Aufgabe 2 WS 11/12

Aufgabe 1: Bewertung von Derivaten
Teil I: Bewertung von Optionen mit dem Black/Scholes Modell
Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische nicht dividendengeschützte Kauf- und Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit einer Restlaufzeit von jeweils genau
9 Monaten gehandelt. Der Basiswert der Kaufoptionen ist eine Aktie, deren logarithmierter
Kurs normalverteilt ist und die im Zeitpunkt t = 0 zum Preis S0 = 50 GE gekauft werden
kann. Der Basispreis K der Optionen wurde auf K= 40 GE festgelegt. Aus historischen Quartalsrenditen wurde für die Vierteljahres-Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von
σ = 0,1 ermittelt. Der sichere Kapitalmarktzins liegt bei 10% per annum.
Beachten Sie im Bedarfsfall die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden Formeln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt:
bei Aufwärtsbewegungen: u  e  T/ n
1
bei Abwärtsbewegungen: d 
u
Dabei ist e die Euler'sche Zahl und n gibt die Anzahl der Binomialschritte an. Für den Aufzinsungsfaktor der sicheren Kapitalmarktanlage pro Binomialschritt gilt dann: r  (1  i) T/ n
Die für die folgenden Berechnungen erforderlichen Werte der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung können Sie der am Ende dieser Aufgabe abgedruckten Tabelle
entnehmen.
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Black/Scholes-Formel den theoretischen Wert einer amerikanischen Kaufoption in t = 0, wenn während der Optionslaufzeit aus der zugrunde liegenden Aktie keine Dividende abfließt.
(6 Punkte)
b) Es ist am Markt bekannt, dass in genau 6 Monaten eine Dividende in Höhe von genau
2 GE aus der Aktie abfließt. Die Optionen sind nicht dividendengeschützt. Berechnen Sie
einen möglichst genauen Wert der amerikanischen Kaufoption! Mit welcher Volatilität
muss jetzt gerechnet werden, wenn sich die oben angegebene historische Volatilität auf
den cum-Kurs bezieht? Runden Sie den Wert für die jetzt anzusetzende Volatilität auf 4
Stellen nach dem Komma. Handelt es sich bei Ihrem Wert um den exakten Wert oder lediglich eine Ober- oder Untergrenze?
(9 Punkte)
c) Wie hoch ist der Wert des Rechts auf Sofortausübung in t=0 im Fall der amerikanischen
Option aus Teilaufgabe b)? Ist dieser Wert exakt? Ist das Sofortausübungsrecht auch werthaltig, wenn keine Dividende aus dem Basistitel abfließt?
(3 Punkte)
Hinweis: Es genügt, wenn Sie die Aktienkurs- und Optionswerte jeweils mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen angeben.
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Teil II: Bewertung indexierter Optionen
Um dem Aktienkurs der Apfel AG, der in t = 0 bei S0 = 400 $ liegt, auf die Sprünge zu helfen,
soll ein leistungsabhängiges Vergütungssystem für das Management eingeführt werden, das
zusätzlich kostengünstig ist. Der Logarithmus des Aktienkurses der Apfel AG ist normalverteilt und weist eine jährliche Volatilität von Apfel = 50% auf. Die Apfel AG hat angekündigt,
in den nächsten 5 Jahren keine Dividenden auszuschütten.
Es ist beabsichtigt, ein indexiertes Aktienoptionsprogramm aufzulegen, das folgende Ausstattungsmerkmale aufweist: Der Bezugspreis einer Aktie im Ausübungszeitpunkt T der Optionsrechte ist an die Entwicklung eines um Bezugsrechte und Dividenden bereinigten Marktindex
gekoppelt. Der Bezugspreis KT im Zeitpunkt T ergibt sich demzufolge durch Multiplikation
des im Zeitpunkt der Ausgabe der indexierten Optionsrechte auf K0 = 500 $ festgelegten Basispreises mit dem Steigerungsfaktor des Referenzindex im Zeitraum zwischen Ausgabe und
I
Ausübung der Optionsrechte. Es gilt also: KT = K0  T ,
I0
wobei IT bzw. I0 den Stand des Referenzindex I in den Zeitpunkten T bzw. 0 angibt.
Der Aufsichtsrat muss sich zwischen zwei möglichen Indizes entscheiden, deren logarithmischen Endstände normalverteilt sind.
1. Allax: Zum einen existiert der marktbreite Allax, mit einer geschätzten jährlichen
Volatilität von Allax = 20% und einem Korrelationskoeffizienten zum Aktienkurs von
 = 0,65.
2. Fruchtax: Zum anderen existiert der Fruchtax, in dem neben der Apfel AG noch alle
europäischen börsennotierten Konkurrenten wie die BirnAG, KirschAG und BananAg
enthalten sind. Die jährliche Volatilität des Fruchtax wird auf Fruchtax = 40% geschätzt
und der Korrelationskoeffizient zum Aktienkurs der Apfel AG beträgt  = 0,8.
Gehen Sie davon aus, dass sich am Kapitalmarkt mit sicheren Anlagen eine Verzinsung in
Höhe von 10% p.a. verdienen lässt.
d) Für welche Art der Entlohnung, indexierte oder nicht indexierte Optionen, soll sich der
Aufsichtsrat entscheiden? Welcher Index ist für die oben genannten Ziele am besten geeignet? Begründen Sie Ihre Antwort unter Zuhilfenahme der für die Option relevanten
Volatilität.
(6 Punkte)
e) Der Aufsichtsrat entscheidet sich schließlich für eine Indexierung mit dem Fruchtax. Berechnen Sie den Wert eines indexierten Bezugsrechts im Ausgabezeitpunkt t = 0 unter
Rückgriff auf das Black/Scholes-Modell, wenn die Bezugsrechte eine Laufzeit von 3 Jahren aufweisen!
Geben Sie außerdem an, wie sich eine Verdopplung des sicheren Zinssatzes auf den Wert
der indexierten Kaufoption auswirkt.
(10 Punkte)
f) Nach Protesten des Vorstands, der auch Ehrenvorsitzender und Miteigentümer des größten
Golfclubs auf Mallorca ist, wird bei der Ausgestaltung des Optionsprogramms auf eine
Indexierung verzichtet. Zusätzlich besteht der Vorstand auf der gleichen Anzahl an Bezugsrechten. Deshalb soll die Laufzeit nun so verändert werden, dass das Optionsprogramm keine höheren Kosten verursacht.
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Berechnen Sie zunächst den Wert eines nicht indexierten Bezugsrechts in t = 0 für eine
Aktie der Apfel AG mit einer Laufzeit von 2 Jahren und anschließend mit einer Laufzeit
von einem Jahr. Führen Sie im Anschluss einen Interpolationsschritt durch, um diejenige
Laufzeit des Optionsprogramms zu bestimmen, für die der Wert einer nicht indexierten
Option demjenigen einer Option aus Teilaufgabe e) entspricht.
(14 Punkte)
Wertetabelle:
x
-1,7876
-1,6144
-0,6892
-0,5056
-0,3995
-0,1696
-0,0056
0
0,3076
1,3301
1,5101
1,7687
1,8525
1,8855
1,9156
1,96
1,9855
1,9995
N(x)
0,0369
0,0532
0,2453
0,3066
0,3448
0,4327
0,4978
0,5000
0,6208
0,9083
0,9345
0,9615
0,9680
0,9703
0,9722
0,9750
0,9765
0,9772
N(x) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und
Varianz 1 einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Zudem gilt: N(-x) = 1- N(x)
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Aufgabe 2: Bewertung von Optionen
Teil I: Bewertung im Binomialmodell
Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden amerikanische Verkaufsoptionen auf eine Aktie gehandelt. Der Kurs dieser Aktie folge einem multiplikativen binomialen diskreten Prozess.
Während eines Prozessschrittes steige der Kurs der Aktie im günstigen Fall auf das u-fache
bzw. sinke im ungünstigen Fall auf das d-fache, wobei u=1,25 und d=0,8 gelte. Aufeinander
folgende Kursbewegungen sind stochastisch unabhängig.
Die gehandelten Verkaufsoptionen haben noch eine Restlaufzeit von genau 36 Monaten. Der
sichere Kapitalmarktzins liegt bei 4,75% pro Dreivierteljahr. Der Basispreis dieser Verkaufsoptionen wurde auf 80 GE festgelegt. Im Zeitpunkt t=0 betrage der Aktienkurs 𝑆0 =
120 GE.
a)
Berechnen Sie unter Zugrundelegung eines 4-stufigen Binomialprozesses den Wert einer amerikanischen Verkaufsoption im Zeitpunkt 𝑡 = 0. Geben Sie dabei für jeden Knotenpunkt des Binomialbaumes die entsprechenden Aktienkurs- und Optionswerte mit
einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen an! Handelt es sich bei dem von Ihnen
errechneten Wert um eine exakte Lösung? Begründung! Geben Sie den Wert des Rechts
auf vorzeitige Ausübung an!
(16 Punkte)
Teil II: Bewertung im Black/Scholes-Modell
Der Inhaber einer nicht dividendengeschützten amerikanischen Kaufoption muss sich unmittelbar vor Abfluss einer sicheren Dividende in Höhe von 25 GE aus dem Basistitel entscheiden, ob er die Option vorzeitig ausübt. Der Basiskurs der Option betrage 𝐾 = 80 GE, die
jährliche Volatilität des ex-Dividende-Kurses beträgt 𝜎𝑒𝑥 = 0,6 und der Zinssatz 10 % p.a.
Die Restlaufzeit der Option beträgt nach Abfluss der Dividende exakt 18 Monate.
b)
Für welche cum-Dividende-Aktienkurse wird vorzeitig ausgeübt und für welche Aktienkurse nicht?
Bearbeitungshinweis: Berechnen Sie den Optionswert für einen cum-DividendeAktienkurs in Höhe von 𝑆𝑐𝑢𝑚 = 110 GE und 𝑆𝑐𝑢𝑚 = 115 GE, wobei jeweils alternativ
von Sofortausübung oder Durchhalten auszugehen ist. Skizzieren Sie den Verlauf der
Differenz der Optionswerte für die beiden alternativen Ausübungsstrategien in Abhängigkeit vom cum-Dividende-Aktienkurs und bestimmen Sie durch einen Iterationsschritt
den kritischen Aktienkurs, bei dem die Differenz der Optionswerte für die beiden alternativen Ausübungsstrategien gleich Null ist. Verwenden Sie die am Ende der Aufgabe
abgedruckte Tabelle mit den Werten einer standardisierten Normalverteilung um die
benötigten Optionswerte zu bestimmen.
(16 Punkte)
c)
In welche Richtung verändert sich der in Teilaufgabe c) ermittelte kritische cumDividende-Aktienkurs 𝑆𝑐𝑢𝑚 ceteris paribus, wenn der Optionsbewertung
- eine höhere Volatilität
- eine höhere Dividende
- eine geringere Restlaufzeit
zugrunde zu legen ist? Begründen Sie Ihre Antworten!
(6 Punkte)
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d)
Ein Investor hat eine Aktienposition in Höhe von 250 Stück Aktien und will sich gegen
eventuelle negative Kursschwankungen absichern. Nach Abfluss der Dividende aus dem
oben genannten Titel beträgt der Aktienkurs 𝑆𝑒𝑥 = 90 GE.
Beschreiben Sie kurz das sogenannte Delta-Hedging und bestimmen Sie den Umfang
der Short-Position in Call-Optionen, die für eine volle Absicherung gegen eine unerwünschte Kursbewegung gebildet werden muss! Ist es notwendig das Portfolio während
der Laufzeit des Delta-Hedges umzuschichten? Begründung!
(10 Punkte)
Wertetabelle der Standardnormalverteilung
x
-0,0904
-0,0126
0,1937
0,4559
0,6180
0,6445
0,7223
0,8802
0,9521
0,9753
1,1244
1,3056
1,4779
N(x)
0,4640
0,4950
0,5773
0,6754
0,7324
0,7404
0,7649
0,8106
0,8289
0,8353
0,8686
0,9049
0,9306
N(x) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und
Varianz 1 einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Zudem gilt: N(-x) = 1- N(x)
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Aufgabe 3: Verständnisfragen
a)
Kommt es im Binomialmodell der Optionsbewertung auf die tatsächliche Wahrscheinlichkeit an, mit der eine günstige Kursentwicklung eintritt? Wenn nein, was tritt an die
Stelle der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit? Wie ist die Ersatzgröße zu berechnen, und
welche Überlegungen liegen deren Berechnungen zu Grunde? Wie schlagen sich diese
Überlegungen im Black-Scholes-Modell nieder?
(6 Punkte)
b)
Gehen Sie von einem informationseffizienten Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten
aus, und unterstellen Sie log-normalverteilte Aktienkurse. Welche Bedingung müsste
erfüllt sein, damit eine vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Verkaufsoption im
Vergleich zum Durchhalten keinen Vorteil verspricht? Ist unter dieser Bedingung eine
amerikanische Kaufoption bei Verwendung geeigneter Bewertungsparameter mithilfe
der Black-Scholes-Formel bewertbar, wenn während der Optionslaufzeit eine Dividende
aus der zugrunde liegende Aktie abfließt? Begründung? Geben Sie an welche Bedingung statt dessen erfüllt sein muss, damit die Black-Scholes-Formel trotz abfließender
Dividende für die Bewertung amerikanischer Kaufoptionen herangezogen werden kann,
und welche Parameter in diesem Fall in die Black-Scholes-Formel einzusetzen sind.
(6 Punkte)
c)
Was versteht man unter der Stabilitätseigenschaft der Normalverteilung? Inwiefern ist
diese Stabilitätseigenschaft für die Betrachtung von Aktienportfolios von Bedeutung?
Inwiefern ergeben sich aus Ihrer Antwort Probleme für den Fall, dass aus Aktien mit
log-normalverteilten Kursen durch Portfoliobildung ein Index konstruiert wird? Halten
Sie es unter diesem Gesichtspunkt für vertretbar, indexierte Optionen bei Wahl geeigneter Bewertungsparameter mithilfe des Black-Scholes-Modells zu bewerten?
(6 Punkte)
d)
Erläutern Sie, was bei der Indexwahl zu berücksichtigen ist, wenn indexierte Optionen
als Entlohnungsinstrument für Manager eingesetzt werden.
(6 Punkte)
!!! VIEL ERFOLG !!!
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