2 Gravitation

2 Gravitation
Himmelsmechanik
Eine Präsentation von Tobias Denkinger
LK Physik 11 2006/2007
Gliederung
2.1 Das Gravitationsgesetz
2.2 Das Gravitationsfeld
2.3 Bewegung im Gravitationsfeld
Ende
Quellen
Zitate
2.1 Das Gravitationsgesetz
A Das Sonnesystem
B Die Erforschung von Gestalt und Größe der Erde und der Planetenbewegung
Die Ägypter und Babylonier
Die Griechen
Die Ägypter
Galileo und Newton
C Newtons Gravitationsgesetz
Mondrechnung
Bestimmung der Gravitationskonstanten
D Anwendung der Gravitationsgesetzes
A Das Sonnensystem
Die Sonne steht in einem der Brennpunkte der elliptischen Erdbahn. Neben den 8 Planeten, die ihre Bahnen um die Sonne ziehen, gibt es noch Planetoiden, Kometen und Meteore. Die einzelnen Planeten werden von Monden umkreist
B Die Erforschung von Gestalt und Größe der Erde und der Planetenbewegung
Die Ägypter und Babylonier:
Himmels­
gewölbe
Erde
Erde als Scheibe
Darum: Okeanos
Um alles: Himmelsgewölbe
Okeanos
B Die Erforschung von Gestalt und Größe der Erde und der Planetenbewegung
Die Griechen:
Mond
Erde
Erde als Kugel
Sonne als Mittelpunkt
Sterne sehr weit entfernt
Sonne
Heliozentrische Theorie
B Die Erforschung von Gestalt und Größe der Erde und der Planetenbewegung
Die Ägypter:
Erde als Kugel
Erde im Mittelpunkt
Sterne sehr weit entfernt
Geozentrische Theorie
B Die Erforschung von Gestalt und Größe der Erde und der Planetenbewegung
Galileo und Newton:
Erde als Kugel
Sonne als Mittelpunkt
Heliozentrische Theorie
C Newtons Gravitationsgesetz
Mondrechnung:
Isaac Newton bemerkte, dass das Verhältnis der Fallbeschleunigung des Mondes auf die Erde und der Fallbeschleunigung eines Apfels auf die Erde etwa 1:3600 beträgt, also 1:60². Das Verhältnis der Entfernung des Mondes vom Erdmittelpunkt und dem Erdradius beträgt 1:60. Daraus schlussfolgerte Newton, dass die Fallbeschleunigung zweier Körper mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt. Daraus leitete er ab, dass für die Anziehungskraft gilt: F ~ 1/r2. Aus dieser Erkenntnis und dem Wissen, dass F ~ m1; F ~ m2 gilt entstand die Gleichung
m1 m2
F = γ •
r2
γ wird als Gravitationskonstante bezeichnet.
C Newtons Gravitationsgesetz
Bestimmung der Gravitationskonstanten:
Mit einer solchen Gravitationsdrehwaage gelang es Henry Cavendish 1798, die extrem geringe Anziehungskraft G zwischen zwei Körpern (mit bekannter Masse) zu ermitteln. Durch Newtons Gravitationsgesetz errechnete er γ durch
γ = F • r²
m1m2
Er erhielt für γ einen Wert von:
γ = 6,67259 • 10­11
m³
kg • s²
D Anwendungen des Gravitationsgesetzes
Anhand der Gravitationsgesetze ist es möglich, die Masse eines Körpers im Raum bestimmen, wenn Bahnradius r und Umlaufdauer T bekannt sind anhand folgender Gleichung:
4π²r³
M= mit γ als Gravitationskonstante.
γT²
2.2 Das Gravitationsfeld
A Feldbegriff und Feldstärke
Gravitations­ und Schwerefeld
Gravitationsfeldstärke
B Potentielle Energie im Gravitationsfeld
Im homogenen Schwerefeld
Im inhomogenen Schwerefeld
C Schwere und träge Masse
A Feldbegriff und Feldstärke
Gravitations­ und Schwerefeld:
Jeder Körper erzeugt in seiner Umgebung allein aufgrund seiner Masse ein Schwerefeld.1)
Die Masse M erzeugt durch den von ihrer Masse gekrümmten Raum ein Gravitationsfeld, welches auf einen Körper der Masse m die Kraft G=G*.m ausübt.
A Feldbegriff und Feldstärke
Gravitationsfeldstärke:
Für ein Gravitationsfeld existiert eine charakteristische Konstante G* die sich aus der Entfernung r zwischen den beiden Körpern und der Masse M des schwereren Körpers ermitteln lässt:
.M
γ
G*= r² mit γ als Gravitationskonstante.
B Potentielle Energie im Gravitationsfeld
Berechnung im homogenen Schwerefeld:
auf der Erde:
ΔE=m∙g∙Δh
ΔE=m∙g∙(h2­h1)
Allgemein:
ΔE=γ∙m∙M(r1­1­r2­1) dies entspricht der potentiellen Energie
Epot=γ∙m∙M(r1­1­r2­1) B Potentielle Energie im Gravitationsfeld
Berechnung im inhomogenen Schwerefeld:
Die potentielle Energie ermittelt man, indem man das skalare Produkt F∙Δs im Bereich von r1 bis r2 integriert:
r2
Epot= F∙Δs r1
C Schwere und träge Masse
Die Träge Masse
F=m∙a m=F/a
und die schwere Masse
m=F∙r²/(M∙γ)
sind laut allgemeiner Relativitätstheorie gleich.
2.3 Bewegung im Gravitationsfeld
A Zentralkraft; Kepplersche Gesetze
Zentralkraft
Kepplersche Gesetze
B Bahnform und Energie der Satelliten
Energie
Bahnform
C Rakete und Raketengleichung
A Zentralkraft; Kepplersche Gesetze
Def: Eine Zentralkraft ist eine Kraft, die auf den Zentralkörper gerichtet ist: also hier die Gravitationskraft.2)
G=γ∙m∙M/r²
Newton gelang es, mithilfe seiner Axiome und des Gravitationsgesetzes, die Kepplerschen Gesetze herzuleiten.
A Zentralkraft; Kepplersche Gesetze
Herleitung der Kepplerschen Gesetze:
Flächensatz: Dieses Gesetz wurde von Newton aus der Existenz einer Zentralkraft hergeleitet.
„Die von einem Körper auf einer Bahn um einen anderen Körper umstrichene Fläche ist in gleicher Zeit gleich groß.“
3. Kepplersches Gesetz: Leitet sich aus der Annahme ab, die Bahn hätte Kreisform.
B Bahnform und Energie der Satelliten
Die Energie eines Satelliten ist:
E=Epot+Ekin
Epot= ­γ∙m∙M/r
Ekin=0,5m∙v²
E= 0,5m∙v² ­ γ∙m∙M/r
B Bahnform und Energie der Satelliten
Die Bahnform des Satelliten:
je nach Verhältnis von potentieller und kinetischer Energie ergeben sich verschiedene Bahnformen:
Hyperbel: v0² > 2γM/r0
Parabel: v0² = 2γM/r0
Ellipse: v0² < 2γM/r0
Kreis:
v0² = γM/r0
C Rakete und Raketengleichung
Eine Rakete funktioniert nach Rückstoßprinzip: Sie bewegt sich vorwärts und das abgesonderte Gas in die Gegenrichtung. Dabei nimmt ihre Geschwindigkeit zu und ihre Masse ab. Ihre Endgeschwindigkeit ist:
ve=v0+vr ∙ ln (m0/me)
mit m0 als Anfangsmasse, me als Endmasse und v0 als Anfangsgeschwindigkeit und vr als als Ausströmgeschwindigkeit.
Zitate
• 1) Metzler Physik S.89
• 2) Metzler Physik S.94
Quellen
• J. Grehn et al: Metzler Physik(3. Auflage)
• WISSENdigital: Enzyklopädie 2004