167 Lösung zu Aufgabe 3.2.1: Anwendung der Formel (3.7) Ct = StN

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Lösung zu Aufgabe 3.2.1: Anwendung der Formel (3.7)
Ct = St N (d1 ) − Ke−r(T −t) N (d2 )
mit N als kumulativer Verteilungsfunktion der N (0, 1)-Verteilung und
ln(S/K) + (r + σ 2 /2)(T − t)
√
σ T −t
√
ln(S/K) + (r − σ 2 /2)(T − t)
√
= d1 − σ T − t
d2 =
σ T −t
d1 =
ergibt
d1 =
ln(122/150) + (0, 05 + 0, 08) ∗ 1, 5
√
= −0, 0237
0, 4 1, 5
p
d2 = d1 − 5 1, 5 = −0, 5136
Ct = 17, 574
¤
/****************************************************/
/* Bewertung einer europaeischen Kaufoption
*/
/****************************************************/
proc iml;
start price(shareprice,volatility,strike,interest,timelag,optionvalue);
d_1=(log(shareprice/strike) + (interest +
volatility##2/2)#timelag)/
(volatility#sqrt(1.5));
d_2=d_1 - volatility*sqrt(1.5);
N_d_1=probnorm(d_1); N_d_2=probnorm(d_2);
optionvalue=shareprice#N_d_1 -
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KAPITEL 8. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
strike#exp(-interest#timelag)#N_d_2; finish;
S_t=122; Sigma=0.4; K=150; r=0.05; t_0=0; T=1.5; diff=T-t_0;
run price(S_t,Sigma,K,r,diff,C_t); print C_t; quit;
-----C_T 17.57399
-----Lösung zu Aufgabe 3.2.2: elementarer Beweis:
Fall 1: ft > St − Ke−r(T −t)
Strategie:
• in t:
– Kontrakt verkaufen
– in St von Bank leihen
– Aktie zu St kaufen
– St −Ke−r(T −t) auf die Bank legen. (Ich habe noch einen Rest zu ft übrig!)
• in T :
– St er(T −t) − K von Bank bekommen
– Aktie zu K an Kontraktkäufer verkaufen
– St er(T −t) an Bank zurückzahlen
Es bleibt ein risikoloser Gewinn, der im Widerspruch zur Annahme der Arbitragefreiheit steht.
Fall 2: Sei ft < St − Ke−r(T −t)
• in t:
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– eine Aktie verkaufen
– Termingeschäft als Käufer eingehen und ft zahlen
– St − ft anlegen
• in T :
– Aktie für K kaufen
– Aktie an Leerverkaufsverteiler zurückgeben
– (St − ft )er(T −t) aus Anlage erhalten
Gewinn der Strategie: (St − ft )er(T −t) − K > (St − St + Ke−r(T −t) )er(T −t) − K = 0,
was einen Widerspruch zur Arbitragefreiheit darstellt.
¤
Alternative kann man auch die Formel (3.1) umstellen zu
Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) .
Nun ist der Wert einer Kaufoption im Zeitpunkt T (ST − K)+ . Der Wert einer
Verkaufoption ist in T (K − ST )+ , also der einer verkauften Verkaufoption −(K −
ST )+ . Der Wert aus einer (gehaltenen) Kaufoption und einer verkauften Kaufoption
ist:
• Fall 1(ST > K): ST − K − 0 und
• Fall 2(ST ≤ K): 0 − (K − ST ) = ST − K.
Der Wert ST − K entspricht also in T dem Wert eines Aktientermingeschäftes mit
Terminpreis K. Dann ist aber der Wert in t der Wert eines Aktientermingeschäftes,
also ft = Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) .
Ist der ermittelte Preis konsistent mit der Black-Scholes Formel?
∂f
= −rKe−r(T −t)
∂t
∂f
= 1
∂S
∂ 2f
= 0
∂S 2
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KAPITEL 8. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Also lautet die Black-Scholes DGL (3.6):
−rKe−r(T −t) + rS − r(S − Ke−r(T −t) ) = rf.
¤