BAUSTEIN VARIABLE: Aspekte des Variablenbegriffs

Univ.-Prof. Dr. Anselm Lambert Didaktik II WS 2010/11 (Aktuell ☺ aus einer Fortbildung an der Gesamtschule Sulzbachtal Dudweiler 18.11.10)
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BAUSTEIN VARIABLE: Aspekte des Variablenbegriffs
Unterrichtsvorschläge zur Einführung von Variablen
Gegenstandsaspekt (Unbekannte)
Einsetzungsaspekt (Platzhalter)
Simultaner Bereichsaspekt (gleichzeitige Repräsentation jedes
Elements des Grundbereichs)
Veränderlichenaspekt (sukzessive Repräsentation aller Elemente eines
geordneten Grundbereichs)
Und schließlich: Kalkülaspekt (regelhaftes Rechnen mit Symbolen)
Die Aspekte sind in der Regel bei der Nutzung von Variablen miteinander
verwoben.
Erster Vorschlag: Zahlentricks (Variable als Unbekannte)
(siehe Malle 1993, 46 und 80, bzw. Führer 1999, 81)
Was Variablen sind lernt man – über die mathematische Lehrzeit
zunehmend – indem man sich an ihre Nutzung gewöhnt. Der
Aspektekatalog soll Lehrpersonen vor einseitiger Behandlung schützen.
(vgl. Führer 1999, 80)
1
Erste Aufgabe
Denk Dir eine Zahl
Addiere 3
Verdoppele das Ergebnis
Subtrahiere 4
Dividiere das Ergebnis durch 2
Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl
Welche Zahl erhältst Du?
Wie kann man diese Rechnung mit einer Unbekannten
geeignet (enaktiv – ikonisch – symbolisch) darstellen?
(Malle 1993, 65)
2
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Unterrichtsvorschläge zur Einführung von Variablen
Zweite Aufgabe
Thorben hat sich folgenden Zahlentrick ausgedacht: Denk Dir eine Zahl!
Addiere 1! Verdreifache das Ergebnis! Subtrahiere die ursprünglich
gedachte Zahl! Du erhältst 3.
Stimmt das wirklich? Überprüfe an einigen Zahlen! Falls es nicht stimmt,
ändere die Rechenanweisung so ab, dass man für jede Ausgangszahl das
Ergebnis 3 erhält! Begründe mit Säckchen und Kugeln!
Dritte Aufgabe
Ein Zahlentrick mit großen Zahlen: Denk Dir eine Zahl! Addiere 15!
Multipliziere mit 4! Subtrahiere 16! Multipliziere mit 25! Subtrahiere 500!
Dividiere durch 100! Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl! Du
erhältst 6, Begründe!
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Typen von Zahlenrätseln für den Unterricht
Erraten des Ergebnisses einer Rechnung mit unbekannten Zahlen
Erraten einer gedachten Zahl
o Denke Dir ein Zahl, nimm Sie noch einmal;
o zähle 4 hinzu;
o nimm die Hälfte;
o zähle 7 hinzu;
o multipliziere das Ergebnis mit 8;
o ziehe 12 ab;
o dividiere durch 4;
o ziehe 11 davon ab.
Die gedachte Zahl erhält man hier, indem man .... (CAS?)
Erraten mehrerer Zahlen
Erraten einer Ziffer im Ergebnis einer Rechnung mit unbekannten Zahlen
(Lietzmann 1930, 153-169)
(Malle 1993, 65)
3
4
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Aus der Zentralen Abschlussarbeit Realschule Hessen 2004
Unterrichtsvorschläge zur Einführung von Variablen
Aufgabe W4 Wenn Du diesen Trick mit deinen Freunden ausprobierst,
werden sie dich für ein echtes Mathegenie halten:
Noch ein Vorschlag: Paketverschnürungen
Schritt 1
Schritt 2
Schritt 3
Schritt 4
Schritt 5
Schritt 6
Denke dir eine Zahl zwischen 1 und 100 aus.
Multipliziere Sie mit 3
Addiere 45
Multipliziere mit 2
Dividiere durch 6
Subtrahiere deine Ausgangszahl
W 4.1 Wie kann der Trick funktionieren,
– obwohl das Rätsel mit einer dir unbekannten Zahl beginnt
– mit mehreren Zahlen multipliziert beziehungsweise dividiert wurde.
Erkläre dies detailliert mit deinen eigenen Worten oder begründe mit
Hilfe einer Rechnung.
W 4.2 Ändere die Aufgabenstellung in nur einem Schritt, so dass das
Endergebnis immer 18 heißt.
W 4.3 Welche Bedingung muss eine Zahl in diesem Rechenschritt erfüllen,
wenn das Endergebnis eine natürliche Zahl sein soll.
Aufgaben:
Ein Paket wird verschnürt. Gib eine Formel für die Schnurlänge an!
(Alle Zugänge: enaktiv (verschiedene Schachteln), ikonisch
(zugehörige Skizzen oder Zeichnungen), symbolisch)
Stelle dazu eine Tabelle auf. (Tabellenkalkulation?)
Welche Paketgrößen kann man mit 1m Schnur verschnüren?
Thorbens Schwester sagt: „Bei meiner Verschnürung lautet die Formel
L = 6a + 4b + 6c + 25 .“ Wie könnte sie verschnürt haben? Geht das
überhaupt?
Vorteil: Geometrische Veranschaulichung der Situation.
(vgl. Malle 1993, 73f)
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(Variablen in)
Terme(n) und Formeln (Funktionen)
Mit Termen bzw. Formeln kann man
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
innermathematische Prozesse und Gesetzmäßigkeiten (insbesondere
Rechengänge und Rechenregeln) allgemein beschreiben.
außermathematische Prozesse und Gesetzmäßigkeiten allgemein
beschreiben, d. h. Modelle für außermathematische Situationen
entwerfen.
eine Situation explorieren („Strickmuster“) und damit allgemeine
Einsichten in eine besondere Situation erlangen.
abstrakte Problemlösungen planen und Probleme allgemein lösen.
allgemeingültige Argumentationen (Begründungen, Beweise) führen.
Wissen (allgemeine Rechenwege und Beziehungen) übermitteln und
auf einer abstrakten Ebene kommunizieren.
Sich Zusammenhänge merken
(vgl. Führer 1999 und Malle 1993, 57ff und 233ff)
7
6
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Zu 1: Innermathematisches allgemein beschreiben.
Aufgabe:
a) Rechne möglichst geschickt:
372 − 91 − 9
b) Beschreibe den Rechengang
mit Variablen
c) Erfinde weitere geschickte Rechnungen
Aufgabe:
a) Wie viele Münzen liegen da?
(Zielt auf unterschiedliche Terme mit Zahlen)
b) Wie viele Münzen liegen da,
wenn jedes der Teilquadrate die
Seitenlänge 3 oder 5 oder 53 hat?
(Zielt auf unterschiedliche Terme mit Variablen)
Aufgabe: Erkläre die Teilbarkeitsregel für 3.
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Zu 2: Außermathematisches allgemein beschreiben.
(vgl. Kompetenzen der Bildungsstandards)
Eine Formel kann ein einfaches abstraktes Modell einer Situation sein.
Durch die Formel können Rechengänge und Beziehungen beschrieben werden, ohne
immer auf konkrete Zahlenbeispiele zurück greifen zu müssen.
Die Formel lenkt die Aufmerksamkeit auf einen allgemeinen Gehalt einer besonderen
Situation.
Mit einer Formel lassen sich verschiedene Situationen beschreiben.
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Formeln als Beziehungen zwischen Zahlen
Eine gute Möglichkeit die Aufmerksamkeit auf den Beziehungsaspekt von
Formeln zu lenken ist Zahlbeziehungen zeichnerisch darstellen zu lassen
und umgekehrt Zahlbeziehungen aus geometrischen Mustern zu gewinnen.
Aufgabe Stelle die Formel
x + y = a − b auf verschiedene Arten
zeichnerisch dar.
(Malle 1993, 57 – 59)
Aufgabe Ermittele eine Formel für den
Flächeninhalt der einzelnen Räume und
für die Wohnung mit (ohne) Terrasse.
Zu 3: Situation(en) explorieren und Einsichten erlangen.
Aufgabe Welche Fläche hat den Inhalt:
z.B. Beispiel: Parabel (algebraisch, graphisch und tabellarisch)
Neben der abbildenden Funktion haben Formeln auch eine explorierende
Funktion. („Bruttopreis und Nettopreis“, Formeln aus der Physik)
A = ab
A = (a − c)c
A = ab
A = a(b + c)
(Malle 1993, 59)
A = ab + cd
A = (a − c)(b + c)
9
(Malle 1993, 153f)
10
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Zu 4: Probleme allgemein lösen.
Zu 5: Allgemeingültige Argumentationen führen.
(vgl. Kompetenzen der Bildungsstandards)
(vgl. Kompetenzen der Bildungsstandards)
Aufgabe: Es gibt Paare von zweistelligen Zahlen, deren Produkt
unverändert bleibt, wenn man bei beiden Zahlen die Ziffern vertauscht,
z. B.: 39 ⋅ 62 = 93 ⋅ 26 . Gib weitere (nichttriviale) Paare dieser Art an!
Mit Variablen in Termen und Gleichungen kann man allgemeine
Behauptungen begründen, ohne sie an jedem einzelnen Element ihres
Gültigkeitsbereichs zu überprüfen (z. B. Teilbarkeitsregeln).
Aufgabe: Ein Streifen Papier ist in gleichbreite Teilstreifen eingeteilt.
Mehrere Streifen sollen jeweils zu einer gefärbten Kolumne zusammen
gefasst sein. Alle Kolumnen sollen dabei jeweils auch gleich breit sein und
zwischen den Kolumnen soll jeweils ein Leerstreifen verbleiben.
Aufgabe: Begründe, dass das Quadrat (einer von 1 verschiedenen (?)
N
n²
n²-1
n-1
n+1 (n-1)(n+1) natürlichen (?)) Zahl um 1 größer
1
1
0
0
2
0
ist, als das Produkt ihrer
2
4
3
1
3
3
3
9
8
2
4
8 benachbarten Zahlen!
Das Beispiel zeigt verschiedene Möglichkeiten für 11 Teile. Gibt es
weitere? Wie ist es (hypothetisch) bei anderen Anzahlen von Teilstreifen?
(Diese Aufgabe ermöglicht alle der folgenden Zugänge: enaktiv – ikonisch – symbolisch)
(vgl. Malle 1993, 60f)
11
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
25
36
49
64
81
100
121
144
15
24
35
48
63
80
99
120
143
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
Es gilt: n 2 − 1 = (n − 1)(n + 1).
24
35
(vgl. Malle 1993, 64)
48
63 Oder: Die Summe
80 aus einer positiven Zahl und
99
ihrem Kehrwert ist mindestens 2.
120
143
12
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(Nicht nur) das kann man einsehen!
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Figurierte Zahlen heute wieder aktuell
Das Quadrat jeder (natürlichen) Zahl ist um 1 größer,
als das Produkt (Na klar: Rechteckfläche!) ihrer benachbarten Zahlen!
Figurierung und Flächendarstellung
aus Pisa 2000
13
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Univ.-Prof. Dr. Anselm Lambert Didaktik II WS 2010/11 (Aktuell ☺ aus einer Fortbildung an der Gesamtschule Sulzbachtal Dudweiler 18.11.10)
Zu 5: Abstraktes veranschaulichen
Zu 6: Wissen kommunizieren. (vgl. Kompetenzen der Bildungsstandards)
Mit Hilfe von Regeln lassen sich
situationsbeschreibende Terme umformen,
wenn die Situation so komplex ist, dass
inhaltliche Überlegungen nicht mehr sinnvoll
(oder gar nicht mehr möglich sind).
Kommunikation kann dabei
Aber soweit möglich sollte man auch inhaltliche Argumente tragen lassen!
Beispielaufgabe: Der Oberflächeninhalt eines Quaders mit den
Seitenlängen a , b und c ist bekanntlich O = 2(ab + bc + ca ).
1.Begründe, ohne die Formel umzuformen, anhand eines Quadernetzes die
O − 2ab
Formel c =
2(a + b )
2.Leite diese Formel durch Umformen her.
mit einem Menschen
(auch man selbst)
oder mit einer Maschine
erfolgen.
Sie kann
synchron
oder diachron
(z. B. über eine Formelsammlung)
erfolgen.
(Malle 1993, 236)
Und: Kalküle werden (auch !) in Formeln formuliert.
Weiteres Beispiel: Produktive Aufgabe 102.
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