
A EZG = 11142,6 m³/s/(1,27*10 -8 m/s)
A EZG = 8,78*10 11 m²
A EZG = 878485 km²
Aufgabe 10 (6 Punkte)
(a)
- Statischer Druck ist der senkrecht zur Strömungsrichtung gemessene Druck
- Dynamischer Druck wirkt in Strömungsrichtung aufgrund des bewegten
Fluids
- [Schweredruck ist der infolge der Gewichtskraft der Flüssigkeit entstehende
Druck und spielt bei horizontaler Strömung keine Rolle]
Bernoulli Gleichung:
p s /ρg + v²/2g + z = konstant
für z = konstant bei horizontaler Strömung
p s /ρg + v²/2g = konstant
|*ρg
p s +ρv²/2 = konstant
p s + p dyn = p t
statisch
dynamisch
Gesamtdruck
(b)
Konstruktiv besteht das Prandtl-Rohr aus zwei Röhren, von denen das zur
Strömung frontal geöffnete Pitotrohr den Gesamtdruck p ges =p st +p dyn und das
zur Strömung streichend geöffnete Piezorohr den statischen Druck p st =ρ*g*h
misst. Hieraus ergibt sich der dynamische Druck bzw. die Strömungsg eschwindigkeit:
p st + p dyn = p ges
p st + ρv²/2 = p ges
v = (2*(p ges – p st) / ρ ) 1/2
p dyn = p ges – p st
(c)
p dyn = ρ L *v² /2 = 1 kg/m³ * 69,44² m/s / 2
p dyn = 2411 Pa
Aufgabe 11 (6 Punkte)
(c)
Q=v *A
v2 * A2 = v3 * A3
v 2 * ¼ *π *d 2 ² = v 3 * ¼ * π *d 3 ²
v 3 = (v 2 * d 3 ²) / d 2 ²
v 3 = (10* 0,04²) / 0,06²
v 3 = 4,44m/s
Aufgabe 12 (6 Punkte)
Anwendung der Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen Wasseroberfläche des Reservoirs (1) und Rohrausgang (3)
Gleichgewicht der Energiehöhen:
H 1 =H 3
z 1 + p 1 /ρg + v 1 ²/2g = z 3 + p 3 /ρg + v 3 ²/2g + h V
hV = hR + hö
Summe der Verluste
mit
h R = ∑(λ *L/d *v i ²/2g) [Reibungsverluste Darcy-Weisbach über 2
Rohrsektionen]
λ = f(Re, k/d) (Re: Reynolds-Zahl, k: Rohrrauhigkeit)
und
h ö = ∑ ζ i * v 2 ²/2g
(Summer der örtlichen Verluste)
=>
z 1 + p 1 /ρg + v 1 ²/2g = z 3 + p 3 /ρg +
v 3 ²/2g +(∑λ i *L/d* v i ² +∑ ζ i *v i ²) /2g
Annahme eines großen Reservoirs: p 1 =0 und p 3 =0 und z 3 =0
z 1 = v² 3 /2g + (∑λ i *L/d* v i ² +∑ ζ i *v i ²) /2g
Berechnung von v 3 und v 2 :
Q = v 3 * A3 = v2 * A2
=>
v 3 = Q/A 3 = Q/(π*r 3 ²) = 0,01/(π*0,02²)
= 7,96m/s
v 2 = Q/A 2 = Q/(π*r 3 ²) = 0,01/(π*0,03²)
= 3,54m/s
Berechnung der Reynolds-Zahlen in den beiden Sektionen:
Re 2 = v 2 *d 2 /ν =3,54*0,06/(1,13*10 -6 )
Re 2 = 187965
Re 3 = v 3 *d 3 /ν = 7,96*0,04/(1,13*10 -6 )
Re 3 = 281770
 Strömung ist turbulent in beiden Sektionen.
Mit Rohrrauhigheit k= 1mm folgt für
Sektion 2: k/d 2 = 1/60 =0,017 = 1,7 *10 -2
Sektion 3: k/d 3 = 1/40 =0,025 = 2,5 *10 -2
Aus Moody-Diagramm mit Re 2 und Re 3 folgt für
Sektion 2 λ 2 =0,045
Sektion 3 λ 3 =0,053
z 1 = v² 3 /2g
+ (λ 2 *L 2 /d 2 * v 2 ² + λ 3 *L 3 /d 3 * v 3 ²)/2g
+ (ζ e *v 2 ² + ζ K *v 2 ² + ζ A *v 3 ²)/2g
//Reibungsverluste
//Ein-, Kontraktions- und
Auslaufverluste
z 1 = (7,96²
+ 0,045*25/0,06 *3,54² + 0,053*20/0,04 *7,96²
+ 0,5*3,54² + 0,3*3,54² +1* 7,96²) /(2*9,81)
z 1 = 104,5m