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"Mahdi Daneshzadeh Tabrizi" <[email protected]>
Die gleichförmige Kreisbewegung
Abschnitt 1:
Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Punkt „P“ in der
X-Y-Ebene mit konstanter Bahngeschwindigkeit „v“.
Gleichförmig bedeutet, daß sich zwar der Betrag |v| der Geschwindigkeit nicht
ändert, wohl aber seine Richtung. Ein Körper führt eine gleichförmige
Kreisbewegung aus, wenn die Bahnkurve ein Kreis ist und der Betrag des
Geschwindigkeitsvektors konstant ist.
Die Lage des Punktes „P“ in der X-Y-Ebene ändert sich mit der Zeit „t“. Dies
kann man mit dem zu „P“ zugehörigen Ortsvektor „r(t)“ beschreiben.
Spaltet man „r(t)“ in seine Komponenten, so ergibt sich folgendes:
rx(t)= r * cos(ωt) * ex und
ry(t)= r * sin(ωt) * ey
„ex“ und „ey“ haben jeweils die Länge 1 und stehen aufeinander orthogonal,
daher heißen sie Einheitsnormalenvektoren. Omega ist die Kreisfrequenz, sie
ist eine Konstante 1/Zeit.
Die oben genannten Gleichungen sind Parametergleichungen, eines Kreises
mit dem Parameter „t“. Daß diese beiden Gleichungen zusammen wirklich
eine Kreisbahn beschreiben, sieht man, wenn man beide Gleichungen
quadriert und anschließend addiert.
rx2(t)= r2 * cos2(ωt) und
ry2(t)= r2 * sin2(ωt)
rx2 + ry2 = r2(sin2(ωt) + cos2(ωt))
=1
Die letzte Gleichung ist die Gleichung eines Kreises um den
Koordinatenursprung mit Radius „r“.
Wenn der Punkt „P“ in der Zeit „t“ die Kreisbahn n-mal durchläuft, sagt man er
bewegt sich mit der Frequenz „f“.
f = n/t
Die Einheit der Frequenz heißt Hertz (Hz)
Die Zeit die „P“ für einen Umlauf benötigt heißt Umlaufdauer „T“. Es gilt n = 1;
darauf folgt:
t = 1/T
Die Komponenten der Bahngeschwindigkeit können in X- und in Y- Richtung
getrennt berechnet werden, es gilt:
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vx(t) = rx(t) = - r * ω * sin( ωt ) *ex
vy(t) = ry(t) = - r * ω * cos( ωt ) *ey
Die beiden oberen Gleichungen ergeben zusammen den
Geschwindigkeitsvektor.
v(t) = vx(t) + vy(t) = - r * ω * sin(ωt)* ex + r * ω cos(ωt) * ey
Dies ist der Geschwindigkeitsvektor aus Gründen des Komforts verwenden wir
aber nur den Betrag von „v“.
Den Betrag der Bahngeschwindigkeit erhält man wieder durch Quadrieren und
Addieren der beiden Gleichungen.
ρ
ρ2 ρ 2
| v |= v x + v y = r 2 ⋅ω ⋅ (sin 2 (ωt ) + cos 2 (ωt ) = ω ⋅ r
Unter weiterer Verarbeitung der Gleichung folgt die endgültige Formel:
v= ω ⋅ r =
2π ⋅ r u
= =konst.
T
T
„u“ ist hier der Umfang der Kreisbahn. Diese Gleichung läßt sich für jeden
Kreisbogenabschnitt ∆s, der in der Zeit ∆t durchlaufen wird verallgemeinern.
Bedeutet:
v = ω ⋅ r=
∆s
∆t
Da „r“ immer in radiale Richtung zeigt, muß „v“ immer in tangentielle Richtung
zeigen, daraus folgt:
Der Geschwindigkeitsvektor „v“ ist immer tangential zur Bahnkurve gerichtet.
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Abschnitt 2:
Die Zentripetalbeschleunigung
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich dauernd der
Bahngeschwindigkeitsvektor. Zwar ändert sich nicht sein Betrag, aber laufend
seine Richtung. Die Größe, die die Änderung der Geschwindigkeit beschreibt,
heißt Beschleunigung. Die Beschleunigung, die bei der gleichförmigen
Kreisbewegung andauernd eine Richtungsänderung der Bahngeschwindigkeit
bewirkt, heißt Zentripetalbeschleunigung a.
So wie man die Bahngeschwindigkeit abgeleitet hat, wird auch bei der
Zentripetalbeschleunigung verfahren. Die Komponenten werden nach der Zeit
abgeleitet:
ρ
ρ
ρ
a z x (t ) =v x ⋅(t ) = ω 2 ⋅ r ⋅ cos(ωt )e x ⇔
1 4 4 2 4 43
r x (t )
ρ
2 ρ
a z x (t ) =−ω ⋅r x (t )
ρ
ρ
ρ
a z y (t ) =v y ⋅(t ) = −ω 2 ⋅ r ⋅ sin(ωt )e y ⇔
1 4 4 2 4 43
ρ
ρ
a z y (t ) =−ω 2 ⋅r y (t )
r y(t )
Den Betrag der Zentripetalbeschleunigung az erhält man wieder, indem die
Komponenten quadriert und addiert werden.
Die endgültige Gleichung der Zentripetalbeschleunigung lautet dann:
v2
az=
r
Die gleichförmige Bewegung ist eine beschleunigte Bewegung. In jedem Punkt
der Kreisbewegung zeigt die Zentripetalbeschleunigung zum Kreismittelpunkt.
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Abschnitt 3:
Die Zentripetalkraft
Wenn ein Körper beschleunigt wird, wirkt auf ihn eine beschleunigte Kraft.
Es gilt:
ρ
ρ
F z = m ⋅a z
Fz ist die Zentripetalkraft
az ist die Zentripetalbeschleunigung
Die Zentripetalkraft hat die selbe Richtung, wie die Zentripetalbeschleunigung,
nämlich immer genau zum Kreismittelpunkt.
Der Betrag der Zentripetalkraft lautet:
Fz = m ω2 * r
oder:
m ⋅ v2
F z=
r
Ein Körper der Masse „m“ mit einer Geschwindigkeit vom Betrag „v“ wird von
der Zentripetalkraft Fz auf eine Kreisbahn mit dem Radius „r“ gezwungen.
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