RC-Schaltkreise

Mathias Arbeiter
06. April 2006
Betreuer: Herr Bojarski
RCL - Netzwerke
Einführung in das Verhalten passiver Wechselstromnetzwerke
Inhaltsverzeichnis
1 Tiefpassfilter - RC-Schaltkreis
1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tiefpassfilter - RC-Schaltkreis . .
1.2 Charakteristika des RC-Schaltkreises: . .
1.2.1 Durchführung: . . . . . . . . . .
1.2.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen
1.2.3 Ergebnisse/Auswertung: . . . . .
1.3 Zeitkonstante τ . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Durchführung: . . . . . . . . . .
1.3.2 Berechnungen/Vorbetrachtungen:
1.3.3 Ergebnisse/Auswertung: . . . . .
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3
3
3
3
3
4
4
5
5
5
5
2 Kompensierter Spannungsteiler
2.1 Spannungsteiler . . . . . . . . .
2.1.1 Theorie . . . . . . . . .
2.1.2 Durchführung . . . . . .
2.1.3 Ergebnisse/Auswertung:
2.2 Fourierspektren . . . . . . . . .
2.2.1 Durchführung . . . . . .
2.2.2 Ergebnisse/Auswertung:
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6
6
6
6
7
8
8
8
3 Wien-Brücke
3.1 Vorbetrachtungen: . . . . . . . . . . . .
3.2 Durchführung: . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Berechnungen/Vorüberlegungen: . . . .
3.4 Ergebnisse/Auswertung: . . . . . . . . .
3.4.1 Phasenverschiebung ϕ = 0◦ . . .
3.4.2 Phasenverschiebung ϕ = +47.29◦
3.4.3 Phasenverschiebung ϕ = −45◦ .
3.5 Vergleich der drei Frequenzen . . . . . .
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10
10
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11
12
12
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13
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1
Tiefpassfilter - RC-Schaltkreis
1.1
1.1.1
Theorie
Tiefpassfilter - RC-Schaltkreis
Ein Tiefpassfilter setzt sich aus einer Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand zusammen:
Abbildung 1: RC-Schaltkreis
Sei im Folgenden:
Ua
Ue
UR
UC
= Ausgangsspannung
= Eingangsspannung
= Spannung am Widerstand
= Spannung am Kondensator
Dabei gelten folgende Zusammenhänge:
Ua
UR
1.2
1.2.1
= UC
= Ue − Ua
Charakteristika des RC-Schaltkreises:
Durchführung:
• Schaltung gemäß Abb. 1 aufbauen
• Kapazität, Widerstand und Frequenz gemäß Bedingung (1) einstellen
• mithilfe des Oszilloskops kann über die ±-Taste eine zusätzliche Funktion angezeigt werden, die die
Ausgangsspannung von der Eingangsspannung abzieht
• für die Zeitkonstante wird UR wieder herausgenommen und die REchteckspannung (Ue ) über die
Ausgangsspannung (Ua = UC ) gelegt
• da die Zeitkonstante unabhängig von der Frequenz ist und nur von R und C abhängt, kann die
Frequenz so verändert werden, dass möglichst viel Spannung am Ausgang noch anliegt (Tiefpassfilter
⇒ tiefere Frequenzen einstellen)
• so fällt weniger Spannung ab und die ZEitkonstante kann genauer ermittelt werden
1.2.2
Berechnungen/Vorbetrachtungen
Folgende Bedingung gilt es zu erfüllen:
3 · R · C = ti
(1)
Da es sich bei unserer Schaltung um einen Tiefpassfilter handelt, der hohe Frequenzen herausfilter, muss
die Frequenz der eingehenden Rechteckspannung hinreichend klein sein.
Des Weiteren ist darauf zu achten, dass der Innenwiderstand des Generators (Ri = 50Ω) und die Eingangskapazität des Oszillografen (CO = 13pF ) vernachlässigbar sind.
Gewählte Frequenz:
f = 50Ω
Gewählter Widerstand:
R = 10000Ω
Daraus resultierende Kapazität:
C = 0.67µF
1.2.3
Ergebnisse/Auswertung:
Abbildung 2: RC-Schaltkreis: oben: Ue , mittig: UR , unten: Ua
Der Einfluss des Kondensators tritt deutlich zutage. Mit exponentiellem Verlauf nimmt die Ausgangsspannung ab bzw. zu, welches vom Entladen bzw. Aufladen des Kondensators herrührt.
1.3
1.3.1
Zeitkonstante τ
Durchführung:
• für die Zeitkonstante wird UR wieder herausgenommen und die REchteckspannung (Ue ) über die
Ausgangsspannung (Ua = UC ) gelegt
• da die Zeitkonstante unabhängig von der Frequenz ist und nur von R und C abhängt, kann die
Frequenz so verändert werden, dass möglichst viel Spannung am Ausgang noch anliegt (Tiefpassfilter
⇒ tiefere Frequenzen einstellen)
• so fällt weniger Spannung ab und die ZEitkonstante kann genauer ermittelt werden
1.3.2
Berechnungen/Vorbetrachtungen:
Die Zeitkonstante gibt den Zeitraum an, wann die Spannung auf
1
e
abgefallen ist.
Sie ist frequenzunabhängig und berechnet sich wie folgt:
τ =R·C
1.3.3
Ergebnisse/Auswertung:
In Abb. (3) wurde die Rechteck-Eingangsspannung und die Ausgangsspannung (Ua = UC ) aufgetragen.
Bei UC ist zu sehen, wie die Spannung über den Kondensator exponentiell abfällt.
Aus Abb. 3 kann nun die Zeitkonstante τ berechnet werden.
Abbildung 3: RC-Schaltkreis: oben: Ue , mittig: UR , unten: Ua
Die Zeitkonstante gibt an, wann die Spannung auf 1e abgefallen ist.
Anhand der Zeitfenster, die der Oszilloskop angibt, kann nun die Zeitkonstante ermittelt werden.
Es ergibt sich ein experimentell ermittelter Wert von:
τexp = 6.8ms
Der theoretisch berechnete Wert liegt bei:
τtheo = R · C = 10000Ω · 0.67pF = 0.67ms
2
Kompensierter Spannungsteiler
2.1
2.1.1
Spannungsteiler
Theorie
Die Schaltung eines frequenzkompensierten Spannungsteiler setzt sich aus zwei festen Widerständen,
einem regelbaren Widerstand und einer regelbaren Kapazität zusammen.
Abbildung 4: Schaltbild frequenzkompensierter Spannungsteiler
Dabei wurde folgendes Modul verwendet.
Abbildung 5: verwendetes Modul zum Aufbau des Spannungsteilers
Die Ausgangsspannung Ua wird dabei über den nicht-regelbaren Kondensator abgegriffen.
2.1.2
Durchführung
• Schaltung gemäß Abb. 4 aufbauen
• der regelbare Kondensator kommt dabei an der Phase die Frequenzgenerators (siehe Abb. 5)
• mithilfe eines Schraubenziehers kann man den regelbaren Widerstand verändern
• über das -Schwungrad- kann der regelbare Kondensator variiert werden
• der regelbare Kondensator kann über über das Einschieben einer größerer Fläche (drehbar gelagert)
variiert werden
• der Widerstand und der Kondensator werden nun so eingestellt, dass sich ein Spannungsverhältnis
Ue
5
= einstellt
Ua
1
• als Eingangsspannung wurde abermals eine Rechteckspannung verwendet
• da dieser Spannungsteiler frequenzkompensiert ist, bleibt das Verhältnis
Ue
5
= für alle Frequenzen
Ua
1
gleich (bei entsprechender Kompensation mithilfe des Kondensators)
2.1.3
Ergebnisse/Auswertung:
Abbildung 6: Funktion eines Spannungsteilers: oben: Ue , mitte: Ua unten: FFT
Mithilfe der Cursur-Tasten am Oszilloskopen kann nun das Spannungsverhältnis ermittelt werden:
Ausgangsspannung:
∆V = 2.125 = Ua
eingestellte Eingangsspannung:
∆V = 10.63 = Ue
Dies ergibt ein Spannungsverhältnis:
10.63
Ue
=
= 5.002
Ua
2.125
Des Weiteren wurde für unterschiedliche Frequenzen dieses Verhältnis überprüft.
f1
f2
f3
= 20Hz
= 100Hzsiehe Abb. 6
= 1200Hz
Für alle Frequenzen blieb das Spannungsverhältnis gleich.
2.2
2.2.1
Fourierspektren
Durchführung
• der regelbare Kondensator wird variiert
• dabei wird der Kondensator
– 1) optimal eingestellt (Ausgangsspannung besitzt Rechteckform)
– 2) maximale Kapazität (die senkrechten Kanten der rechteckförmigen Ausgangsspannung flachen ab [verschmieren])
– 3) minimale Kapazität (die waagerechten Kanten verschmieren, Zacken an den senkrechten
Kantenverläufen)
• zu jedem dieser drei Fälle wird die Ausgangsspannung fourier-zerlegt (FastFourierTransformation)
2.2.2
Ergebnisse/Auswertung:
Alle Fourierspektren wurden bei einer Frequenz von f = 12181 Hz gemessen.
Abbildung 7: Fourierspektrum bei optimaler Kompensation
In Abb. 7 ist zu sehen, dass die Ausgangsspannung (mittlere Kurve) eine sehr exakte Rechteckspannung
darstellt. Deutlich aus dem Fourierspektrum zu sehen, ist, dass sich die Rechteckspannung aus dem
Vielfachen einer bestimmten Frequenz zusammensetzt.
Abbildung 8: Fourierspektrum bei überhöhter Kompensation
In Abb. 8 stellt die Ausgangsspannung (mittlere Kurve) keine Rechteckspannung mehr dar. Der Kondensatorfläche wurde größtmöglichst recuziert. Die senkrechten Verläufe der Rechteckspannung sind überspitzt.
Die waagerechten Anteile werden jedoch sehr gut dargestellt.
Es ist zu erkennen, dass die Amplituden im Fourierspektrum bei den tiefen Frequenzen leicht höher liegen,
als in Abb. 7. Tiefe Frequenzen werden bei dieser Konstellation von Kondensator und Widerstand sehr
gut passiert.
Abbildung 9: Fourierspektrum bei nicht ausreichender Kompensation
In Abb. 9 wurde der Kondensator mit maximaler Fläche in den Stromkreis geschalten. Die Ausgangsspannung stellt demzufolge keine Rechteckspannung mehr dar. Die waagerechten Anteile verschmieren
exponentiell.
Abbildung 10: Fourierspektrum bei nicht ausreichender Kompensation - Ausschnitt
In Abb. 10 ist dieser Verlauf deutlicher zu erkennen. Das Fourierspektrum in Abb. 9 zeigt deutlich
Abweichungen zu den anderen Spektren. Die Amplituden der tiefen Frequenzen im Fourierspektrum sind
deutlich geringer als bei den anderen Spektren.
3
3.1
Wien-Brücke
Vorbetrachtungen:
Abbildung 11: Schaltkreis einer Wien-Brücke
Zur Realisierung der Schaltung steht folgendes Modul zur Verfügung:
Abbildung 12: Modul zur Realisierung einer Wien-Brücke
C-R-Reihenschaltung:
Z1 = R +
1
jωC
C-R-Parallschaltung:
Z2 =
1
R
1
+j ω C
Das Spannungsverhältnis ergibt sich zu:
Z2
Ua
=
Ue
Z1 + Z2
⇒
Ua
Ue
=
3.2
1
=
1
R
+j ω C
1+
1
jωRC
R+
1
jωC
+
1
( R1 +j ω C )
1
+jωRC +1+1
(2)
Durchführung:
• Aufbau gemäß Schaltung 11
• die Phaseverschiebung und somit auch das Übertragungsverhältnis ist nun frequenzabhängig
• die Eingangsfrequenz ist nun so zu variieren, dass die Phasenverschiebung ±45◦ und 0◦ wird
• für jede dieser Frequenzen ist das Übertragungsverhältnis
3.3
Ua
zu berechnen
Ue
Berechnungen/Vorüberlegungen:
Bei einer Phasenverschiebung von ϕ = 0◦ verschwindet der Imaginärteil und es folgt aus (2):
(2) und ϕ = 0◦
⇒
1
Ua
=
Ue
3
Damit dieser Zustand erreicht wird, muss gelten:
1
+jωRC =0
jωRC
⇒ω =2πf =
⇒f =
1
RC
1
RC 2π
(3)
Zum Aufbau der Wien-Brücke wurde ein Modul mit folgenden Widerständen und Kapazitäten verwendet:
R
C
=
=
10000 Ω
10 nF
Aus Gleichung (3) ergibt sich somit für die Frequenz:
(3)
⇒
f = 1592Hz
Die Phaseverschiebung von ϕ = 0◦ sollte demnach bei einer Frequenz von ≈ 1600 Hz auftreten.
3.4
Ergebnisse/Auswertung:
Über eine Peak-to-Peak-Messung konnte sowohl die Eingangsspannung als auch die Ausgangsspannung
am Oszilloskopen angezeigt werden.
Zusätzlich wurde selbstverständlich die Phasenverschiebung ϕ mit angezeigt.
3.4.1
Phasenverschiebung ϕ = 0◦
Abbildung 13: Spannungsverhältnis bei f=1798 Hz - Phase=0
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = 0◦ ereicht wurde:
fϕ=0◦ = 1798 Hz
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:
3.75V
Ua
=
= 0.33
Ue
11.41V
3.4.2
Phasenverschiebung ϕ = +47.29◦
Abbildung 14: Spannungsverhältnis bei f=8474 Hz - Phase=+47.3
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = +47.29◦ ereicht wurde:
fϕ=+47.29◦ = 8474 Hz
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:
Ua
2.031V
= 0.18
=
Ue
11.25V
3.4.3
Phasenverschiebung ϕ = −45◦
Abbildung 15: Spannungsverhältnis bei f=501 Hz - Phase=-45
Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = −45◦ ereicht wurde:
fϕ=−45◦ = 501 Hz
Das Übertragungsverhältnis ergibt sich zu:
Ua
2.625V
=
= 0.23
Ue
11.41V
3.5
Vergleich der drei Frequenzen
Phasenversch. ϕ in
◦
Frequenz f in Hz
0◦
+47.29◦
−45◦
1798
8474
501
Übertragungsverh.
Ua
Ue
0.33
0.18
0.23
Wie aus Gleichung (2) zu erwarten, ist das Übertragungsverhalten maximal bei einer Phasenverschiebung
von ϕ = 0◦ .
Des Weiteren ist nach (2):
1
Ua
=
Ue
3
Mit dem experimentell ermittelten Wert von
nachgewiesen werden.
Ua
Ue
= 0.33 konnte der theoretisch berechnete Wert sehr gut
Nach der Gleichung (3) müsste die Frequenz bei der die Phasenverschiebung ϕ = 0◦ beträgt,
f ≈ 1600
betragen.
Die von mir ermittelte Frequenz
fϕ=0◦ ≈ 1800 Hz
weicht um
∆f ≈ 200 Hz
vom theoretisch berechneten Wert ab.
Ua
Da das Übertragungsverhältnis
= 0.33 sehr genau ermittelt werden konnte, und somit der Punkt
Ue
mit einer Phasenverschiebung von ϕ = 0◦ sehr genau lokalisiert wurde, muss die deutlich abweichende
Frequenz von ungenauen Werten bzgl. des Widerstands und/oder der Kapazität herrühren.