Folien

Elektrodynamik eines Plasmas
Elektrodynamik eines Plasmas
Klassifikation von Plasmen
Klassisches Plasma / Quantenplasma
nicht-relativistisches / relativistisches Plasma
Schwach / stark wechselwirkendes Plasma
Elektrostatik eines Plasmas
Debye-Abschirmung
Plasmaschwingungen
Plasmafrequenz
Longitudinale und transversale Wellen
Elektrodynamik eines Plasmas
Plasma?
Zustand der Materie,* bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern,
der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann.
z.B.: teilweise oder völlig ionisiertes Gas.
* der
häufigste Zustand von ,,üblicher’’ Materie!
Elektrodynamik eines Plasmas
Plasma?
Zustand der Materie,* bestehend aus frei beweglichen Ladungsträgern,
der den ganzen zu Verfügung stehenden Raum besetzen kann.
z.B.: teilweise oder völlig ionisiertes Gas.
Frei bewegliche Ladungsträger vorhanden
☛ elektrischer Leiter.
~ = ~0 im inneren des Plasmas im elektrostatischen Gleichgewicht;
E
(11. Juni)
dielektrische Funktion
X ⌦2
a
✏r (!) ⇠ 1 +
2
!!0
!
a>1 a
⌦21
!(! + i
1)
⌘ ✏r,0 +
i⌦21
!(
1
i!)
(Lorentz–Drude-Modell mit niedrigster Resonanz bei ω1 = 0)
* der
häufigste Zustand von ,,üblicher’’ Materie!
(26. Juni)
Elektrodynamik eines Plasmas
Plasma?
Hiernach, nur zwei Arten von Ladungen:
• Elektronen (el. Ladung -e, Masse me, Dichte ne)
• völlig ionisierte Ionen* (el. Ladung +Ze, Masse MZ ≫ me, Dichte nZ)
im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T.
Im ,,Gleichgewichtszustand’’: lokale Neutralität
%0 (~r) =
ene (~r) + ZenZ (~r) = 0
☛ nZ in Abhängigkeit von ne.
*Hoch-T-Limes,
sonst muss man alle Spezies {IonZ+, Ion(Z-1)+, ..., Ion+,
Atom} in ,,chemischem’’ Gleichgewicht berücksichtigen.
Elektrodynamik eines Plasmas
Plasma?
Hiernach, nur zwei Arten von Ladungen:
• Elektronen (el. Ladung -e, Masse me, Dichte ne)
• völlig ionisierte Ionen* (el. Ladung +Ze, Masse MZ ≫ me, Dichte nZ)
im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T.
Im ,,Gleichgewichtszustand’’: lokale Neutralität
%0 (~r) =
ene (~r) + ZenZ (~r) = 0
☛ nZ in Abhängigkeit von ne.
*Hoch-T-Limes,
sonst muss man alle Spezies {IonZ+, Ion(Z-1)+, ..., Ion+,
Atom} in ,,chemischem’’ Gleichgewicht berücksichtigen.
Elektrodynamik eines Plasmas
Klassifikation von Plasmen
Klassisches Plasma / Quantenplasma
nicht-relativistisches / relativistisches Plasma
Schwach / stark wechselwirkendes Plasma
Elektrostatik eines Plasmas
Debye-Abschirmung
Plasmaschwingungen
Plasmafrequenz
Longitudinale und transversale Wellen
Klassifikation von Plasmen
Ob ein Plasma ,,klassisch’’ oder ,,quantenmechanisch’’ ist, hängt von
der relativen Größen von dem typischen Abstand ne 1/3 zwischen zwei
benachbarten Elektronen
und von deren thermischen (de Broglie-)
p
Wellenlänge th ⇠ ~/ me kB T ab.
Äquivalent kann man die thermische Bewegungsenergie kBT mit der
2
Nullpunktenergie (~n1/3
)
/2me vergleichen.
e
Diese Energien sind noch mit der Massenenergie mec2 zu vergleichen:
• für
1/3 2
~ne
2me
• für kB T ⌧
⌧ kB T ⌧ me c2: klassisches nichtrelativistisches Plasma
1/3 2
~ne
2me
⌧ me c2: nichtrelativistisches entartetes Plasma
• für kBT ≳ mec2 ist das Plasma relativistisch... und daher automatisch
quantenmechanisch.
Klassifikation von Plasmen
Ob ein Plasma ,,klassisch’’ oder ,,quantenmechanisch’’ ist, hängt von
der relativen Größen von dem typischen Abstand ne 1/3 zwischen zwei
benachbarten Elektronen
und von deren thermischen (de Broglie-)
p
Wellenlänge th ⇠ ~/ me kB T ab.
Äquivalent kann man die thermische Bewegungsenergie kBT mit der
2
Nullpunktenergie (~n1/3
)
/2me vergleichen.
e
Diese Energien sind noch mit der Massenenergie mec2 zu vergleichen:
• für
1/3 2
~ne
2me
• für kB T ⌧
⌧ kB T ⌧ me c2: klassisches nichtrelativistisches Plasma
1/3 2
~ne
2me
⌧ me c2: nichtrelativistisches entartetes Plasma
• für kBT ≳ mec2 ist das Plasma relativistisch... und daher automatisch
quantenmechanisch.
Klassifikation von Plasmen
Ob ein Plasma ,,klassisch’’ oder ,,quantenmechanisch’’ ist, hängt von
der relativen Größen von dem typischen Abstand ne 1/3 zwischen zwei
benachbarten Elektronen
und von deren thermischen (de Broglie-)
p
Wellenlänge th ⇠ ~/ me kB T ab.
Äquivalent kann man die thermische Bewegungsenergie kBT mit der
2
Nullpunktenergie (~n1/3
)
/2me vergleichen.
e
Diese Energien sind noch mit der Massenenergie mec2 zu vergleichen:
• für
1/3 2
~ne
2me
• für kB T ⌧
⌧ kB T ⌧ me c2: klassisches nichtrelativistisches Plasma
1/3 2
~ne
2me
⌧ me c2: nichtrelativistisches entartetes Plasma
• für kBT ≳ mec2 ist das Plasma relativistisch... und daher automatisch
quantenmechanisch.
Klassifikation von Plasmen
Für
1/3 2
~ne
2me
⌧ kB T ⌧ me c2 , klassische nichtrelativistische Plasmen:
Intergalaktisches / interstellares Plasma: ne ∼ 1-105 m-3, T ∼ 106-104 K
Magneto- / Ionosphäre von Planeten: ne ∼ 107-1012 m-3, T ∼ 107-103 K
für die Erde
Plasma erzeugt in Gasentladungen (z.B. Blitze): ne ∼ 1016 m-3, T ∼ 104 K
In Fusionsexperimenten: ne ∼ 1020 m-3, T ∼ 108 K in Tokamaks (ITER...);
ne ∼ 1027 m-3, T ∼ 107 K in Trägheitsfusionsexperimenten
Für das Plasma im Zentrum unserer Sonne (ne ∼ 1032 m-3, T ∼ 107 K,
entsprechend th ⇡ ne 1/3 ) spielen Quanteneffekte eine Rolle.
Klassifikation von Plasmen
Entartete nichtrelativistische Plasmen mit kB T ⌧
1/3 2
~ne
2me
⌧ me c2:
Plasma in weißen Zwergen:* ne ∼ 1036 m-3, T ≲ 108 K
,,Elektronengas’’ in (Halb)Leitern
☛ modelliert als Fermi-Gase bei T = 0
*die
düstere Zukunft unserer Sonne...
(Theoretische Physik III)
Klassifikation von Plasmen
Entartete nichtrelativistische Plasmen mit kB T ⌧
1/3 2
~ne
2me
⌧ me c2:
Plasma in weißen Zwergen:* ne ∼ 1036 m-3, T ≲ 108 K
,,Elektronengas’’ in (Halb)Leitern
☛ modelliert als Fermi-Gase bei T = 0
(Theoretische Physik III)
Es gab ein relativistisches Plasma mit kBT ≳ mec2 im frühen Universum
*die
düstere Zukunft unserer Sonne...
Klassifikation von Plasmen
Wechselwirkungen in einem Plasma sind ,,klein’’ (d.h.
in erster Näherung
vernachlässigbar, in einem zweiten Schritt behandelt mit Störungsrechnung)
wenn die
2
1/3
) viel kleiner als die
typische potentielle Energie hEpot i . e /(4⇡✏0 ne
kinetische Energie hEkin i ist.
☛ schwach (≠ stark) wechselwirkendes Plasma
2 1/3
e ne
In einem klassischen Plasma hEkin i∼ kBT soll ≫
sein: ne soll klein
4⇡✏0
sein... offensichtlich?
1/3 2
~ne
In einem entarteten QM-Plasma hEkin i ∼
: ne soll groß sein!
2me
In einem (ultra)relativistischen Plasma hEkin i ⇠ kB T ⇠ ~n1/3
e c :
☛ das Kriterium für ein schwach wechselwirkendes Plasma lautet
e2
⌧ ~c , ↵e.m. ⌧ 1
4⇡✏0
unabhängig von ne.
Klassifikation von Plasmen
Wechselwirkungen in einem Plasma sind ,,klein’’ (d.h.
in erster Näherung
vernachlässigbar, in einem zweiten Schritt behandelt mit Störungsrechnung)
wenn die
2
1/3
) viel kleiner als die
typische potentielle Energie hEpot i . e /(4⇡✏0 ne
kinetische Energie hEkin i ist.
☛ schwach (≠ stark) wechselwirkendes Plasma
2 1/3
e ne
In einem klassischen Plasma hEkin i∼ kBT soll ≫
sein: ne soll klein
4⇡✏0
sein... offensichtlich?
1/3 2
~ne
In einem entarteten QM-Plasma hEkin i ∼
: ne soll groß sein!
2me
In einem (ultra)relativistischen Plasma hEkin i ⇠ kB T ⇠ ~n1/3
e c :
☛ das Kriterium für ein schwach wechselwirkendes Plasma lautet
e2
⌧ ~c , ↵e.m. ⌧ 1
4⇡✏0
unabhängig von ne.
Klassifikation von Plasmen
Wechselwirkungen in einem Plasma sind ,,klein’’ (d.h.
in erster Näherung
vernachlässigbar, in einem zweiten Schritt behandelt mit Störungsrechnung)
wenn die
2
1/3
) viel kleiner als die
typische potentielle Energie hEpot i . e /(4⇡✏0 ne
kinetische Energie hEkin i ist.
☛ schwach (≠ stark) wechselwirkendes Plasma
2 1/3
e ne
In einem klassischen Plasma hEkin i∼ kBT soll ≫
sein: ne soll klein
4⇡✏0
sein... offensichtlich?
1/3 2
~ne
In einem entarteten QM-Plasma hEkin i ∼
: ne soll groß sein!
2me
In einem (ultra)relativistischen Plasma hEkin i ⇠ kB T ⇠ ~n1/3
e c :
☛ das Kriterium für ein schwach wechselwirkendes Plasma lautet
e2
⌧ ~c , ↵e.m. ⌧ 1
4⇡✏0
unabhängig von ne.
Klassifikation von Plasmen
Wechselwirkungen in einem Plasma sind ,,klein’’ (d.h.
in erster Näherung
vernachlässigbar, in einem zweiten Schritt behandelt mit Störungsrechnung)
wenn die
2
1/3
) viel kleiner als die
typische potentielle Energie hEpot i . e /(4⇡✏0 ne
kinetische Energie hEkin i ist.
☛ schwach (≠ stark) wechselwirkendes Plasma
2 1/3
e ne
In einem klassischen Plasma hEkin i∼ kBT soll ≫
sein: ne soll klein
4⇡✏0
sein... offensichtlich?
1/3 2
~ne
In einem entarteten QM-Plasma hEkin i ∼
: ne soll groß sein!
2me
In einem (ultra)relativistischen Plasma hEkin i ⇠ kB T ⇠ ~n1/3
e c :
☛ das Kriterium für ein schwach wechselwirkendes Plasma lautet
e2
⌧ ~c , ↵e.m. ⌧ 1
4⇡✏0
unabhängig von ne.
Elektrodynamik eines Plasmas
Klassifikation von Plasmen
Klassisches Plasma / Quantenplasma
nicht-relativistisches / relativistisches Plasma
Schwach / stark wechselwirkendes Plasma
Elektrostatik eines Plasmas
Debye-Abschirmung
Plasmaschwingungen
Plasmafrequenz
Longitudinale und transversale Wellen
Elektrostatik eines Plasmas
Die Ladungsdichte %e (~r) der Elektronen in einem Plasma im thermischen
Gleichgewicht ist gleich (2x)* dem Integral der Fermi—Dirac-Verteilung
f0 (Ep~ ) =
exp
✓
1
Ep~ µe
kB T
◆
+1
über den Phasenraum.
Diese Ladungsdichte %e (~r) führt zu einem konstanten elektrostatischen
Potential.
*
2 ist der Entartungsgrad der Elektronen (Spin 1/2).
Elektrostatik eines Plasmas
Führt man eine punktförmige Testladung q ein, so verschieben sich die
Ladungsträger, was zu einer induzierten Polarisation bzw. Ladungsdichte führt, sowie zur Entstehung eines nicht-konstanten Potentials.
Die neue Ladungsdichte lässt sich mit
f (Ep~ ) =
exp
✓
Ep~
1
e (~r)
kB T
µe
◆
+1
berechnen, so dass die Differenz zwischen der induzierten und der
ursprünglichen Ladungsdichte durch
gegeben ist.
Elektrostatik eines Plasmas
Führt man eine punktförmige Testladung q ein, so verschieben sich die
Ladungsträger, was zu einer induzierten Polarisation bzw. Ladungsdichte führt, sowie zur Entstehung eines nicht-konstanten Potentials.
Die neue Ladungsdichte lässt sich mit
f (Ep~ ) =
exp
✓
Ep~
1
e (~r)
kB T
µe
◆
+1
berechnen, so dass die Differenz zwischen der induzierten und der
ursprünglichen Ladungsdichte durch
gegeben ist.
Elektrostatik eines Plasmas
Mit
komt
kommt
wobei die Debye-Länge rD, Funktion von T, µe, me und ne, gegeben ist
durch
Elektrostatik eines Plasmas
Mit
komt
kommt
wobei die Debye-Länge rD, Funktion von T, µe, me und ne, gegeben ist
durch
Für ein klassisches Plasma, f0 ist die Boltzmann-Verteilung, und man
findet einfach
Elektrostatik eines Plasmas
Die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential lautet
d.h., unter Verwendung von %ind. (~r) =
✏0
2
rD
(~r)
Elektrostatik eines Plasmas
Die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential lautet
d.h., unter Verwendung von %ind. (~r) =
✏0
2
rD
(~r)
Die physikalisch sinvolle Lösung dieser Gleichung (Übung 39!) ist
entsprechend einem abgeschirmten Potential (auch Yukawa-Potential)
Debye-Abschirmung
Für |~r|
~ = ~0
rD ist das Potential exponentiell klein ☛ E
Für kleine Abstände zur Testladung
: keine Abschirmung
Dagegen ist das magnetische Feld in einem Plasma nicht abgeschirmt!
Debye-Abschirmung
Die Herleitung beruht implizit (Nutzung der statistischen Physik) auf der
1/3
r
n
Annahme D
(= viele Teilchen in einem Debye-Volumen).
e
Da
gilt
d.h. die Herleitung gilt, wenn das Plasma schwach wechselwirkend ist.
Elektrodynamik eines Plasmas
Klassifikation von Plasmen
Klassisches Plasma / Quantenplasma
nicht-relativistisches / relativistisches Plasma
Schwach / stark wechselwirkendes Plasma
Elektrostatik eines Plasmas
Debye-Abschirmung
Plasmaschwingungen
Plasmafrequenz
Longitudinale und transversale Wellen
Plasmaschwingungen
Plasma im Gleichgewichtszustand mit %0 (~r) = ene,0 (~r) + ZenZ (~r) = 0 ,
~ 0 = ~0 ).
keiner Stromdichte ( J~0 = ~0 ) und keinem elektrischen Feld ( E
~ 0 = ~0 angenommen.
Dazu wird B
Externe Störung ☛ die Elektronen werden verschoben gegenüber die
Ionen: %(t, ~r) = e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) = ene,1 (t, ~r)
~ 1 (t, ~r) , das dazu
Dies führt zur Entstehung eines elektrischen Feldes E
neigt, die Elektronen zurück zu deren Gleichgewichtsstelle zu bringen:
Plasmaschwingungen
(Langmuir-Schwingungen)
Es entsteht eine Stromdichte J~1 (t, ~r) ' ene,0 ~v1 (t, ~r) mit ~v1 (t, ~r) der
mittleren Geschwindigkeit der Elektronen.
Annahme: |ne,1 (t, ~r)| ⌧ ne,0
(man wird die Gleichungen linearisieren)
Plasmaschwingungen
Plasma im Gleichgewichtszustand mit %0 (~r) = ene,0 (~r) + ZenZ (~r) = 0 ,
~ 0 = ~0 ).
keiner Stromdichte ( J~0 = ~0 ) und keinem elektrischen Feld ( E
~ 0 = ~0 angenommen.
Dazu wird B
Externe Störung ☛ die Elektronen werden verschoben gegenüber die
Ionen: %(t, ~r) = e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) = ene,1 (t, ~r)
~ 1 (t, ~r) , das dazu
Dies führt zur Entstehung eines elektrischen Feldes E
neigt, die Elektronen zurück zu deren Gleichgewichtsstelle zu bringen:
Plasmaschwingungen
(Langmuir-Schwingungen)
Es entsteht eine Stromdichte J~1 (t, ~r) ' ene,0 ~v1 (t, ~r) mit ~v1 (t, ~r) der
mittleren Geschwindigkeit der Elektronen.
Annahme: |ne,1 (t, ~r)| ⌧ ne,0
(man wird die Gleichungen linearisieren)
Plasmaschwingungen
Plasma im Gleichgewichtszustand mit %0 (~r) = ene,0 (~r) + ZenZ (~r) = 0 ,
~ 0 = ~0 ).
keiner Stromdichte ( J~0 = ~0 ) und keinem elektrischen Feld ( E
~ 0 = ~0 angenommen.
Dazu wird B
Externe Störung ☛ die Elektronen werden verschoben gegenüber die
Ionen: %(t, ~r) = e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) = ene,1 (t, ~r)
~ 1 (t, ~r) , das dazu
Dies führt zur Entstehung eines elektrischen Feldes E
neigt, die Elektronen zurück zu deren Gleichgewichtsstelle zu bringen:
Plasmaschwingungen
(Langmuir-Schwingungen)
Es entsteht eine Stromdichte J~1 (t, ~r) ' ene,0 ~v1 (t, ~r) mit ~v1 (t, ~r) der
mittleren Geschwindigkeit der Elektronen.
Annahme: |ne,1 (t, ~r)| ⌧ ne,0
(man wird die Gleichungen linearisieren)
Plasmaschwingungen
Plasma im Gleichgewichtszustand mit %0 (~r) = ene,0 (~r) + ZenZ (~r) = 0 ,
~ 0 = ~0 ).
keiner Stromdichte ( J~0 = ~0 ) und keinem elektrischen Feld ( E
~ 0 = ~0 angenommen.
Dazu wird B
Externe Störung ☛ die Elektronen werden verschoben gegenüber die
Ionen: %(t, ~r) = e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) = ene,1 (t, ~r)
~ 1 (t, ~r) , das dazu
Dies führt zur Entstehung eines elektrischen Feldes E
neigt, die Elektronen zurück zu deren Gleichgewichtsstelle zu bringen:
Plasmaschwingungen
(Langmuir-Schwingungen)
Es entsteht eine Stromdichte J~1 (t, ~r) ' ene,0 ~v1 (t, ~r) mit ~v1 (t, ~r) der
mittleren Geschwindigkeit der Elektronen.
Annahme: |ne,1 (t, ~r)| ⌧ ne,0
(man wird die Gleichungen linearisieren)
Plasmafrequenz
Mit
und
%(t, ~r) =
e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) =
J~1 (t, ~r) '
lautet die Kontinuitätsgleichung
@ne,1 (t, ~r)
e
@t
ene,0 ~v1 (t, ~r)
~ · ~v1 (t, ~r) = 0.
ene,0 r
ene,1 (t, ~r)
Plasmafrequenz
Mit
und
%(t, ~r) =
e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) =
J~1 (t, ~r) '
lautet die Kontinuitätsgleichung
@ne,1 (t, ~r)
e
@t
ene,1 (t, ~r)
ene,0 ~v1 (t, ~r)
~ · ~v1 (t, ~r) = 0.
ene,0 r
Ableitung nach der Zeit, unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes
(der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft wird vernachlässigt):
@ 2 ne,1 (t, ~r)
@t2
ene,0 ~ ~
r · E1 (t, ~r) = 0
me
Plasmafrequenz
Mit
und
%(t, ~r) =
e[ne,0 (~r) + ne,1 (t, ~r)] + ZenZ (~r) =
J~1 (t, ~r) '
lautet die Kontinuitätsgleichung
@ne,1 (t, ~r)
e
@t
ene,1 (t, ~r)
ene,0 ~v1 (t, ~r)
~ · ~v1 (t, ~r) = 0.
ene,0 r
Ableitung nach der Zeit, unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes
(der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft wird vernachlässigt):
@ 2 ne,1 (t, ~r)
@t2
ene,0 ~ ~
r · E1 (t, ~r) = 0
me
@ 2 ne,1 (t, ~r)
2
Maxwell-Gauß ☛
+
!
r) = 0
P ne,1 (t, ~
2
@t
s
e2 ne,0
mit der Plasmafrequenz !P ⌘
me ✏0
Plasmafrequenz
@ 2 ne,1 (t, ~r)
2
+
!
r) = 0
P ne,1 (t, ~
2
@t
mit
!P ⌘
s
e2 ne,0
me ✏0
p
2 und der mittleren
r
=
✏
k
T
/n
e
Mit der klassischen Debye-Länge
D
0
B
e
p
Geschwindigkeit |~v1 | ⇠ kB T /me von Elektronen bei der Temperatur T
gilt
!P 1 ⇠ |~v1 |/rD
entsprechend der Zeitdauer der Durchquerung der Länge rD.
Plasmafrequenz
@ 2 ne,1 (t, ~r)
2
+
!
r) = 0
P ne,1 (t, ~
2
@t
mit
!P ⌘
s
e2 ne,0
me ✏0
Fourier-Transformation nach der Zeit gibt ( ! 2 + !P2 ) ñe,1 (!, ~r) = 0
Vergleicht man mit der Bewegungsgleichung für Wellen in Materie
2
!
✏r (!)µr (!) ~˜
˜
~
~0
4E(!, ~r) +
E(!,
~
r
)
=
c2
so hat man keine Propagation ( ~k(!) = ~0 ) und ✏r (!) µr (!) = 1
Dies entspricht* einem Leiter mit µr(ω) = 1, Γ1 = 0 und Ω1 = ωP.
*vgl.
✏r (!) ⇠ 1 +
!!0
X ⌦2
a
2
!
a>1 a
⌦21
!(! + i
1)
⌘ ✏r,0 +
i⌦21
!(
1
i!)
2
!P
!2
Plasmafrequenz
@ 2 ne,1 (t, ~r)
2
+
!
r) = 0
P ne,1 (t, ~
2
@t
mit
!P ⌘
s
e2 ne,0
me ✏0
Fourier-Transformation nach der Zeit gibt ( ! 2 + !P2 ) ñe,1 (!, ~r) = 0
Vergleicht man mit der Bewegungsgleichung für Wellen in Materie
2
!
✏r (!)µr (!) ~˜
˜
~
~0
4E(!, ~r) +
E(!,
~
r
)
=
c2
so hat man keine Propagation ( ~k(!) = ~0 ) und ✏r (!) µr (!) = 1
Dies entspricht* einem Leiter mit µr(ω) = 1, Γ1 = 0 und Ω1 = ωP.
*vgl.
✏r (!) ⇠ 1 +
!!0
X ⌦2
a
2
!
a>1 a
⌦21
!(! + i
1)
⌘ ✏r,0 +
i⌦21
!(
1
i!)
2
!P
!2
Plasmafrequenz
@ 2 ne,1 (t, ~r)
2
+
!
r) = 0
P ne,1 (t, ~
2
@t
mit
!P ⌘
s
e2 ne,0
me ✏0
Fourier-Transformation nach der Zeit gibt ( ! 2 + !P2 ) ñe,1 (!, ~r) = 0
Vergleicht man mit der Bewegungsgleichung für Wellen in Materie
2
!
✏r (!)µr (!) ~˜
˜
~
~0
4E(!, ~r) +
E(!,
~
r
)
=
c2
so hat man keine Propagation ( ~k(!) = ~0 ) und ✏r (!) µr (!) = 1
2
!P
!2
Für ω < ωP ist der Brechungsindex rein imaginär:
☛ elektromagnetische Wellen solcher Frequenzen werden reflektiert
... wie Radiowellen an der unteren Ionosphäre
Longitudinale & transversale Wellen
In der Tat gibt es (mindestens*) zwei Arten von Plasmaschwingungen,
mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen
*In
~ -Feldes gibt es noch mehr!
Anwesenheit eines äußeren B
Longitudinale & transversale Wellen
In der Tat gibt es (mindestens*) zwei Arten von Plasmaschwingungen,
mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen
Zwei-Fluid-Modell:
Das Zweikomponenten-Plasma wird beschrieben als Mischung von
• einem ruhenden Ionenfluid
• einem bewegten Elektronenfluid, mit Geschwindigkeit ~v1 (t, ~r)
*In
~ -Feldes gibt es noch mehr!
Anwesenheit eines äußeren B
Longitudinale & transversale Wellen
In der Tat gibt es (mindestens*) zwei Arten von Plasmaschwingungen,
mit unterschiedlichen Dispersionsrelationen
Zwei-Fluid-Modell:
Das Zweikomponenten-Plasma wird beschrieben als Mischung von
• einem ruhenden Ionenfluid
• einem bewegten Elektronenfluid, mit Geschwindigkeit ~v1 (t, ~r)
Bewegungsgleichungen:
• Maxwell-Gleichungen
• Euler- (bzw. Navier–Stokes-)Gleichung für die Strömung des Fluids
Hydrodynamik schlägt zurück!
*In
~ -Feldes gibt es noch mehr!
Anwesenheit eines äußeren B
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Euler-Gleichung: me ne

@~v1
~ ~v1 =
+ ~v1 · r
@t
~
rP
~ + ~v1 ⇥ B
~
ene E
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Euler-Gleichung: me ne

@~v1
~ ~v1 =
+ ~v1 · r
@t
~
rP
~ + ~v1 ⇥ B
~
ene E
Linearisierung: • ne ersetzt durch ne,0;
• konvektiver Term weggelassen;
• magnetischer Anteil vernachlässigt.
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
@~v1 (t, ~r)
=
Linearisierte Euler-Gleichung: me ne,0
@t
~ (t, ~r)
rP
~ ~r)
ene,0 E(t,
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
@~v1 (t, ~r)
=
Linearisierte Euler-Gleichung: me ne,0
@t
@P
2
Schallgeschwindigkeit cs =
:
@⇢
~ (t, ~r)
rP
2~
2~
~
rP (t, ~r) = cs r[me ne (t, ~r)] ' me cs rne,1 (t, ~r)
~ ~r)
ene,0 E(t,
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Linearisierte Euler-Gleichung:
@~v1 (t, ~r)
~ e,1 (t, ~r)
me ne,0
= me c2s rn
@t
~ ~r)
ene,0 E(t,
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Linearisierte Euler-Gleichung:
@~v1 (t, ~r)
~ e,1 (t, ~r)
me ne,0
= me c2s rn
@t
@
~ ! i~k
Fourier-Transformation:
! i!, r
@t
~ ~r)
ene,0 E(t,
Bewegungsgleichungen
Fourier-transformierte (nach Zeit und Ort) Maxwell-Gleichungen:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Fourier-transformierte linearisierte Euler-Gleichung:
(v)
Jetzt geht’s los!
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
1~
~
~
(iii) ist äquivalent zu B(!, k) = k ⇥ E~ (!, ~k)
!
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
1~
~
~
(iii) ist äquivalent zu B(!, k) = k ⇥ E~ (!, ~k)
!
Die Multiplikation (Kreuzprodukt) links mit i~k gibt
h
i
i
~ = ~k ⇥ ~k ⇥ E~ =
~k · E~ ~k
i~k ⇥ B
!
!
☛ gut für die linke Seite von (iv)
~k 2 E~
i
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii’)
(iv)
h
i
i
~ = ~k ⇥ ~k ⇥ E~ =
~k · E~ ~k
i~k ⇥ B
!
!
~k 2 E~
i
(v)
Die rechte Seite von (iv) lässt sich mithilfe von (v) ausdrücken.
Unter Berücksichtigung von (iii’) kommt
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii’)
(iv)
h
i
i
~ = ~k ⇥ ~k ⇥ E~ =
~k · E~ ~k
i~k ⇥ B
!
!
~k 2 E~
i
(v)
Die rechte Seite von (iv) lässt sich mithilfe von (v) ausdrücken.
Unter Berücksichtigung von (iii’) kommt
2
!P
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii’)
(iv)
h
i
i
~ = ~k ⇥ ~k ⇥ E~ =
~k · E~ ~k
i~k ⇥ B
!
!
~k 2 E~
i
(v)
Die rechte Seite von (iv) lässt sich mithilfe von (v) ausdrücken.
Unter Berücksichtigung von (iii’) kommt
2
!P
Wellengleichung
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
führen zur Wellengleichung (im Fourier-Raum)
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des
Feldes wird definiert durch
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des
Feldes wird definiert durch
Diese Komponenten sind natürlich orthogonal zueinander:
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des
Feldes wird definiert durch
Diese Komponenten sind natürlich orthogonal zueinander:
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
Die longitudinale (parallel zu k ) bzw. transversale Komponente des
Feldes wird definiert durch
Diese Komponenten sind natürlich orthogonal zueinander:
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
lässt sich noch schreiben als
E~?
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
lässt sich noch schreiben als
d.h.
für die transversale Komponente E~? (!, ~k) (2 Polarisationszustände),
Gleichung mit der Dispersionsrelation
!(~k)2 = ! 2 + c2~k 2
P
nur möglich für ω > ωP. Dies gibt
Dazu ist das magnetische Feld auch transversal und senkrecht zu E~?.
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
lässt sich noch schreiben als
d.h.
für die transversale Komponente E~? (!, ~k) (2 Polarisationszustände),
Gleichung mit der Dispersionsrelation
!(~k)2 = ! 2 + c2~k 2
P
nur möglich für ω > ωP. Dies gibt
Dazu ist das magnetische Feld auch transversal und senkrecht zu E~?.
Longitudinale und transversale
Schwingungsmoden
lässt sich noch schreiben als
d.h.
für die longitudinale Komponente E~k (!, ~k) (ein Polarisationszustand),
Gleichung mit der Dispersionsrelation
!(~k)2 = ! 2 + c2~k 2
P
s
nur möglich für ω > ωP.
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind vergleichbar mit cs.