Weitere Klausur relevanten Aufgaben

Aufgabe 1
Die Aktie der XY AG notiert derzeit bei 40 EUR und hat eine Jahres-Volatilität von 40 %. An
der Börse werden europäische Call-Optionen auf die Aktie mit einer Laufzeit von 30 Tagen
und einem Strike-Preis von 35 EUR verkauft. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld angelegt
oder aufgenommen werden kann betrage derzeit 3,95 % p.a.
a) Berechnen Sie unter diesen Rahmenbedingungen den Preis für die Call-Option in
einem 2 Perioden-Binomialmodell, wenn die Drift μ = 0 ist und die Aktie keine
Dividende zahlt. Sie können dabei davon ausgehen, dass ein Jahr aus 252 Handelstagen besteht.
b) Berechnen Sie unter denselben Rahmenbedingungen wie in a) den Preis der CallOption mit dem Binomialmodell, wenn die Aktie eine kontinuierliche Dividende von
2 % p.a. zahlt.
c) Wie viel ist die Call-Option in a) wert, wenn Sie mit der Formel von Black und
Scholes bewertet wird.
Aufgabe 2
Ein Investor kauft 30 Put-Optionen auf eine Aktie der Deutschen Bank mit einer Laufzeit von
3 Wochen und einem Strike-Preis von 28 EUR, zusätzlich hält er noch 10 Aktien der
Deutschen Bank, die derzeit bei 30 EUR notieren und eine Jahresvolatilität von 38 %
besitzen. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann,
betrage 4%.
a) Wie viele Aktien muss er verkaufen oder kaufen, um ein Delta-neutrales Portfolio zu
erhalten (d.h. damit der Wert seines gesamt Portfolios invariant gegenüber kleinen
Änderungen des Aktienkurses bleibt).
b) Angenommen der risikofreie Zinssatz erhöht sich auf 4,5 %. Fällt oder steigt dann der
Wert seines gesamten Portfolios? (Eine genaue Zahlenangabe ist nicht erforderlich).
Aufgabe 3
Ein Händler kauft eine europäische Call-Option mit einem Strike-Preis von 45 USD und eine
europäische Put-Option mit einem Strike-Preis von 40 USD. Beide Optionen haben die
gleiche Laufzeit. Die Call-Option kostet 3 USD, während die Put-Option 4 USD kostet.
Zeichen Sie ein Diagramm, das den Payoff des Händlers in Abhängigkeit vom Aktienkurs
zum Auszahlungszeitpunkt widergibt.
Kennzeichnen Sie im Diagramm die beiden Strike-Preise und die jeweiligen
Prämienzahlungen.
Aufgabe 4
Angenommen Sie schließen einen 6-Monats Forward Kontrakt, auf eine Aktie, die keine
Dividenden zahlt ab. Der Aktienkurs betrage derzeit 30 EUR. Der risikolose Zinssatz zu dem
Geld aufgenommen oder angelegt werden kann betrage 12 % p.a.
a) Wie hoch sollten Sie den Forward-Preis festlegen, damit keine Arbitrage Möglichkeit
besteht?
b) Welche Prämienzahlung wird zu Beginn des Kontraktes ausgetauscht?
Aufgabe 5
Eine europäische Put-Option auf die Aktie der BMW AG kostet 2,7 EUR und eine
europäische Call-Option auf die Aktie der BMW AG kostet 4 EUR. Beide Optionen haben
eine Laufzeit von 5 Monaten und einen Strike-Preis von 18 EUR. Die Aktie der BMW AG
notiert derzeit ebenfalls bei 18 EUR (die beiden Optionen sind also „at-the-money“). Der
aktuelle Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, beträgt 2 %.
Können Sie eine Arbitrage Möglichkeit finden?
Wenn ja, dann zeigen Sie die Arbitrage-Möglichkeit auf.
Wenn nein, dann erläutern Sie welcher fundamentale Satz unter den oben genannten
Bedingen erfüllt ist.
Lösung zu Aufgabe 1
a)
40
5,71
44,1004268
9,18
36,280828
2,43
48,6211912
13,62
40
5,00
32,907462
0,00
b)
40
5,78
44,1524399
9,29
36,3236184
2,48
48,7359487
13,74
40,0944095
5,09
32,9851314
0,00
c) 5,59 EUR
Lösung zu Aufgabe 2
a) Der Investor sollte 3,901 (also ca. 4) Aktien verkaufen, damit er ein Delta neutrales
Portfolio hat.
b) Wenn sich der risikofreie Zinssatz erhöht, so fällt der Wert der Put-Optionen. Der
Wert der Aktien bleibt gleich. Insgesamt fällt also der Wert des gesamten Portfolios.
Lösung zu Aufgabe 3
56
49
42
35
28
21
14
7
0
-7 1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
-14
Lösung zu Aufgabe 4
a) 31,7490 EUR
b) Zu Beginn eines Forward Kontraktes wird keine Prämienzahlung ausgetauscht.
Lösung zu Aufgabe 5
Arbitrage-Möglichkeit durch:
Zum Zeitpunkt t = 0:
1. Verkauf einer Call Option
2. Kauf einer Put-Option
3. Kauf der zugrunde liegenden Aktie
4. Kreditaufnahme von 16,7 EUR zum Kauf der Aktie.
Zum Zeitpunkt t = 5 Monate gilt dann:
Wenn S>K:
Die Call-Option wird ausgeübt, die Put-Option wird nicht ausgeübt. Man erhält
also 18 EUR und verkauft dafür die Aktie. Mit diesem Betrag wird der Kredit
in Höhe von 16,83836 EUR zurückgezahlt. Es bleibt also ein Gewinn von
1,16163 EUR.
Wenn K>S:
Die Call-Option wird nicht ausgeübt, die Put-Option wird aber ausgeübt. Mann
kann also die Aktie zum Preis von 18 EUR verkaufen. Mit diesem Betrag wird
der Kredit in Höhe von 16,83836 EUR zurückgezahlt. Es bleibt also ein
Gewinn von 1,16163 EUR.