¨Ubungsaufgaben Finanz- und Versicherungsma

Übungsaufgaben Finanz- und Versicherungsmathematik
Optionspreistheorie
1. Aus welchen Unternehmen bildet sich der Dow Jones Industrial Average?
Wie setzt sich der aktuelle DAX zusammen? Nach welcher Formel wird
der ATX berechnet?
2.
• Was ist der Unterschied zwischen dem Einnehmen einer long position
in einem Forward-Vertrag mit Forward-Preis 50 EUR und dem Einnehmen einer long position in einer Call-Option mit Ausübungspreis
50 EUR?
• Ein Spekulant würde gerne vom (subjektiv erwarteten) Anstieg einer bestimmten Aktie profitieren. Der derzeitige Aktienkurs beträgt
29 EUR and eine europäische Call-Option (T = 3 Monate, K = 30
EUR) kostet 2.90 EUR. Dem Spekulanten stehen 5800 EUR zum Investieren zur Verfügung. Man identifiziere zewi alternative Strategien
- eine mit Investition in die Aktie, die andere mit Investition in die
Option. Was sind die potentiellen Gewinne bzw. Verluste?
3. Der Wechselkurs zwischen GBP und EUR sei heute 1 GBP = 1.4 EUR,
der 5-jährige Zinssatz (mit kontinuierlicher Verzinsung) für das GBP sei
r5;GBP = 0.056, für den EUR r5;EU R = 0.052. Leite mit Hilfe von NoArbitrage-Argumenten eine Formel für den fairen Preis eines FremdwährungsForwards her. Was ist der faire fünfjährige GBP-EUR-Forward-Preis in
diesem Beispiel? Welche Finanzinstrumente werden für die Konstruktion
des No-Arbitrage-Portfolios benötigt?
4.
• Eine Firma weiß, dass sie in 4 Monaten eine gewisse Geldmenge in einer ausländischen Währung erhalten wird. Mit welchem (i) ForwardVertrag bzw. (ii) Optionsvertrag kann man diese Transaktion hedgen? Was ist der Unterschied zwischen (i) und (ii)?
• Der Goldpreis sei derzeit 500 EUR pro Unze und der Forward-Preis
für Goldkauf in einem Jahr sei 700 EUR pro Unze. Wie kann man
damit risikolosen Profit (Arbitrage) machen, wenn man Geld mit
einer fixen Verzinsung von 10%p.a. borgen kann? (Man nehme an
die Lagerung des gekaufen Goldes kostet nichts.)
5. Seien C1 , C2 und C3 die Preise von europäischen Call-Optionen mit Ausübungspreisen
K1 , K2 bzw. K3 , wobei K3 > K2 > K1 und K3 − K2 = K2 − K1 . Man
zeige
C2 ≤ 0.5(C1 + C3 ),
falls alle Optionen den gleichen Ausübungszeitpunkt T haben.
6. Sei Dt der Barwert der Dividenden während der Rest-Laufzeit T − t der
Option zum Zeitpunkt t. Zeige, dass dann in einem idealisierten Markt
C(St , t; K, T ) − P (St , t; K, T ) = nSt − Dt − Ke−r(T −t)
1
∀t ∈ [0, T ]
gilt und leite die resultierenden Schranken her:
C(St , t; K, T ) ≤ St − Dt − Ke−r(T −t)
∀t ∈ [0, T ]
und
P (St , t; K, T ) ≥ −St + Dt + Ke−r(T −t)
∀t ∈ [0, T ].
7. Zeige folgende Ungleichungen für einen Amerikanischen Call bzw. Put:
S0 − K < C A (S0 , 0; K, T ) − P A (S0 , 0; K, T ) < S0 − Ke−rT
8. Der derzeitige Preis einer Aktie sei 100 EUR. Die risikolose Zinsrate sei
r = 0.05 und der Aktienpreis sei modelliert durch ein CRR-Modell mit
a = 0.1, b = −0.1 mit vierteljährigen Preissprüngen.
• Was ist der (heutige) faire Preis einer europäischen Call-Option mit
T = 1 Jahr und K = 100?
• Was ist der (heutige) faire Preis einer europäischen Put-Option mit
T = 1 Jahr und K = 100?
• Überprüfe die Gültigkeit de5r Call-Put-Parität.
9. Berechne den Preis V0 einer europäischen Call-Option mit Strike K = 90
im CRR-Modell mit T = 3, a = 0.2 und b = −0.2, r = 0 und S0 = 100
EUR. Man berechne weiters die Hedging-Strategie. Wie kann man einen
risikolosen Profit von 1.000.000 EUR erzielen, wenn die Option zu einem
Preis von V0 + 5 EUR gehandelt wird?
10. Der derzeitige Preis S0 einer Aktie sei 25 EURund eis ei bekannt, dass er
in T = 2 Monaten entweder ST = 23 EUR oder ST = 27 EUR sein wird.
Die risikolose Zinsrate sei 10% p.a. (stetige Verzinsung). Was ist der faire
Preis eines Derivats, das zum Zeitpunkt T einen Payoff von log ST liefert?
11. Der derzeitige Preis einer Aktie sei 40 EUR. Für jeden der beiden folgenden
3-Monats-Perioden sei angenommen, dass der Aktienpreis um 10% steigt
oder um 10% fällt. Die risikolose Zinsrate sei 5% p.a. (stetige Verzinsung).
a) Was ist der Preis einer europäischen Call-Option mit T = 6 Monaten
und K = 42?
b) Was ist der Preis einer amerikanischen Put-Option mit T = 6 Monaten
und K = 42?
12. Der derzeitige Preis einer Aktie sei 100 Eur und sein zukünfitiger Verlauf folge einem CRR-Modell mit a = 0.1, b = −0.05 und monatlichen
Preissprüngen. Desweiteren sei die risikolose Zinsrate r = 0.05. Berechne
durch Rückwärtsrekursion (wie für einen europäischen Call) den fairen
Preis für eine Option, die denselben Payoff wie ein europäischer Call mit
Ausübungspreis K = 105 und Laufzeit T = 3 Monate hat, allerdings nur
eine Auszahlung bringt, wenn der Aktienpreis nie B = 115 übersteigt (es
muss also gelten Sti ≤ 115 für i = 1, 2, 3). Eine derartige Option nennt
man (diskrete) Barrier-Option und ist eine der liquidesten Optionen am
Aktienmarkt, sowie Grundbaustein für viele strukturierte Produkte.
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13. Man bestimme im Modell von Beispiel 12 den Preis P
einer Option mit
5
Laufzeit T = 5 Monate und folgendem Payoff P : P = i=1 (Sti /Sti−1 −
0.05)+ , wobei ti = i Monate sind. Diese Option ist ein sehr einfaches
Beispiel eines Clquets, welche ebenfalls sehr liquide
Pn Instrumente darstellen.
+
Leite eine allgemeine Formel für den Payoff
im
i=1 (Sti /Sti−1 − K)
CRR-Modell her und argumentiere, warum sich dieses Modell eher nicht
eignet um derartige Produkte zu bepreisen.
14. Man bestimme im Modell von Beispiel 12 den Preis einer Option mit Laufzeit T = 3 Monate und folgendem Payoff P : P = (maxi∈{1,2,3} Sti − K)+ ,
wobei ti = i Monate sind. Diese Option ist ein Beispiel einer (diskreten) Lookback-Option. Gib den Preis dieser Option an und argumentiere warum eine Rückwärtsrekursion, wie bei Europäischen Optionen, hier
nicht angewendet werden kann.
15. Der Aktienpreis sei durch eine geometrische Brown’sche Bewegung mit
einer Volatilität von 30% pro Jahr modelliert und der derzeitige Preis sei
S0 = 69 EUR. Man berechne den Preis einer europäischen Put-Option
(T = 3 Monate, K = 70 EUR), wenn die risikolose Zinsrate 5% p.a. ist
(stetige Verzinsung)!
16. Der Aktienpreis sei durch eine geometrische Brown’sche Bewegung mit
Volatilität σ = 0.35 und einem erwartetem Return von 16% modelliert
und der derzeitige Preis sei S0 = 69 EUR.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
(a) europäische Call-Option
(b) europäische Put-Option
auf die Aktie mit K = 40 EUR und T = 6 Monaten ausgeübt werden
wird? Man berechne weiters die Preise der beiden Optionen, wenn der
risikolose Zinssatz 5% p.a. beträgt!
17. Der Aktienpreis sei durch eine geometrische Brown’sche Bewegung mit
Volatilität σ = 0.30 modelliert und der derzeitige Preis sei S0 = 50 Euro.
Man berechne den Preis einer europäischen Put-Option (T = 3 Monate,
K = 50 Euro), wenn die risikolose Zinsrate 10% p.a. gegeben ist (stetige
Verzinsung)! Wie kann man daraus den Preis einer europäischen CallOption berechnen?
18. Der Aktienpreis sei durch eine geometrische Brown’sche Bewegung mit
Volatilität σ = 0.20 modelliert, die risikolose Zinsrate sei 16% p.a. und der
derzeitige Preis sei S0 = 40 Euro. Berechne ein 95 % Konfidenzintervall
für den Aktienpreis in einem halben Jahr.
19. Der Aktienpreis St sei durch eine geometrische Brown’sche Bewegung mit
Volatilität σ = 0.40 modelliert, die risikolose Zinsrate sei 20% p.a. und
der derzeitige Preis sei S0 = 20 Euro. Berechne E[ST ] und V ar[ST ], wobei
T = 2 Jahre.
20. Betrachten Sie eine europäische Put-Option (T = 3 Monate, K = 70 EUR)
auf eine Aktie deren Preisprozess als geometrische Brown’sche Bewegung
mit einer Volatilität von 30% pro Jahr und einem derzeitigen Preis von
3
S0 = 69 EUR gegeben ist. Die risikolose Zinsrate sei 16% p.a. . Erzeugen
Sie (in Mathematica oder Maple) 1000 normalverteilte Zufallsvariablen
mit passenden Parametern µ, σ und berechnen Sie damit den approximativen Preis der Option.
21. Berechnen Sie im Modell von Beispiel 20 den Preis einer europäischen CallOption (T = 12 Monate, K = 65 EUR) ebenfalls unter Verwendung von
1000 normalverteilten Zufallsvariablen mit passenden Parametern µ, σ.
22. Berechnen Sie im Modell von Beispiel 20 den Preis einer europäischen
Option mit Payoff-Funktion (ST − K)2 1{|ST −K|≤10} mit K = 75 Euro
und T = 1 Jahr, ebenfalls unter Verwendung von 1000 normalverteilten
Zufallsvariablen mit passenden Parametern µ, σ.
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