praesentation

Mathematik der
Börsenspekulation
Optionshandel an der Börse
Was sind Optionen?
Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht,
• ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie)
• zu einem festgelegten Preis
(dem Ausübungspreis)
• in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische
Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt
(europäische Option)
zu kaufen.
Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts
Option
Verkäufer
Käufer
Optionspreis
Kursentwicklung
Ausübung: Käufer kauft das
Gut zum Ausübungspreis der
Option
Keine Ausübung
Gewinne/Verluste (€)
Pay-off-Diagramm
beim Kauf einer Call-Option
25
15
5
-5 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Aktienkurs (€)
Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit
Ausübungspreis 63 €.
Die Siemens Aktie
Histogramm der Monatsrenditen
15
10
und
größer
30,96%
24,26%
m+s
17,56%
10,87%
m
4,17%
m-s
-9,22%
-15,92%
0
-2,53%
5
-22,61%
Häufigkeit
20
Rendite
Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m
und die typische Abweichung die Standardabweichung s.
Entwicklungsrahmen
des zukünftigen Aktienkurs
90,63 €
78,95 €
·1,15
68,77 €
68,80 €
(m+s)
59,90 €
·0,87
59,93 €
52,20 €
52,23 €
(m-s)
45,50 €
39,65 €
Rekursionsschritt
Ausübungspreis der Call-Option 60,00 €
Ausübungszeitpunkt der Option
Eine Periode vorher
Aktienkurs
Optionspreis
68,80 €
8,80 €
Ausübung
59,93 €
4,13 €
52,23 €
0€
Keine Ausübung
Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 €
und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann
(Arbitrage).
Vom Binomial-Modell
zur Black-Scholes-Formel
• Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-ScholesFormel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden
gegen Unendlich laufen lässt.
• Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in
Abhängigkeit von:
– dem aktuellen Kurswert
– der Ausübungsfrist
– dem Ausübungspreis
– der Volatilität und
– dem Zinsfaktor
Preise verschiedener Siemens
Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel
Optionspreise (€)
15,00
1
2
3
6
10,00
Monat
Monate
Monate
Monate
5,00
0,00
48
53
58
63
68
73
78
Ausübungspreis (€)
48
53
58
63
68
73
78
1 Monat
12,14
7,52
3,99
1,72
0,60
0,18
0,04
2 Monate
12,51
8,40
5,16
2,90
1,50
0,72
0,32
3 Monate
12,96
9,13
6,08
3,83
2,30
1,32
6,73
6 Monate
14,30
10,34
8,18
5,99
4,31
3,06
2,14