Derivate und Bewertung Wintersemester 2006/07

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Dr. Daniel Sommer
Marie-Curie-Str. 30
60439 Frankfurt am Main
Klausur
Derivate und Bewertung
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Wintersemester 2006/07
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Klausur Derivate und
Bewertung
Wintersemester 2006/07
Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien
Betrachten Sie eine Aktie S. Diese Aktie zahle während der Laufzeit der in dieser Aufgabe
betrachteten Optionen keine Dividende.
a)
Gegeben seien drei Europäische Call-Optionen auf S mit Ausübungspreisen K1 < K2 < K3 .
Außerdem sei K2 = 0,5*( K1 + K3 ). Konstruieren Sie aus diesen drei Optionen einen
Butterflyspread. Nehmen Sie dabei an, dass Sie eine Option mit Ausübungspreis K1 kaufen.
Geben Sie an, welche Positionen Sie dementsprechend in den anderen Optionen halten
müssen, damit das Zahlungsprofil eines Butterflyspreads resultiert. Zeichnen Sie dieses
Zahlungsprofil der Einzelkomponenten und des kompletten Butterflyspreads. Beschriften Sie
die Graphen eindeutig.
b) Nehmen Sie nun allgemeiner an, dass K2 = λ * K1 + (1-λ) * K3 mit 0 < λ < 1 ist. Zeigen Sie
durch ein No-Arbitrage-Argument, dass gilt
λ ∈ ( 0,1 ); K 2 = ( λK1 + ( 1 − λ )K 3 )
λPVC( t ; K1 ,T , E ) + ( 1 − λ )PVC( t ; K 3 ,T , E ) − PVC( t ; K 2 ,T , E ) > 0
Betrachten Sie folgendes Koordinatensystem, in dem die Preise der Optionen mit den
Ausübungspreisen K1 und K3 eingetragen sind. Kennzeichnen Sie den Bereich, in dem der
Preis für die Option mit Ausübungspreis K2 liegen muss, damit keine Arbitragemöglichkeiten
entstehen. (Hinweis: Berücksichtigen Sie dabei auch das in Teilaufgabe b) gezeigte Resultat.)
Optionspreis
c)
K1
d)
K2
K3
Ausübungspreis
Ein Derivat zahle 1 EUR, falls zum Fälligkeitszeitpunkt des Derivats der Kurs der obigen
Aktie S zwischen 99 und 101 liegt. Sonst betrage die Auszahlung des Derivats Null. Zeichnen
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Sie das Auszahlungsprofil dieses Derivates. Wie groß ist die Fläche, die dieses
Auszahlungsprofil mit der x-Achse einschließt. Geben Sie diesen Wert an.
e)
Gegeben seien die folgenden Optionspreise für Call-Optionen auf S mit der gleichen Laufzeit
wie das Derivat
Ausübungspreis =
99 EUR
Ausübungspreis =
100 EUR
Ausübungspreis =
101 EUR
6,89139 EUR
6,37103 EUR
5,8784 EUR
Call Preis
Konstruieren Sie einen Butterflyspread, der die Auszahlung des Derivates aproximiert.
Wählen Sie den Butterflyspread so, dass die Fläche, die das Auszahlungsprofil des Butterflyspreads mit der x-Achse einschließt gleich der unter d) ermittelten Fläche ist, die das
Auszahlungsprofil des Derivates mit der x-Achse einschließt. Geben Sie an, wie viele
Optionen mit den unterschiedlichen Ausübungspreisen Sie jeweils kaufen oder verkaufen
müssen, um dieses Portfolio zu erzeugen. Berechnen Sie den Preis des Portfolios.
f)
Alternativ zu den obigen Optionspreisen sind folgende Preise von Cash-or-Nothing Optionen
gegeben:
Auszahlung 1
EUR, falls
Aktienkurs > 99
EUR
Cash-or-Nothing-Preis
0,534301 EUR
Auszahlung 1
EUR, falls
Aktienkurs > 101
EUR
0,478802 EUR
Berechnen Sie mit Hilfe dieser Optionen den exakten Preis für das in Teilaufgabe d)
beschriebene Derivat. Vergleichen Sie diesen mit dem in Teilaufgabe e) ermittelten
approximativen Preis. Inwiefern rechtfertigt dieses Ergebnis die Aussage, dass die Preise von
Butterflyspreads Approximationen von Zustandspreisen, d.h. Preisen von Arrow-DebreuSecurities darstellen?
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Aufgabe 2: Exotische Optionen, statische Portfoliostrategien, Sensitivitäten
Betrachten Sie den dividendengeschützten Aktienindex I. Eine Bank emittiert eine Anleihe, deren
Verzinsung von der Performance dieses Index abhängt. Die Ausstattungsmerkmale der Anleihe
sind wie folgt:
Nominal: 100 EUR
Laufzeit: 2 Jahre
Rückzahlung: 100 EUR pro 100 EUR Nominal
Coupon: Jahr 1: 0% vom Nominal; der Gläubiger muss festlegen, ob er am Ende des Jahres 2
einen Coupon von C1 oder C2 erhalten möchte.
Jahr 2: Je nach Entscheidung des Gläubigers in Jahr 1 wird entweder der Coupon C1 oder
der Coupon C2 bezogen auf das Nominal gezahlt:
C1 = max[I2 / I0 – 1; 0] ; C2 = max[1 – I2 / I0; 0]. Dabei ist I0 der Indexstand zum
Zeitpunkt der Emission der Anleihe und I2 der Indexstand nach Ablauf von
2 Jahren
a)
Zeichnen Sie den Graphen der Höhe der Couponzahlung C1 und C2 in EUR je 100 EUR
Nominal nach Ablauf von 2 Jahren in Abhängigkeit vom Indexstand.
b) Beschreiben Sie KURZ verbal die Entscheidungssituation des Gläubigers am Ende von Jahr 1.
Wie wird sich der Gläubiger entscheiden, wenn der Index am Ende des Jahres 1 deutlich über
I0 steht? Wie wird er sich entscheiden, wenn der Index im Laufe des ersten Jahres stark
gefallen ist? Gehen Sie bei Ihrer Antwort davon aus, dass der Gläubiger den Wert des Coupons
maximieren möchte.
c)
Durch welche exotische Option lässt sich die Couponzahlung dieser strukturierten Anleihe
darstellen? Geben Sie den Namen dieser Option an.
d) Wie lässt sich der Preis einer Calloption auf einen dividendengeschützten Index mit Hilfe der
Put-Call-Parität durch den Preis einer Putoption auf den selben Index, mit dem selben
Ausübungspreis und der selben Laufzeit ausdrücken? Geben Sie die entsprechende Formel an
und begründen Sie diese durch ein No-Arbitrage-Argument.
e)
Erläutern Sie, dass sich die exotische Option aus Teilaufgabe c) als ein Portfolio aus einer
Calloption auf I2/I0 mit Laufzeit 2 Jahren und Ausübungspreis 1 sowie eine Putoption auf I2/I0
mit Laufzeit 1 Jahr und Ausübungspreis 1*B(1;2) darstellen lässt. Dabei ist B(1;2) der Preis
am Ende des Jahres 1 der Nullcouponanleihe mit Fälligkeit am Ende des Jahres 2. (Hinweis:
Schreiben Sie die Entscheidungsregel des Emittenten aus Teilaufgabe b) mit Hilfe der „maxFunktion“ und benutzen Sie die Put-Call-Parität aus Aufgabe d))
f)
Wie hängt der Preis der in Teilaufgabe c) gesuchten exotischen Option von der Volatilität des
Index I ab? Wie reagiert der Preis auf steigende, wie auf fallende Volatilitäten? Ist dieser
Effekt stärker oder weniger stark als bei Standardoptionen?
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Aufgabe 3: Zinsen
Gegeben seien die folgenden Preise von Nullkuponanleihen
B(t 0 , t1 ) = 0,97044553; B (t 0 , t 2 ) = 0,94176453; B(t 0 , t 3 ) = ?????; B(t 0 , t 4 ) = 0,88692044
für die Laufzeiten von einem, zwei und vier Jahren.
Außerdem sei gegeben der Swapsatz für einen Zinsswap mit einer Laufzeit von 4 Jahren
sw(t 0 , t 4 ) = 0,03045453.
a)
Erläutern Sie, was ein Zinsswap ist. Gehen Sie dabei besonders auf die wesentlichen Parameter
ein, die bei Abschluß eines Swaps vereinbart werden müssen, um die Höhe der Zahlungen aus
dem Swap eindeutig zu bestimmen (Angaben zum Settlement der Zahlungen wie z.B.
Kontoangaben brauchen nicht erwähnt zu werden). Was versteht man unter den Begriffen
Payer- und Receiver-Swap?
b) Welche Beziehung besteht zwischen dem Swapsatz und den Preisen von Nullkuponanleihen?
Drücken Sie in einer allgemeinen Formel unter Benutzung der obigen Notation den Swapsatz
mit einer Laufzeit von N Jahren durch die Preise von Nullkuponanleihen aus.
c)
Erläutern Sie, dass die Zahlungsströme eines Receiver-Swaps am Abschlussstichtag durch eine
Longposition in einem Fixed-Couponbond mit einem Coupon in Höhe des Swapsatzes und
durch eine Shortposition in einer variabel verzinslichen Anleihe mit gleicher Laufzeit
dargestellt werden können.
d) Erläutern Sie durch ein No-Arbitrage-Argument basierend auf dem Ergebnis aus Teilaufgabe
c), dass ausschließlich die in Teilaufgabe b) angegebene Formel für den Swapsatz mit einem
Preis von Null für den Swap am Abschlusstag vereinbar ist. (Abweichungen zwischen
Abschlusstag und Effective Day können unberücksichtigt bleiben.)
e)
Bestimmen Sie unter Benutzung der Formel aus Teilaufgabe b) auf Basis der oben
angegebenen Daten zunächst den Wert der Nullcouponanleihe B(t0,t3) und sodann des
Swapsatz sw(t0,t3) für einen Swap mit einer Laufzeit von 3 Jahren.
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