Lösung zu Aufgabe 19: Die Aktion verläuft so: Ein Kunde erwirbt bei

Lösung zu Aufgabe 19:
Die Aktion verläuft so:
Ein Kunde erwirbt bei einem Investor eine Call-Option mit dem gesuchten Preis P . Mit
einem Teil des Geldes kauft er sich Aktien mit einem Startwert von a Euro und legt das
restliche Geld (=b Euro bzw. P − a Euro) in der Bank an. Hierbei kann er auch Geld
leihen, um dann damit mehr Anteile zu kaufen. Es gilt also:
P = a + b; D = {a, b | a ∈ Q+ ; b ∈ Q}
Nach 1 Jahr können dann 2 mögliche Fälle eintreten:
1. Der Wert der Aktie steigt:
Der Kunde wird wiederkommen und die Aktie für 105Euro kaufen, und weil der Wert der
Aktie von 100Euro auf 205Euro gestiegen ist, macht der Investor einen Verlust in Höhe
von 100Euro, den er irgendwie ausgleichen muss.
2. Der Wert der Aktie sinkt:
Der Kunde wird nicht wiederkommen, also muss der Investor den erhaltenen Optionspreis
annullieren.
205
·a =
Der Wert der vom Investor gekauften Aktienanteile nach 1 Jahr beträgt im 1. Fall 100
55
2, 05a und im 2. Fall 100 · a = 0, 55a. Das in der Bank angelegte Kapital ist dann um
10% · b = 0, 1bEuro gewachsen. Im 1. Fall muss der Investor nach 1 Jahr 100Euro Kapital
besitzen, um diese dem Kunden zu zahlen:
2, 05a + 1, 1b = 100
(1)
Tritt Fall 2 auf, verliert er kein Geld an den Kunden und darf aber auch keinen Gewinn
machen (arbitragefreier Preis):
0, 55a + 1, 1b = 0
(2)
Durch Lösen dieses linearen Gleichungssystems erhält man die Werte für a und b:
a=
200
100
,b = −
3
3
Der Preis für die Option beträgt dann a+b = 200
− 100
= 33 13 Euro. Der Investor leiht sich
3
3
33 13 Euro von der Bank und kauft sich anschließend Aktien im Wert von 66 23 Euro. Egal,
welche der beiden Situationen auftritt, er wird letztendlich keinen Gewinn oder Verlust
machen.