Blatt12

Übung (12)
1. In einem Dreieck seien die Seitenlänge c = 10[cm] bekannt, ferner die Winkel α = π/5 und β = π/4.
(a) Konstruieren Sie das Dreieck mit Zirkel und Lineal, nachdem Sie eine Strecke von 10[cm] vorgegeben haben,
und beschreiben Sie die Konstruktion verbal.
(b) Berechnen Sie die Seitenlänge a.
(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(d) Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks auf der Seite a.
2. Im Folgenden sei die Längeneinheit stets [m], auch für die Koordinatenangaben, für die ein kartesisches System
vorausgesetzt wird. Es sei eine Raute gegeben mit der Kantenlänge a. Die kurze Diagonale der Raute habe die
Länge a/2.
(a) Welche Innenwinkel hat die Raute?
(b) Welchen Flächeninhalt hat die Raute?


1
(c) Die Rautenfläche liege in der xy− Ebene. Sie werde mit dem Vektor  2  (kartesisches System!) parallel
3
verschoben. K sei der Körper, der aus allen so entstehenden Verbindungsstrecken beider Rauten entsteht.
Berechnen Sie das Volumen von K.


−2
→
(d) Die Raute liege wiederum in der xy− Ebene. Es sei −
x P =  5  , wieder in einem kartesischen System.
3
Der Körper L sei die Vereinigung der Verbindungsstrecken aller Rautenpunkte mit dem Punkt P . Berechnen
Sie das Volumen von L.
1
3. Es sei a die y−Achse und b die Achse durch den Ursprung und den Punkt
. (Das System sei wiederum
2
kartesisch.)
1
0
→
→
(a) Berechnen Sie für −
x P1 =
und −
x P2 =
die Koordinatendarstellungen der Punkte Sa ◦ Sb (Pi ),
0
1
1
→
indem Sie zunächst die senkrechte Projektion von −
x Pi auf den Vektor
benutzen, um Sb (Pi ) auszu2
rechnen.
(b) Lesen Sie aus dem Resultat zu a die Matrix für Sa ◦ Sb ab.
(c) ∗)Rechnen
Sie nach, dass es sich um die Drehmatrix der Drehung um den doppelten Winkel zwischen
1
und der y− Achse handelt. Hinweis: Berechnen Sie zunächst cos (α) und dann sin (α) für den Winkel
2
1
zwischen dem Vektor
und der y−Achse, und benutzen Sie dann das Additionstheorem für cos, um
2
cos (2α) zu berechnen. Warum genügt das schon, um die Matrix als erwähnte Drehmatrix zu erkennen?
4. Sie drehen um den Ursprung
mit Winkel π/4 entgegen dem Uhrzeigersinn und dann mit Winkel −π/4 um den
0
−
→
Punkt P mit x P =
.
1
1
→
(a) Finden Sie heraus, was die Hintereinanderschaltung ergibt, indem Sie ihre Wirkung auf −
e1 =
und
0
0
→
auf −
e2 =
zeichnerisch ermitteln.
1
(b) Rechnen Sie die Hintereinanderschaltung aus, indem Sie geeignete Drehmatrizen und Verschiebungsvektoren
benutzen.
1
5. Kann der Nachtwächter bei folgendem Grundriss so laufen, dass er jede Tür genau einmal durchläuft? Kann
er es sogar so tun, dass er dabei wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt? (Beide Fragen sind mit Theorie zu
beantworten, und im positiven Fall sollte ein entsprechender Weg angegeben werden.)
(a) Stellen Sie die Situation mit einem Graphen dar. Führen Sie geeignete Bezeichnungen ein.
(b) Beantworten Sie beide Fragen mit Theorie und dem sichtbaren Befund.
(c) Im positiven Fall bezeichnen Sie noch einen entsprechenden Weg.
2