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FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 1 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 Aufgabe 1 (Üben von Ableitungen I): Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f ( x ) = −2x 2 + x mit Hilfe der Ableitungsdefinition: f´( x ) = lim f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x ∆x →0 Aufgabe 2 (Üben von Ableitungen II): Berechnen Sie die jeweils ersten Ableitungen zu folgenden Funktionen: a) f ( x ) = 2x 7 − 3x 6 + 5x 5 − 7x 4 + 11x 3 − 13x 2 + 17x − 19 b) f ( x ) = e −2x ex + 1 c) f ( x ) = x e −1 d) f ( x ) = x 3 ⋅ 3 x qn − 1 (Rentenendwertfaktor) q−1 f ( x ) = x n ⋅ e −nx e) f ( q) = f) g) f ( x ) = 2x + ln x h) f ( x ) = x ⋅ e x (erste und zweite Ableitung) Aufgabe 3 (Extremwerte I): Susi Sorglos betreibt auf dem Düsseldorfer Weihnachtsmarkt einen Stand für Glühwein. In den vergangenen Jahren hatte Susi den Becher für 2,00 EUR verkauft und hatte einen durchschnittlichen Tagesabsatz von 200 Bechern. Im letzten Jahr erhöhte sie den Preis pro Becher auf 3,00 EUR, woraufhin der Absatz auf 120 Becher pro Tag sank. Der Wareneinsatz pro Becher beträgt 0,50 EUR, die Fixkosten pro Tag betragen 100 EUR. a) Berechnen Sie Umsatz und Gewinn für beide Preis-Mengen-Konstellationen! b) Susi Sorglos unterstellt nun eine lineare Preis-Absatz-Funktion auf Basis der obigen Preis-Mengen-Kombinationen! Stellen Sie die Preis-Absatz-Funktion p(x) auf! c) Berechnen Sie die umsatzmaximale Absatzmenge und den zu fordernden Preis! d) Berechnen sie die Gewinngrenzen x1 und x2 ! e) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Absatzmenge und den zu fordernden Preis! f) Skizzieren Sie die Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensystem! FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 2 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 Aufgabe 4 (Extremwerte II): Gegeben sei folgende Zahlungsreihe eines Investitionsprojekts mit dreijähriger Laufzeit: e0 -200 e1 400 e2 600 e3 -600 Die Kapitalwertfunktion habe in Abhängigkeit des Zinssatzes bzw. in Abhängigkeit von q (=1+i) folgendes Aussehen: 215 K Kapitalwertfunktion 210 205 200 195 190 185 180 175 170 i 165 Stellen Sie die Kapitalwertfunktion K(q) auf und berechnen Sie den Zinssatz, bei dem die Kapitalwertfunktion ihr Maximum erreicht! Aufgabe 5 (Extremwerte III): Es sei angeknüpft an das Beispiel aus der Vorlesung (Produktion und Vermarktung von Schokoladen-Weihnachtsmännern). Nehmen Sie – in Abänderung des Beispiels – an, dass der Unternehmer von folgender Preis-Absatz-Funktion ausgehe: f ( x ) = 7 ⋅ e −0,0001x . Ferner werden die Fixkosten ignoriert (bzw. pauschal auf die variablen Kosten aufgeschlagen), d.h. die Kostenfunktion lautet einfach: K ( x ) = 1,5x a) Skizzieren Sie die Preis-Absatz-Funktion in einem Koordinatensystem! b) Stellen Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion auf und skizzieren Sie auch die Umsatz-, die Kosten- und die Gewinnfunktion in einem gemeinsamen Koordinatensystem! c) Berechnen Sie die Menge und den zu fordernden Preis, bei dem der Unternehmer einen maximalen Umsatz erzielt! d) Berechnen Sie die Gewinngrenzen! DAS WAR´s !!! FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 3 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt Lösung zu Aufgabe 1: Lösung zu Aufgabe 2: (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 4 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt Forts. Lösung zu Aufgabe 2: (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 5 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt Lösung zu Aufgabe 3: (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 6 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt (Analysis mit 1 Veränderlichen) 5,00 € 4,50 € 4,00 € 3,50 € 3,00 € 2,50 € 2,00 € 1,50 € 1,00 € 0,50 € 0,00 € - 50 100 150 200 250 300 350 400 500,00 € 400,00 € 300,00 € 200,00 € 100,00 € 0,00 € -100,00 € -200,00 € -300,00 € -400,00 € 50 100 150 200 250 300 350 400 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 7 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt Lösung zu Aufgabe 4: (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 8 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt Lösung zu Aufgabe 5: (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 FH Düsseldorf WS 2007/08 Prof. Dr. Horst Peters Vorlesung „Quantitative Methoden 1B“ im Studiengang Business Administration (Bachelor) Seite 9 von 9 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ LÖSUNG zum 3. Übungsblatt (Analysis mit 1 Veränderlichen) 20.11.2007 8,00 € 7,00 € 6,00 € 5,00 € 4,00 € 3,00 € 2,00 € 1,00 € 0,00 € - 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 50.000,00 € 40.000,00 € 30.000,00 € 20.000,00 € 10.000,00 € 0,00 € -10.000,00 € -20.000,00 € -30.000,00 € 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 30.000
