Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung

1
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.1 Zufallsexperimente
Beispiele
1.
2.
3.
...
Definition:
Vorgänge bei denen man das Ergebnis noch nicht kennt, heissen
Zufallsexperimente. Sämtliche möglichen Ergebnisse eine Zufallsxperimentes
werden zu einer Menge zusammengefasst. Diese Menge heisst Ergebnismenge
(Ergebnisraum) S = {e1 , e2 , e3 ,..., en } .
Vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes muss die Ergebnismenge festgelegt
werden:
Beispiele: 1) Würfeln S = {
2) Man zieht eine Kugel aus einer Urne mit roten, grünen und blauen
Kugeln.
S ={
3) Die Religionszugehörigkeit der Schü der Klasse H3c
S ={
Definition
Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis.
Aufgaben:
1
Man würfelt mit zwei Würfeln. Als Ergebnis wird die Augensumme der beiden
Würfel betrachtet.
a) Wie lautet die Ergebnismenge?
b) Ereignis A: Die Augensumme ist gerade.
c) Ereignis B: Die Augensumme ist kleiner als 6.
d) Ereignis C: Das Gegenereignis zu A.
e) Ereignis D: Die Augensumme ist eine durch 4 teilbare Zahl.
f) A ∪ D
g) C ∪ D
h) B ∩ D
i) A ∩ D
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Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
2
In einer Schulklasse soll ein(e) Klassenchef(in) und ein(e) Stellvertreter(in)
gewählt werden. Martin, Thomas, Julia und Claudia sind bereit, sich wählenzu
lassen.
Wie lautet die Ergebnismenge? Geben Sie S als Menge von geordneten Paaren
an.
S ={
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt S = 4 ⋅ 3 = 12 .
3
2
In einer Urne befinden sich 3 Kugeln (je eine rote, blaue und grüne)
a Man zieht nacheinander 2 Kugeln, ohne sie zurückzulegen.
Wie lautet die Ergebnismenge?
b Man zieht 2 Kugeln, wobei die erste jeweils wieder zurückgelegt wird.
Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Bestimme S .
3
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.2 Mehrstufige Zufallsexperimente
Beispiel
Eine Basketballmannschaft wählt in einem ersten Wahlgang ihren Captain und in
einem zweiten Wahlgang ihren Mannschaftssprecher. Drei Spieler Adi, Bobby und
Chris stehen für diese Aufgaben zur Verfügung. Es ist möglich, dass ein Spieler
beide Aufgaben übernimmt.
Stellen Sie das Wahlprozedere graphisch dar!
A
B
C
Ergebnismenge S = {AA,
Zufallsexperimente, die sich in 2 oder mehr Stufen durchführen lassen, kann man
durch ein Baumdiagramm veranschaulichen, falls in jeder Stufe nur endlich viele
(nicht zuviele!!) Ergebnisse möglich sind.
Man kann zweistufige Zufallsexpermente auch als ein einziges Zufallsexperiment
auffassen. Man kann die Ergebnisse als geordnete Paare angeben.
In einem dreistufigen Z. heissen die Ergebnisse Tripel.
Allgemein nennt man Ergebnisse bei einem n-stufigen Z. n-Tupel.
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Beispiele:
1
Gegeben sind 2 Urnen U1 und U 2 . U1 enthält schwarze und rote Kugeln, U 2
weisse und schwarze. Zunächst wird aus U1 , dann aus U 2 eine Kugel gezogen.
Wie lautet die Ergebnismenge?
2
Von vier Sportlern Artest, Bryant, Carter und Duncan sollen 2 zur Doping
Kontrolle ausgelost werden. (Reihenfolge spielt keine Rolle). Bestimmen Sie
S ={
11.3 Ereignisse
Beispiel:
Beim Monopoly möchte Reto den Paradeplatz (ZH) kaufen. Er steht 10 Felder davor.
Laut Spielregeln darf er mit zwei Würfeln werfen. Mit welcher Kombination von
Augenzahlen der beiden Würfel erreicht er sein Ziel?
Hier nochmals die Definition
Eine Teilmenge einer Ergebnismenge heisst Ereignis.
Hinweis
{ } sind Ereignisse!
1
Auch die Ergebnismenge S und die leere Menge
2
Das Ereignis S tritt bei jeder Durchführung ein und heisst daher sicheres
Ereignis.
3
Das Ereignis
4
Ist ein Ergebnis keine Element eines Ereignisses A , so ist das Gegenereignis
A (“A quer”) eingetroffen.
{ } tritt niemals ein und heisst daher unmögliches Ereignis.
5
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11.4 Aufgaben
1
Bei den Grand Slam Tennisturnieren wird solange gespielt, bis einer der beiden
Spieler A oder B 3 Sätze gewonnen hat. (3 Gewinnsätze)
a) Wie lautet die Ergebnismenge S ?
b) Bestimmen Sie das Ereignis ‘Ein Spieler gewinnt in 3 Sätzen’.
c) Bestimmen Sie das Ereignis ‘Ein Spieler gewinnt in 4 Sätzen’.
d) Bestimmen Sie das Ereignis ‘B gewinnt’.
e) Bestimmen Sie das Ereignis ‘A gewinnt in 3 Sätzen’.
2
Pierre hat in seiner Geldbörse 7 Münzen:
•
zwei 5-Rp-Stücke
•
ein 10-Rp-Stück
•
zwei 50-Rp-Stücke
•
ein 1-Fr-Stück
•
ein 2-Fr-Stücke
Wie lautet das Ereignis, dass drei zufällig herausgenommene Münzen genau
den Wert von CHF 1.10 haben?
3
4
Pasqualina würfelt mit einem Würfel. Bestimmen Sie folgende Ereignisse:
•
A: Eine Zahl grösser als 3 wird geworfen
•
B: Eine gerade Zahl
•
C: Eine gerade Zahl grösser als 3
Eine Münze wird dreimal geworfen. Jedes Mal wird notiert, ob „Kopf“ oder
„Zahl“ oben liegt. Geben Sie die Ergebnismenge sowie folgende Ereignisse an:
•
A: genau zweimal Zahl
•
B: höchstens einmal Zahl
•
C: Immer Zahl
•
D: Gegenereignis von B
5
In einer Wunderkiste liegen Süssigkeiten, Spiele und Farbstifte.
a) Wie lautet die Ergebnismenge, wenn man dreimal nacheinander in die Kiste
greifen darf und von jeder Sorte mehr als drei Dinge liegen?
b) Ereignis P: Man darf dreimal nacheinander in die Kiste greifen und es sollen
zwei Spiele dabei sein.
6
In einer Schachtel liegen drei Karten mit den Buchstaben A, B, und C. Man
zieht dreimal eine Karte ohne zurück zu legen. Geben Sie die Ergebnismenge
an.
7
Aus vier Sportlern a, b, c und d sollen zwei zur Dopingkontrolle ausgelost
werden. Wie lautet die Ereignismenge? Spielt die Reihenfolge eine Rolle?
8
Beim Zahlenlotto „3 aus 5“ werden drei Zahlen aus den Zahlen 1 bis 5
ausgewählt. Wie lautet die Ergebnismenge?
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9
6
Eine Urne enthält 10 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 9. Eine Kugel wird gezogen.
a) Geben Sie die Ereignisse in aufzählender Schreibweise an:
A: Primzahl
B: Zahl durch 5 teilbar
C: Ungerade Zahl
D: Zahl grösser als 8
E: Zahl kleiner als 4
F: Quadratzahl
10
Die drei Triebwerke eines Flugzeugs werden getestet; es interessiert, ob diese
einwandfrei arbeiten (1) oder nicht (0).
a) Geben Sie die Ergebnismenge mit Tripeln an.
b) Geben Sie folgende Ereignisse in aufzählender Schreibweise an:
A: Genau ein Triebwerk ist schadhaft
B: Höchstens ein Triebwerk ist schadhaft
C: Mindestens ein Triebwerk ist schadhaft.
11
Wieviele Ereignisse gehören zu einem Zufallsexperiment mit
a) 2 Ergebnissen
b) 3 Ergebnissen
c) n Ergebnissen
12
Beim Werfen eines Würfels sei X eine Zufallsvariable für das Quadrat der
gefallenen Augenzahlen. Welche Werte kann X annehmen? Welche
Ereignisse (in aufzählender Schreibweise) werden beschrieben durch:
a) X < 9
b) X < 36
c) X = 16
d) 4 ≤ X ≤ 25
e) 1 < X ≤ 25
7
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.5 Absolute und relative Häufigkeit
Die folgende Liste enthält die Ergebnisse von 60 Würfen mit einem Würfel
5
2
5
3
1
6
3
5
6
3
1
5
4
6
6
2
3
2
5
3
3
1
3
6
1
5
3
6
1
5
4
4
3
6
1
5
3
1
2
1
6
1
5
4
5
2
5
2
2
3
4
4
3
6
2
1
5
4
2
6
Die Augenzahl 3 kommt bei den 60 Würfen insgesamt 12-mal vor, die
___________________________ der Zahl 3 ist 12.
Bestimmen Sie die übrigen absoluten Häufigkeiten:
Augenzahl
1
2
absolute Häufigkeit
3
4
5
6
12
12 1
= = 0.2 = 20% .
60 5
Entsprechend erhält man die folgende Häufigkeitstabelle für die relativen
Häufigkeiten.
Die ________________________ der Zahl 3 ist 12 von 60, also
Augenzahl
1
2
3
4
5
6
60
12
60
60
60
60
relative Häufigkeit
60
Für das Ereignis A: „Gerade Augenzahl ergibt sich die relative Häufigkeit
26
9
7 10 9 + 7 + 10 26
+
+
=
. Hierfür schreibt man h( A) =
≈ 43.3%
=
60
60 60 60
60
60
Definition:
Ein Zufallsexperiment werde n − mal durchgeführt.
Ist ein Ereignis A dabei H -mal eingetreten, so nennt man H die absolute
H
Häufigkeit,
die relative Häufigkeit von A .
n
Man schreibt h( A) =
H
(lies: “h von A”)
n
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Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Relative Häufigkeiten haben folgende Eigenschaften:
•
≤ h( A) ≤
•
h( S ) = 1 , wenn S
•
Für das Ereignis A = {e1 , e2 , e3 ,..., er } gilt h( A) = h(e1 ) + h(e2 ) + ... + h(er ) , d.h.
relative Häufigkeit eines Ereignisses A erhält man durch Addition der relativen
Häufigkeiten der Ergebnisse, aus denen sich A zusammensetzt.
11.6 Aufgaben
1
Unter den nach Arbeitern, Angestellten, Beamten und Selbstständigen
gegliederten Berufstätigen einer Stadtbevölkerung verhalten sich die Anteile bei
der angegebenen Reihenfolge wie 7:5:3:4. Wie lautet die relaitve Häufigkeit
jeder Berufsgruppe?
2
Die wiederholte Durchführung eines Zufallsexperimentes erbrachte die Zahlen:
1,4,5,6,3,2,7,7,9,8,0,0,3,7,6,6,1,5,7,4,3,7,1,5.
Bestimme die relative Häufigkeit des Ereignisses A: „Die Zahl ist gerade“.
3
Jeder 15. Angestellte einer Firma kommt zu Fuss; 7 von 10 mit MIV, 8 von 100
mit dem Fahrrad; die übrigen benutzen ÖV. Geben Sie die relativen
Häufigkeiten auf dem Weg zur Arbeit in Prozent an.
4
Um beim Fernsehen die Einschaltquoten zu ermitteln, befragt die Gesellschaft
für Konsumforschung (GfK) rund 6000 Personen und rechnet dann hoch auf 6
Millionen Personen ab 3 Jahren in Fernsehhaushalten.
a) Die GfK gibt für das Fussballspiel Schweiz–Türkei 18% an. Wieviele
Personen in der Schweiz haben das Spiel gesehen?
b) Das Rückspiel Türkei–Schweiz haben 2.5 Millionen gesehen. wie hoch war
die Einschaltquote?
5
Eine Telekom-Firma untersucht die Gesprächsdauer bei Ferngesprächen. Sie
ermittelt dazu bei 270 Gesprächen die Gesprächsdauer (in Gebühreneinheiten).
Dauer des Gesprächs
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10 über 10
Anzahl Gespräche
4 9 16 28 40 36 42 30 26 18 21
Wie gross ist die relative Häufigkeit für eine Gesprächsdauer X mit
a) X < 3
b) X < 5
c) X ≤ 9
d) 4 < X < 10
e) X > 5
6
Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S = {e1 , e2 , e3 } . Bei 72
Durchführungen trat 18-mal das Ergebnis e1 und 42-mal das Ergebnis e 2 .
Geben Sie alle Ereignisse an und bestimmen Sie für jedes Ereignis die relative
Häufigkeit.
9
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.7 Mathematische Wahrscheinlichkeit
11.7.1 Das Gesetz der grossen Zahlen
Bis jetzt haben wir Zufallsexperimente nach der der Durchführung beschrieben. Es
bleibt die Frage, ob wir auch vor der Durchführung eines Zufallsexperimentes etwas
über den Ausgang sagen können. Wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen,
wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ergebnis oder Ereignis eintritt.
Beispiel: Münzwurf
Das Zufallsexperiment: „Eine Münze wird geworfen“ hat die
Ergebnismenge S = {Kopf , Zahl }
K = {Kopf } und Z = {Zahl } sind Elementarereignisse (d.h. Ereignisse
mit nur einem Element)
Das Experiment werde m-mal durchgeführt. Wir stellen den Ausgang des
Zufallexperimentes in der folgenden Tabelle dar:
m Kopf
Zahl
relative Häufigkeit
für K
relative Häufigkeit
für Z
10
20
100
1000
2000
5000
Anfänglich gibt es grosse Schwankungen, aber wenn immer mehr Experimente
(=Würfe) durchgeführt worden sind, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten.
Dies geschieht nach dem so genannten __________________________________.
In unserem Beispiel stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei 0.5 (=50%) ein. Den
Wert, auf den sich die Häufigkeitswerte für immer grösser werdende m hin
stabilisieren, bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ereignisses.
Damit haben wir eine ‘statistische’ Definition der Wahrscheinlichkeit gegeben.
Aufgrund von vielen Beobachtungen haben wir festlegen können, wie häufig ein
Elementarereignis erwartet werden kann, wie wahrscheinlich es ist.
Beachte:
Das Gesetz der grossen Zahl besagt nicht, dass nach einer langen Serie ‘Kopf’ im
obigen Beispiel eine ‘Zahl’ beim nächsten Wurf kommen muss!
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Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Die Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis kann auch durch Vorgaben und
Überlegungen festgelegt werden.
Beispiel: Würfel mit einem Wurf
S = {1,2,3,4,5,6}
Wir können eine Serie von m Zufallsexperimenten durchführen. Dabei wird sich die
1
Wahrscheinlichkeit bei einem fairen Würfel für ein Elementarereignis bei
6
stabilisieren.
Würde sich die relative Häufigkeit bei einem andern Wert stabilisieren, wär dies kein
fairer Würfel. Somit kann man auch festlegen: Ein Würfel ist nur dann ein fairer
Würfel, bei dem jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist.
Dieser ‘zweite Weg’ zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit wird oft bei Spielen
beschritten. Der ‘erste Weg’ über eine grosse Anzahl hintereinander ausgeführten
Zufallsexperimenten muss beschritten werden, wenn für Alltagssituatioinen
Wahrscheinlichkeiten erklärt werden müssen (z.B. Bekleidungsindustrie).
11.7.2 Der Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit
Axiome (Forderungen)
Für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen soll gelten:
1
P( E ) ≥ 0
Für jedes Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit grösser oder gleich Null.
2
P(S ) = 1
Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis S ist gleich 1.
3
P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
falls A und B unvereinbare Ereignisse sind, d.h. A ∩ B = { } ist.
11
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Damit sind die wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Wahrscheinlichkeit
festgelegt.
Beispiel: Wurf mit einem Würfel
Wie wir schon festgelegt haben, sind die Wahrscheinlichkeiten für die
Elementarereignisse
P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =
1
6
Nach den Axiomen für die Wahrscheinlichkeit kann man auch die Wahrscheinlichkeit
anderer Ereignisse berechnen.
Beispiele:
1
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder eine 5 zu würfeln? Welches
Axiom kommt zur Anwendung?
2
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1 oder eine 3 oder eine 5 zu würfeln?
Welches Axiom kommt zur Anwendung?
3
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine 1, 2, 3, 4, 5 oder eine 6 zu würfeln?
Welches Axiom kommt zur Anwendung?
4
Berechne folgende Wahrscheinlichkeitswerte:
P ({4,5,6}); P ({3,4}); P ({2,4,6,}); P ({1,2,3,4,5}) .
11.7.3 Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignis, des unmöglichen
Ereignis und des Gegenereignis
Die Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis S wurde schon in Axiom 2 festgelegt
und ist gleich 1:
P(S ) = 1
Aus den oben geforderten Eigenschaften für die mathematische Wahrscheinlichkeit
folgen sofort weitere:
1
Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist kleiner oder gleich 1:
P( E ) ≤ 1
2
Die Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis ist Null:
P ({ }) = 0
3
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis E ist
P( E ) = 1 − P( E )
bzw . P ( E ) = 1 − P( E )
4
P( A) ≤ P( B) , falls A notwendig B nach sich zieht, d.h. A ⊆ B .
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11.7.4 Gleichwahrscheinliche Ereignisse
Beispiel: Jassen mit 36 Karten
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Herz Ass zu
ziehen?
Herz Ass ist eine beliebige der 36 Karten. Wenn alle Karten zur Auswahl stehen, ist
die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, für jede gleich gross.
p + p + p + ... + p = 36 ⋅ p = 1
1
p=
36
Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, eine ‘rote Zehn’ zu ziehen?
Ereignis RZ = {Herz Zehn, Karo Zehn} = {Herz Zehn} ∪ {Karo Zehn}
Nach Axiom 3 gilt
P ( RZ ) =
1
1
1
+
=
36 36 18
Allgemein gilt:
Besteht bei einem Zufallsexperiment die Ergebnismenge aus m Elementen und ist
jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für
ein Ereignis E , das aus k Elementen besteht, wie folgt:
P( E ) =
1 1
1 k
+ + ... + =
m m
m m
oder als Merkregel:
Die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle.
13
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel: Urne mit 12 Kugeln
6 der 12 Kugeln sind weiss, 4 rot und 2 blau. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für
folgende Ereignisse:
•
W= {weisse Kugeln}
•
R= {rote Kugeln}
•
B= {blaue Kugeln}
•
NW= {nicht weisse Kugeln}
•
NR= {nicht rote Kugeln}
•
RW= {rote oder weisse Kugeln}
P (W ) =
P(R) =
P(R) =
P (RW ) =
P (B) =
P (W ) =
Beispiel: Geburtstagsmonat
Zwei Frauen Sandra und Rebecca sind in der gleichen Klasse.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide im Januar Geburtstag haben?
Wie lautet die Ergebnismenge S ?
S = {( Jan / Jan ), ( Jan / Feb )...
Wieviele Elemente enthält S ?
Somit ist P( Jan / Jan) =
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Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgaben:
1 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im gleichen Monat Geburtstag?
2 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat mindestens eine im Februar Geburtstag?
3 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit hat keine im Februar Geburtstag?
4 Mit welcher Wahrscheinlichlkeit haben beide im 4. Quartal Geburtstag?
14
15
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.7.5 Pfadregeln
Manche Zufallsexperimente werden in mehreren Stufen ausgeführt. Das folgende
Beispiel dient als Modell, auf das viele Anwendungen übertragen werden können.
Beispiel: Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen
In einer Urne sind 4 weisse und drei blaue Kugeln. Für die Ergebnismenge gilt also
S =7
Wir ziehen zunächst eine Kugel. Es sei Ereignis W “eine weisse Kugel wird
gezogen” und B “eine blaue Kugel wird gezogen:
W = {weisse Kugel} B = {blaue Kugel}
Es ist P (W ) =
und P (B) =
b
Wir ziehen nun zweimal eine Kugel und legen nach dem 1. Ziehen die
gezogene Kugel wieder zurück in die Urne, bevor wir erneut eine Kugel ziehen.
1
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu
ziehen?
2
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel
zu ziehen?
Baumdiagramm:
b
In 3 von 7 Fällen ziehen wir
beim ersten Ziehen eine
blaue Kugel und davon in 3
von 7 Fällen beim zwieten
Ziehen wieder ein blaue,
also
w
P(b / b) = ⋅ =
b
w
b
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w
P{(b / b), (w / w)} =
+
=
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Wie lauten nun also die Pfadregeln?
1. Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades
2. Wahrscheinlichkeit mehrer Pfade
Beispiel: Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen
1
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine blaue Kugel zu
ziehen?
2
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, in beiden Zügen eine gleichfarbige Kugel
zu ziehen?
3
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, zwei verschieden farbige Kugeln zu
ziehen?
Wie sieht das Baumdiagramm aus?
b
b
w
w
b
w
17
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
11.8 Aufgaben
1
a) Man würfelt mit zwei Würfeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man
zwei 6 würfelt?
b) Wie heisst dieses Ereignis?
2
Die Anzahl Schüler und Schülerinnen einer Schule beträgt s. Die Anzahl der
Mädchen sei w. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Auslosung ein
Knabe ausgelost wird.
3
a) Wie gross ist Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Würfel eine Zahl
zwischen 1 und 6 würfelt?
b) Man würfelt mit einem Würfel zweimal hintereinander. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahl grösser als 12 ist?
4
Aus einer Urne mit 9 blauen, 6 grünen und 3 schwarzen Kugeln werden
nacheinder 3 Kugeln gezogen, wobei die gezogene Kugel immer wieder
zurückgelegt wird. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
a) 3 blaue Kugeln
b) Reihenfolge blau, grün, schwarz
c) drei verschiedene Kugeln
d) zuerst 2 grüne dann eine blaue Kugel
5
Wie Aufgabe 4 aber ohne Zurücklegen!
6
Mindestensaufgabe.
Beispiel mit Lösung:
Wie oft muss man aus einem gut gemischten Jasskartenspiel eine Karte mit
Zurücklegen ziehen, damit mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal
einen Bauern zieht?
Wir nennen das Ereignis E , wenn man mindestens einen Bauern bei n
Versuchen bekommt, und E (Gegenereignis von E ) wenn man bei n
Versuchen keinen Bauern zieht.
Für die Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gilt dann:
P(E ) ≥ 0,95
()
⇒ 1 − P E ≥ 0,95
Nun enthält ein Jasskartenspiel neben den 4 Bauern noch 32 weitere Karten;
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem beliebigen Zug keinen Bauern zu ziehen
32 8
= . Soll dieses Gegenereignis E (bei n Ziehungen
beträgt also
36 9
nacheinander) eintreten, ist die Wahrscheinlichkeit dafür gemäss der 1.
()
n
8
Pfadregel P E =   .
9
n
8
Wir erhalten somit die Ungleichung 1 −   ≥ 0,95 , deren Lösung n wir
9
bestimmen müssen:
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Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
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n
8
1 −   ≥ 0,95
9
8
− 
9
8
 
9
−1
n
⋅ (− 1)
≥ −0,05
n
≤ 0,05
8
n ⋅ lg  ≤ lg 0,05
9
lg 0,05
n
≥
8
lg 
9
n
≥ 25,43...
log
8
÷ lg  ( ist kleiner als 0!)
9
Es sind also mindestens 26 Versuche nötig, damit man mit 95%
Wahrscheinlichkeit mindestens einen Bauern zieht.
7
Carlo geht oft mit seinen Freunden zum Kegeln. Seine Wahrscheinlichkeit ‘alle
neune’ zu treffen beträgt 25%. Kegeln macht durstig, Carlo trinkt daher gerne
ein Glas Bier. Allerdings verringert sich dadurch bei den folgenden Würfen
1
seine Treffsicherheit um pro Glas Bier.
3
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, fünfmal ‘alle neune’ zu treffen, wenn er
nach dem 3, und 4. Wurf ein Bier trinkt?
b) Heute trinkt Carlo nur Mineralwasser. Wie oft muss er mindestens kegeln,
wenn er mit 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal ‘alle neune’ treffen
will?
8
Eine Firma beschäftigt 60% Männer und 40% Frauen. 75% der Männer und
35% der Frauen rauchen. Einer der Beschäftigten dieser Firma wird zufällig
ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es
a) um einen männlichen Raucher
b) um eine(n) Raucher(in) handelt
9
In einer Urne sind 4 rote, 3 schwarze und 2 weisse Kugeln. Man zieht zweimal
hintereinander ohne Zurücklegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der
Ereignisse:
A: „Beide Kugeln sind gleichfarbig.“
B: „Genau eine Kugel ist weiss.“
C: „Keine der Kugeln ist schwarz.“
19
10
Kap 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eine Lostrommel enthält 400 Lose. Die Hälfte davon sind Nieten, 80% des
Restes ergeben Trostpreise, die übrigen Lose sind Gewinne. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los
a) ein Gewinnlos
b) ein Trostpreis
c) eine Niete
d) keine Niete?
11
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beim Samstags-Lotto „6 aus 49“ die erste
gezogene Zahl gerade?
12
Eine Urne enthält 11 Kugeln, welche die Zahlen 10–20 tragen. Das
Zufallsexperiment besteht im Ziehen einer Kugel und Feststellen ihrer Nummer.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: Die Quersumme der Kugelnummer ist gerade.
B: Die Quersumme der Kugelnummer ist grösser als 6
C: Die Anzahl der echten Teiler der Kugelnummer beträgt mindestens 4.
D: Die Kugelnummer ist eine Primzahl.
E: Die Kugelnummer ist nicht gerade aber durch 3 teilbar.
13
Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
a) Nach jedem Wurf wird die geworfene Augenzahl festgestellt. Geben Sie die
Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse an:
A: Die erste Augenzahl ist grösser als die zweite.
B: Das Produkt beider Augenzahlen ist grösser als 9.
C: Die erste Augenzahl ist gerade.
b) Es interessiert nur die Augensumme. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
Augensumme grösser als 8?
14
Aus einem Jassspiel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Karte
a) ein Ass
b) eine Schaufel-Karte
c) das Schaufelass
d) eine Schaufelkarte, aber nicht das Ass
e) weder eine Schaufel-Karte noch ein Ass
f) eine Schaufel-Karte oder ein Ass
g) ein Ass, aber keine Schaufel-Karte?
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