Lernhilfen - HS

Übungen auf die
4. Schularbeit: MATHEMATIK
Mi, 7.03.2012
NAME:
KL.: M3b/I.
- S.1
Dreieckskonstruktionen in beliebigen Viereckskonstruktionen anwenden.
Ein Parallelogramm aus 2 Dreiecken
Parallelogramm: a, b, 
1) Zeichne eine Skizze!
2)
3)
4)
a
D
Zeichne die Grundlinie AB  a !
Trage beim Eckpunkt A den Winkel  auf!
f
b

Trage auf dem Winkelschenkel von A aus die
A
Länge b auf - man erhält den Eckpunkt D!
BD bildet die 3. Seite des Dreiecks ABD.
C
a
b
B
5)
Zeichne von D aus einen Kreisbogen mit dem Radius a und von B
einen Kreisbogen mit dem Radius b - der Schnittpunkt ist der
Eckpunkt C!
Das 2. Dreieck mit den Seiten BC, CD und BD bildet mit dem
1. Dreieck das Parallelogramm.
6)
Beschrifte das Parallelogramm!
Einfache Terme durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division
umformen.
Term
7x
Koeffizient
Variable
Gleichnamige Terme
(d.h.: Variablen müssen
gleich sein) dürfen
addiert bzw. subtrahiert
werden.
2,8x + 4y + 6x - 1,5y =
8,8x + 2,5y
7x  9y = 63xy Koeffizienten werden multipliziert bzw. dividiert.
63xy : 9y = 7x Variablen werden multipliziert bzw. dividiert.
Klammerterme addieren bzw. subtrahieren.
a + (b + c) = a + b + c
a + (b - c) = a + b - c
(a + b) + (c + d) = a + b + c + d
(a + b) + (c - d) = a + b + c - d
Steht vor der Klammer ein +, so kann die Klammer weggelassen
werden.
a - (b + c) = a - b - c
a - (b - c) = a - b + c
(a - b) - (c - d) = a - b - c + d
-(a - b) - (c - d) = -a + b - c + d
Steht vor der Klammer ein -, so kann die Klammer NUR DANN
weggelassen werden, wenn die Rechenzeichen geändert werden.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Übungen auf die
4. Schularbeit: MATHEMATIK
Mi, 7.03.2012
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KL.: M3b/I.
- S.2
Klammerterme mit eingliedrigen Termen multiplizieren: z. B. 3a . (5a - 3) =
(a + b)  c = a  c + b  c
(a - b)  c = a  c - b  c
Jedes Klammerelement muss mit c multipliziert werden.
(3x + y + 2z)  7x = 21x² + 7xy + 14xz
Jedes Klammerelement muss mit 7x multipliziert werden.
Terme vereinfachen: Klammerterme-Multiplikation verbunden mit
Additionen/Subtraktionen.
Vorrangregeln:
Klammerrechnungen vor Punktrechnungen vor Strichrechnungen
1. Beispiel:
1
)
4f - (9a + 2 - 6a)  f =
Punktrechnung durchführen!
4f - f  (3a + 2) =
4f -
2
)
3af - 2f =
Strichrechnung erledigen!
3
)
2f - 3af
2. Beispiel:
In der Klammer Rechnungen ausführen
um die Klammer übersichtlicher zu
machen!
6x  x - 5xy - x  (4x + 3y) =
6x² - 5xy -
4x² - 3xy =
WICHTIG:
Arbeite in kleinen
Schritten!
6x² - 4x² - 5xy - 3xy =
2x² - 8xy
Zwei zweigliedrige Terme miteinander multiplizieren.
a+b
d
+
c
ad
bd
d
ac
bc
c
a
b
Aus der Graphik ergibt sich folgende
Rechnung:
(a + b)  (c + d) = ac + bc + ad + bd
Weitere
(a + b)
(a - b)
(a - b)
Möglichkeiten:
 (c - d) = ac + bc - ad - bd
 (c - d) = ac - bc - ad + bd
 (c + d) = ac - bc + ad - bd
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4. Schularbeit: MATHEMATIK
Mi, 7.03.2012
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KL.: M3b/I.
- S.3
Flächeninhalte von Vierecken berechnen, deren Diagonalen aufeinander normal
stehen. Skizze!
Eine Möglichkeit für die Formelentwicklung!
Man denke sich eine Figur mit normal aufeinanderstehenden
Diagonalen eingeschrieben in ein Rechteck oder Quadrat. Die
beiden Diagonalen sind die Seitenlängen des Rechtecks. Es zeigt
sich, dass der Flächeninhalt einer Raute, eines Deltoids oder
eines Quadrates genau die Hälfte der Rechtecksfläche
(Quadratfläche) ist.
a
a
d
f
a
e
f
b
e
d
b
a
a
a
A 
e f
2
A 
e f
2
A 
d d
2
A 
d2
2
Umkehrungsaufgaben zur Flächeninhaltsberechnung von Dreiecken und
Vierecken lösen
Jede Formel ist auch eine Gleichung.
Wende die Umformungsregeln an!
Flächenformel:
A 
A 
Umkehrung:
Aus gegebener Fläche eine fehlende Seitenlänge
(Höhe) berechnen.
c  hc
2
Gesucht: c
A 
c  hc
2
 a  c  h
Gesucht: a
A 
 a  c  h
2
2
a  c 
A 
ef
2
Gesucht: f
A 
ef
2
c 
A 2
hc
/ c
a 
2A
h
2
e
f 
/
A 2
h
/
2
hc
/
2
h
 c
A 2
e
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4. Schularbeit: MATHEMATIK
Mi, 7.03.2012
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KL.: M3b/I.
- S.4
Rationale Zahlen der Größe nach ordnen.
Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich in der Form
a
b
darstellen lassen, wobei a  Z und b  Z ist.
Der Nenner b darf nicht Null sein.
.
Z.B.: -3,5; + 43 ; -0,2 8
Um zu entscheiden, welche rationale Zahl größer bzw. kleiner ist,
gibt es verschiedene Vorstellungshilfen:
1) Stelle dir einen Zahlenstrahl vor.
Je kleiner die Zahl, desto weiter links liegt sie. Je größer die
Zahl ist, desto weiter rechts liegt sie am Zahlenstrahl.
2) Stelle dir ein Thermometer vor.
Je kälter es ist, desto kleiner ist die Zahl. Je wärmer es ist,
desto größer ist die Zahl.
3) Stelle dir ein Bankkonto vor.
Je mehr Schulden, desto kleiner ist die Zahl. Je mehr Guthaben,
desto größer ist die Zahl.
z.B.: -11,22 < -5,2 < 0,3 < 1,25 < 22

3
4
< -0,5 < 
1
10
< 0,1 <
5
3
Grundrechnungsarten mit rationalen Zahlen durchführen.
Achte auf die Vorrangregeln!
Achte auf die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren:
(-)
(-)
(+)
(+)
.
.
.
.
(-)
(+)
(-)
(+)
=
=
=
=
+
+
(-)
(-)
(+)
(+)
:
:
:
:
(-)
(+)
(-)
(+)
=
=
=
=
+
+
Den absoluten Betrag von rationalen Zahlen angeben.
Den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt nennt man den absoluten
Betrag der Zahl. Der Betrag einer Zahl gibt also den Zahlenwert
einer Zahl ohne Vorzeichen an.
z.B.:
 3  3
 3
 3
 8,4
 3
bedeutet Betrag von (-3)
 3
bedeutet Betrag von (+3)
 8,4
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- S.5
Die Multiplikation gleicher Faktoren in Potenzschreibweise angeben und
umgekehrt.
Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise für eine
Multiplikation von gleichen Faktoren.
a . a . a .... a = a n
a heißt Grundzahl oder Basis
n-mal
n heißt Hochzahl oder Exponent
z.B.:
a . a . a = a³
b³ = b . b . b
3² = 3 . 3 = 9
Beachte: a1  a
Verhältnisse mit rationalen Zahlen kürzen und erweitern, bis Glieder
teilerfremd sind.
Das Verhältnis zweier gleichbenannter Größen ist der Quotient
ihrer Zahlenwerte.
z.B.:
Die Länge eines Tisches beträgt 1,50 m und die Breite 1,20 m.
Die Länge verhält sich zur Breite wie 1,50 : 1,20 (sprich:
"1,50 zu 1,20").
Da ein Verhältnis auch als Bruch verstanden werden kann, ist es
möglich, ein Verhältnis zu kürzen bzw. zu erweitern.
z.B.:
1,50 : 1,20
150 : 120
(erweitern mit 100)
15 : 12
(kürzen durch 10)
5 : 4
(kürzen durch 3)
Die Länge des Tisches verhält sich zur Breite vereinfacht
ausgedrückt wie 5 : 4.
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- S.6
Aus einer Proportion die Produktgleichung bilden - Proportionen auf ihre
Richtigkeit prüfen.
Werden zwei Verhältnisse gleichgesetzt, so erhält man eine
Verhältnisgleichung (Proportion).
Verhältnisgleichung
a : b = c : d
(a,b,c,d  Q+)
Schreibt man die Verhältnisse in Brüche um, so erhält man eine
Bruchgleichung
a
c

b
d
Durch Umformung der Bruchgleichung erhält man die
Produktgleichung.
Bruchgleichung
Produktgleichung
a.d = b.c
Um rasch von der Proportion zur Produktgleichung zu kommen, ist es
günstig, sich folgende Merkregel einzuprägen:
Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder
Eine Proportion kann oft einfach übrprüft werden, indem man die
dazugehörige Produktgleichung überprüft.
z.B.:
?
3 : 5  6 : 10
3 . 10 = 5 . 6
30 = 30
(Verhältnisgleichung)
(Produktgleichung)
(Die Verhältnisgleichung stimmt!)
Möge dir diese Unterlage hilfreich sein, dann hat sich der Aufwand
ihrer Erstellung gelohnt!
KL, KV
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL