Physik für Elektrotechniker und Informatiker

Physik für Elektrotechniker und Informatiker
Grundlagenvorlesung 1. & 2. Semester
Inhaltsverzeichnis
0. Allgemeine Einführung in das naturwissenschaftliche Fach Physik
0.1. Stellung und Bedeutung der Physik – Was ist Physik?
0.2. Rolle des Experimentes, Messen, Maßsysteme
0.3. Physikalische Modelle, Hypothesen, Theorien, Rolle der Mathematik
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Orstsvektor
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation (Beispiele)
1.3. Die Kreisbewegung = Rotation
Beispiele: ohne Beschränkung der Allgemeinheit zunächst nur: Eindimensional 1 D

Gleichförmige Bewegung:
dx
 x  vo x  const
dt
dx  vo x dt
vx  t  
x t 

t

dx 
x  x0
t 0
t
v0 x dt '  v0 x
 dt
t 0
'
 v0 x t
x  t   x0  v0 x  t
x  t   x0  v0 x  t
 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
x
dv x  t 
 a x  const
dt
vx t 

dv x  a x dt
t
dv x 

t
a x dt '  a x
t 0
v0 x
 dt
'
 ax  t
t 0
v x  t   v0  a x  t
v x  t   v0 x  a x t
x
 dx 
d x  v x  dt
x0
t

t
v x dt ' 
t 0
 v
t 0
0x

 a x t ' dt '
1
 v0 x t  a x  t 2
2
x  t   x0  v 0 x t 
ax 2
t
2
Diese Formeln finden Sie alle in dieser oder ähnlicher Darstellung in Tabellenbüchern. Tafelwerke
helfen allerdings nicht weiter im folgenden Beispiel:
 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung:
ax  ax  t 
spezielle Funktion
dx  t   dv x  t   a x  t  dt 
x t 

v0 x
d x t  
t
k
tdt
m
t
k ' ' k
k 2
'
'
t 0 m t dt  m t 0 t dt  2m t
Anfangsgeschwindigkeit beachten
k 2
bzw.
x  t   v0 x 
t
2m
x  t   ax  t  
k
t
m
dx  x  t  dt
x t 

x0
t
dx 

  v
t 0
0x

k '2  '
k 3
t dt  v0 x  t 
t
2m 
6m
x  t   x0  v 0 x t 
k 3
t
6m
Empfohlene Literatur zu diesem Kapitel:
Hering, Martin; Stohrer: Physik für Ingenieure, 10. Auflage, Lehrbuch, Springer Verlag, ISBN
978-3-540-71855-0, Seiten 29 bis 39
1.3. Die Kreisbewegung
Wählt man bei der Beschreibung der Kreisbewegung den Kreismittelpunkt M (xM;yM) als
Bezugspunkt, ändert sich nur die Richtung des Ortsvektors
r  t   r0
r
 rˆ , nicht aber dessen Betrag.
r
r t 
 r0 rˆ  t  , r0  const
r
(8)
Zweckmäßig ist die Einführung von ebenen Polarkoordinaten r (Radius) und 𝞅 (zeitabhängiger
Drehwinkel):
Winkelkoordinate   t 
Transformationsgleichungen
x  r cos 
y  r sin 
x2  y2  r 2
x
 cot 
y
y
 tan 
x
  arc tan
 Definition:
y
x
Winkelgeschwindigkeit 
 t  
d  t 
  t 
dt
(9)
Winkelbeschleunigung 
d  t  d 2  t 
 t  

  t 
dt
dt 2
(10)
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit spricht man von einer gleichförmigen, bei konstanter
Winkelbeschleunigung von einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung.
s bzw. r , v  a sind Vektoren
Frage: Kann man Drehbewegungen vektoriell erfassen?
Gleichförmige Drehbewegungen werden durch eine Größe der Winkelgeschwindigkeit und einen
Drehsinn bzw. eine Richtung beschrieben.
Die konkrete Frage ist nun, ob es folgende Analogie gibt:
Weg s
Winkel 
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung 
Es zeigt sich, dass eine vektorielle Darstellung für  und  möglich ist, nicht aber für Winkel. Wenn
Winkel als Vektoren darstellbar wären, müssten sie auch dem Gesetz der Kommutativität der
Vektoraddition. gehorchen, d.h., die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um zwei beliebig
gewählte Achsen müsste von der Reihenfolge unabhängig sein.
Die beiden Sequenzen der Drehung um y- und z-Achse sind nicht vertauschbar.
Die Prozedur „erste Drehung um y-Achse, zweite Drehung um z-Achse“ führt zu einem anderen
Ergebnis als die umgekehrte Aufeinanderfolge „erste Drehung um z, zweite Drehung um y“. Ferner
spricht die Definition des Skalarproduktes sowie die Arcusfunktion eines Winkels dagegen.
D.h., Makroskopische Winkel sind nicht als Vektoren darstellbar.
Betrachtet man hingegen Punktmassen, und dieses Modell haben wir in diesem Abschnitt zugrunde
gelegt, ist diese genauere Betrachtung ohne Belang. Bei mikroskopisch kleinen Winkeln ist die
Drehung kommutativ:
d3  t  d1  t  d2  t  d2  t  d1  t 




 3 (t )  1 (t )  2 (t )
dt
dt
dt
dt
dt
(11)
Winkelgeschwindigkeiten sind als Vektoren schreibbar. Sie charakterisieren den Drehsinn und die
Geschwindigkeit der Rotation. Vektoren mit diesen Eigenschaften heißen: „axiale Vektoren“. Die
„normalen“ Vektoren heißen „polare“ Vektoren.
Exp.: Addieren von Winkelgeschwindigkeiten mit schwarzer Kugel mit grünen Punkten
Winkelgeschwindigkeit Modellscheibe V 02 / 1421
Die Bahngeschwindigkeit v ist stets tangential zur Kreisbahn gerichtet und steht senkrecht auf dem
aktuellen Radiusvektor.
Ihr Betrag ergibt sich aus:
ds
=
r0
d
zu
Bahngröße
Radius
x
Winkelgröße
Das ist eine sehr pauschale Aussage und gilt eher als „Eselsbrücke“
v
=
ds
dt
=
r0
d
=
dt
r0  
(12)
 = axial
(13)
Die Bahngeschwindigkeit v steht  r   .
Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man schreiben:
v  r
polare Vektoren
Das Kreuzprodukt zweier polare Vektoren
axialer Vektor
Das Kreuzprodukt eines polaren und eines axialen Vektors
polarer Vektor
r  r , v  v ,   
Ein „normaler“ polarer Vektor ändert bei Koordinateninversion
x
-x
y
-y
seine Richtung, seine Polarität
z
-z
Ein Vektor c  a  b , der sich aus dem Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren a , b ergibt, ändert bei
einer solchen Punktspiegelung sein Vorzeichen nicht, weil beide Faktoren im Produkt ihr Vorzeichen
gleichzeitig ändern.
Da sich die Bahngeschwindigkeit bei der Kreisbewegung (wenn auch nur der Richtung nach) ständig
ändert, ist bereits die gleichförmige Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung.
Mathematische Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung
Rechtwinkliges kartesisches KS mit Einheitsvektoren ex , ey (z = 0 )
Damit wird der Ortsvektor:
r  t   ex r0 cos   ey r0 sin 
Gleichförmige Kreisbewegung:

d 
  2 /   2 v  2 f
dt
t
𝞄: Umlauffrequenz
1
v
  2 v

Periodendauer
Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
r  t   r0 (ex cos t  ey sin t )  r0rˆ t 
r  r0
Die zeitliche Differentiation des Richtungsvektors führt zu:
dr  t 
drˆ  t 
d
 r  t   v  t   (r0 rˆ  t )  r0
dt
dt
dt
d
 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
 r0  ex sin t  ey cos t 
Betrag
Richtung
 r0 rˆ´ r ´
(14)
Der Einheitsvektor rˆ´ , der die Richtung von v angibt, steht senkrecht auf dem Ortsvektor r und
senkrecht auf 
Die Differentiation des Ortsvektors ergibt also unmittelbar sowohl Betrag als auch Richtung des
Bahngeschwindigkeitsvektors. Durch nochmalige Differentiation gelangt man in gleicher Weise zur
Bahnbeschleunigung:
a t  
dv  t 
  2 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
Betrag
Richtung
  r0 rˆ``  r
2
(15)
2
 da rˆ`` rˆ 
Die Bahnbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung stets dem Ortsvektor
entgegengerichtet, sie zeigt immer auf den Kreismittelpunkt.
Es gibt eine reine Radialbeschleunigung = Zentripetalbeschleunigung.
2
Deshalb wird sie mit ar   r   r     v bezeichnet.
Vektoriell ist:
ar    v      r 
(16)
Entwicklungssatz der Vektorrechnung für das doppelte Kreuzprodukt:
    r    r   r       2 r
  r  = 0, weil   r , es bleibt also übrig:
ar   2 r
Bisher haben wir nur die gleichförmige Kreisbewegung behandelt.
Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung (z.B. gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung) ändert
sich auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit v : v
Der Beschleunigungsvektor lässt sich in diesem Fall in eine Radial-Komponente ar und eine
Tangential-Komponente at zerlegen.
Erstere ist für die Richtungsänderung, letztere für die Betragsänderung von v verantwortlich.
Die Kreisbewegung auf einen Blick – Zusammenfassung
Wie gelangt man von einem Koordinatensystem (KS) in das andere (Transformation)?
Kartesische Koordinaten
Polar-Koordinaten
 x0 2  y0 2
x0  r0  cos  (t )
r0
y0  r0  sin  (t )
 (t )  arc tan
z0  0
z
y t 
x t 
0
 t    t    t 
rˆ´ ex  sin t
rˆ´´ ex  cos t
ar  w2 r
at
 ey cos t
 ey sin t
ar  r0 w2
 rˆ
Richtungsänderung von v
Betragsänderung von v
Übungsaufgabe: Blatt 2, Aufgabe 4 Vorlesungsversuch V 1 / 2001
Bemerkungen: Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge der Größen Ortsvektor, Bahn- und
Winkelgeschwindigkeit dienen auch die beiden folgenden geometrischen Überlegungen:
1.) Bei der gleichförmigen Kreisbewegung gilt / v /  const. Folglich ist auch / v / 2  const .
Vektoriell ist auch das Skalarprodukt v 2  const. Differenziert man den letzten Ausdruck,
d
dv
/ v / 2  2v 
 2v  a  0 . Demzufolge müssen die beiden Vektoren
dt
dt
senkrecht aufeinander stehen, es gilt v  a . Da der Geschwindigkeitsvektor andererseits
ergibt sich:
senkrecht auf dem Radiusvektor steht, kann folglich die Beschleunigung nur radial nach innen
oder außen zeigen. Sie zeigt nach innen, weil die Punktmasse ansonsten wegfliegen würde.
2.) Aus dem vektoriellen Zusammenhang v    r (Gl. (13)) folgt bei zeitlicher Ableitung mit
Hilfe der Produktregel:
d
v    r    r  a . Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist
dt
die Winkelgeschwindigkeit konstant, die zeitliche Ableitung verschwindet und damit der erste
Summand. Im zweiten Summanden kann für die Zeitableitung des Ortsvektors der
Geschwindigkeitsvektor eingesetzt werden, der wiederum durch Gleichung (13) definiert ist.
Also ergibt sich: a    (  r ) . Nach dem Zerlegungssatz für doppelte Kreuzprodukte
2
(siehe Gl. (16)) bleibt nur der Term a    r übrig. Also gilt a  r .