Lernzielhilfen - HS

Vorbereitung auf die
4. Schularbeit aus MATHEMATIK
18.03.2011
NAME:____________________________
KL.: M2/I.
- S.1
In einem Dreieck mit dem Geodreieck Höhen einzeichnen.
Merksatz:
Die drei Höhenlinien eines Dreiecks schneiden einander in einem
Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.
a)
Ziehe von jeder Seite eine Normale zum gegenüberliegenden
Eckpunkt!
Die Normale auf a zum Eckpunkt A heißt ha.
ha
a
Die Normale auf b zum Eckpunkt B heißt hb.
hb
b
Die Normale auf c zum Eckpunkt C heißt hc.
hc
c
b)
Diese 3 Höhen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, den
Höhenschnittpunkt H!
c)
Beispiele:
H
C
C
hb
ha
hc
b
H
b
a
ha
hb
A
c
B
H liegt im spitzwinkeligen
Dreieck innen.
A
a
hc
c
B
H liegt im stumpfwinkeligen
Dreieck außen.
Inkreis- und Umkreismittelpunkt von Dreiecken konstruieren.
706082 Hauptschule Vorderes Stanzertal, St. Margarethen 6551 Pians; Köck Leonhard, HL
Vorbereitung auf die
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- S.2
Die drei Seitensymmetralen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt,
dem Umkreismittelpunkt. Sein Abstand von den Eckpunkten ist der Umkreisradius
r.
a)
b)
c)
d)
Zeichne zu jeder Seite ihre Streckensymmetrale!
Alle drei Streckensymmetralen müssen sich in
einem Punkt schneiden, dem Umkreismittelpunkt. sAD
Ziehe von diesem Punkt eine Linie zu einem
Dreiecks-Eckpunkt; das ist der Umkreisradius r.
Nimm diesen Radius in den Zirkel und zeichne
eine Kreis!
A, B, C müssen auf der Kreislinie liegen!
sBC
C
a
b
U
r
A
c
B
sAB
Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt,
dem Inkreismittelpunkt. Sein Normalabstand von den Dreiecksseiten ist der
Inkreisradius .
C
a) Konstruiere die Winkelsymmetrale w , w , w von
jedem Winkel des Dreiecks!
b) Alle drei Winkelsymmetralen schneiden sich in
einem Punkt; dies ist der Inkreismittelpunkt I.
b
a
I
c) Ziehe von diesem Punkt aus eine Normale auf eine
Dreiecksseite; das ist der Inkreisradius .
d) Nimm diesen Radius in den Zirkel und zeichne
einen Kreis! Der Kreis berührt die Dreiecksseiten
von innen. Jede Dreiecksseite ist eine Tangente
an den Inkreis.
A
c
Den Flächeninhalt rechtwinkeliger Dreiecke berechnen, wenn die
Kathetenlängen gegeben sind.
Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks:
Eine Diagonale zerlegt die
A Re chteck
a b
AD
Rechtecksfläche in genau 2
b
A Re chteck
gleich große rechtwinkelige
A Dreieck
AD
2
Dreiecke. Die Kathetenlängen
ab
A Dreieck
stimmen mit Länge und Breite
2
a
des Rechtecks überein.
Von einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben: Flächeninhalt, 1.
Kathete; 2. Kathete = ?
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B
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- S.3
Umkehrungsaufgaben zum Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks
a b
2
A
2 A
b
a b
2 A
b
a
a
Zwei gleich große rechtwinkelige
Dreiecke können entlang der
Hypothenuse zu einem Rechteck mit
den Seiten a, b, zusammengefügt
werden.
2 A
b
a
Durch die „Probe” der Multiplikation ergibt sich für die
Berechnung einer Kathete folgender Zusammenhang:
Multiplikation:
Rechtecksfläche =
Länge
mal
Breite
2 Dreiecksflächen = 1. Kathete mal 2. Kathete
Probe: 1. Kathete
2. Kathete
Beispiele:
s
2 Dreiecksflächen
2. Kathete
2 Dreiecksflächen
1. Kathete
x
2 A
s
s
2 A
x
x
h
h
2 A
g
g
2 A
h
g
Additionen und Subtraktionen von gleichnamigen Brüchen
durchführen.
Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche) werden addiert
oder subtrahiert, indem man die Zähler addiert oder subtrahiert.
Der Nenner bleibt unverändert. Ganze müssen nicht verwandelt
werden!
1 53
4 45
z.B.: 3 15
Additionen und Subtraktionen von ungleichnamigen Brüchen
durchführen.
1
2
1
3
Ungleichnamige Brüche müssen vor 1
5
10
10
10
10
dem Addieren und Subtrahieren
gleichnamig gemacht werden.
Ganze müssen nicht verwandelt werden:
10
6
1
3 32
1 53
3 15
1 15
4 16
5 15
15
Beim Subtrahieren ist es manchmal nötig, Ganze zu verwandeln!
5
3
10
10
5
3 14
3 12
2 15
2 12
6
6
12
12
Addieren und Subtrahieren von Brüchen (z. B.: (11 3/4 - 5 1/16) +
(5 3/10 - 1 1/2) = ).
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- S.4
Rechne zuerst die Rechnungen in den Klammern!
Achte auf die Vorzeichen!
Ungleichnamige Brüche müssen vor dem Addieren und Subtrahieren
gleichnamig gemacht werden.
Zwei Brüche miteinander multiplizieren.
Brüch werden multiliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner
mit Nenner multipliziert. Gemischte Zahlen müssen vorher in
unechte Brüche verwandelt werden.
Zähler
Nenner
a
b
z.B.: 3
1
4
1
1
2
13 3
4 2
39
8
4
Zähler
Nenner
x
y
a
b
x
y
7
8
Ist einer der beiden Faktoren eine ganze Zahl, so muss der zweite
Faktor, falls er eine gemischte Zahl ist, nicht in einen unechten
Bruch verwandelt werden.
6 64
7 42
7 12
z.B.: 3 43 2
Beachte: 3
3
4
3
3
4
Die Division von Brüchen auf die Multiplikation zurückführen.
Zwei Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem
Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird.
(Kehrwert: Zähler und Nenner werden vertauscht)
a
x
:
b
y
a
b
y
x
a
b
y
x
Gemischte Zahlen müssen vorher in unechte Brüche verwandelt
werden.
8 2
16
5 31
z.B.: 2 32 : 12
3 1
3
Verbinden der vier Grundrechnungsarten mit Brüchen (z. B.: (4/5 +
3/8) . (5/6 - 1/4) = ).
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Beachte die Vorrangregeln und die Regeln zum Bruchrechnen!
z.B.:
(1
2
3
2 65) (1
5
8
1
4)
(1
4
6
2 65) (1
5
8
2
8)
3
9
6
27
6
1
3
8
11
8
27 11
6 8
297
48
6
9
48
Grundrechnungsarten mit Brüchen und Dezimalzahlen durchführen.
Wandle die Brüche in Dezimalzahlen oder die Dezimalzahlen in
Brüche um!
Beachte falls notwendig auch die Vorrangregeln!
z.B.: 2
1
4
oder 2
0,5
1
4
1
2
2,25
0,5
9 1
4 2
9
8
1,125
1
1
8
Ergibt die Umwandlung eines Bruches eine periodische
Dezimalzahl, so ist es besser, mit Brüchen zu rechnen!
Textaufgaben lösen, die zu Multiplikationen und Divisionen von
Brüchen führen.
Schreibe zuerst die Rechnung an und berechne erst dann das
Ergebnis!
Beacht die Regeln zum Rechnen mit Brüchen!
a
b
x
y
a
b
x
y
a
x
:
b
y
a
b
y
x
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- S.5