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Mögliche Fragen für mündliche Prüfung
aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
von Prof. Dutter
Was für Kenngrößen von Verteilungen kennst du?
Ortsparameter (Arithmetisches Mittel, Median, MedMed, Quantile, IQR)
Streumaße (Varianz, Standartabweichung, Schiefe, Kurtosis)
Faktor beider: Variationskoeffizient
Was ist eine Standartabweichung?
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Schwankungen oder die Streubreite
der Werte in einer Stichprobe. Grob gesagt ist sie die durchschnittliche
Entfernung vom arithmetischem Mittel.
Was ist der MedMed?
Es wird von den Daten der Median berechnet. Danach werden die Abstände zu
diesem Median sortiert, und von dieser Liste erneut der Median berechnet.
Was ist die Varianz?
Die Varianz ist das durchschnittliche Abstandquadrat zu einem Ortsparamter
(meist verwendet: Arithmetisches Mittel)
Warum teilt man bei der Varianz durch n-1?
Dadurch dass der Mittelwert schon etwas Informationsgehalt über die einzelnen
Werte enthält, wird bei der Berechnung ein Freiheitsgrad weggenommen.
Die Momente:
*m1(0) Erwartungswert
*m2(µ) Varianz
*m3(µ) Schiefe
*m4(µ) Wölbung
Was ist ein Ereignis?
Ein Ereignis ist die Beschreibung eines Resultats eines Experiments (zB
Würfeln). Es kann entweder eintreten oder nicht eintreten. Wenn Omega die
Menge aller möglichen Versuchsausgänge bezeichnet, so ist ein Ereignis die
Teilmenge von Omega.
Was ist ein Elementarereignis?
Ein Elementarereignis ist ein einzelner Versuchsausgang, also ein Element der
Menge Omega.
Was gibt es für Ereignisoperationen?
Durchschnitt, Vereinigung, Komplement
Was ist eine Ereignisalgebra?
Es ist eine Teilmenge von Omega, die alle Durchschnitte, Vereinigungen von
Ereignissen, sowie das unmögliche und sichere Ereignis beinhalten.
(=Ereignisraum Altdeutsch-A)
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Was ist eine Borel´sche Sigma-Algebra?
Sie ist die kleinste Ereignisalgebra die alle interessanten (für die Beobachtung
relevant) Ereignisse beinhaltet.
Was ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
= Anzahl der günstigen Elementarereignisse
Anzahl der möglichen Elementarereignisse
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Bedingt durch ein bekanntes Vorwissen, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für ein
Ereignis.
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit des Ausganges, dass von nunabhängigen Versuchen k gut und 1-k schlecht ausgehen.
Was ist eine Zufallsvariable?
Jedem Versuchsergebnis aus Omega wird eine reelle Zahl zugeordnet. X ist die
Abbildung von Omega in die reellen Zahlen. Für jede reelle Zahl muss die
Urbildmenge in Omega enthalten sein.
Was ist eine diskrete / kontinuierlich stetige Zufallsvariable?
Diskrete Zufallsvariablen haben höchstens abzählbar viele verschiedene Werte.
Kontinuierlich stetige Zufallsvariablen können jeden beliebigen Wert in ihrem
Definitionsbereich annehmen.
Was ist eine Dichtefunktion?
Die Ableitung der Verteilungsfunktion ist die Dichtefunktion.
Was ist eine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen?
Verteilungsfunktion an der Stelle x = Wahrscheinlichkeit dass Zufallsvariable X
kleiner gleich x.
Was ist eine Normalverteilung?
Eine Normalverteilung charakterisiert sich durch die Gaußsche Glockenkurve.
Man kann sie transformieren über Z = (X - µ)/sigma und erhält die N(0,1)
Standartnormalverteilung.
Was ist ein Wahrscheinlichkeitsnetz?
Es ist ein Wahrscheinlichkeitspapier bei dem die Ordinate zwischen 0 und 1 nicht
in gleich große Intervalle teilt, sondern proportional zur inversen
Verteilungsfunktion aufgetragen ist, zB Standardnormalverteilung.
Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung?
Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n-Freiheitsgraden ist die Summe aus n
unabhängigen quadrierten Standardnormalverteilungen.
Was ist die Poissonverteilung?
Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung herleiten, wenn N
gegen Unendlich und P gegen Null geht, wobei man das Produkt N mal P mit
Lamba = konstant annimmt.
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Was ist die f-Verteilung?
Die F-Verteilung wird verwendet um festzustellen, ob die Grundgesamtheiten
zweier Stichproben die gleiche Varianz haben.
F(m,n) = Chi-Quadrat(m)/m
Chi-Quadrat(n)/n
Was ist die t-Verteilung?
Standardisierte normalverteilte Daten sind nicht mehr normalverteilt, wenn die
Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt
werden muss. Daher nimmt man hier die t-Verteilung.
T(m) =
N(0,1)
SQRT (Chi-Quadrat (m) / m)
Was ist die Mathematische Erwartung?
Der Erwartungswert ist die Summe über aller Werte der Ereignisse multipliziert
mit ihrer Häufigkeit.
Wie lässt sich die Bioniomialverteilung durch die Normalverteilung annähern?
Indem man die Parameter µ durch n*p und Sigma² durch np(1-p) annähert.
Was ist eine mehrdimensionale Zufallsvariable (Multivariant)?
Ein p-dimensionale Zufallsvektor, dessen Elemente auch Zufallsvariable sind.
Was ist eine Randverteilung?
Die Randverteilung sind die einzelnen Elemente des Zufallsvektors, die durch
Summation über alle möglichen Zustände der anderen gefunden wird.
Wann sind zwei Zufallsvariablen voneinander unabhängig?
Wenn gilt: p(i,j) = p(i) * p(j)
Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
Bei genügend großem Stichprobenumfang und endlicher Varianz ist die
Verteilung arithmetischer Mittel von Zufallsstichproben approximativ normal.
Was ist eine Stichprobe?
Sie stellt eine Untermenge einer ganzen Population dar.
Die Stichprobe ist eine mit einer bestimmten Methode erzeugte Teilmenge einer
als Grundgesamtheit bezeichneten Menge.
Was ist ein Schätzer?
Ein Schätzer ist eine Schätzfunktion, die aus der Stichprobe eine gewisse
Kenngröße näherungsweise bestimmt.
Was bedeutet erwartungstreuer Schätzer?
Wenn der Erwartungswert vom Schätzer dem Parameter entspricht, so ist dies
ein erwartungstreuer oder unverzerrter Schätzer.
Was bedeutet konsistenter Schätzer?
Wenn eine Folge von Schätzfunktionen gegen den gesuchten Parameter geht so
heißt der Schätzer konsistent.
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Was ist die Likelihood-Funktion?
Dazu werden aller Dichten der Stichprobenwerte multipliziert.
Was ist die Maximum-Likelihood-Methode?
Es ist ein Verfahren, um brauchbare Schätzer für Parameter einer Verteilung zu
finden. Dazu wird die Likelihood-Funktion maximiert (Nach dem Parameter
abgeleitet und 0-gesetzt).
Was ist ein Konfidenzintervall?
Das Konfidenzintervall ist ein Intervall, das mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
(meist zu 95%) den wahren Parameter einschließt.
Was ist eine Hypothese in der Statistik?
Eine Hypothese ist eine Annahme über eine Verteilung einer Zufallsvariablen.
Was ist eine Nullhypothese?
Auf die Nullhypothese bezieht sich der Grundgedanke des Test. Schlägt der Test
fehl, muß die 1-Hypothese (Gegenhypothese) angenommen werden und die
Nullhypothese verworfen werden.
Wozu braucht man den 1-Stichproben-t-Test?
Der 1-Stichproben-t-Test testet, ob die Stichprobe zur Normalverteilung mit einem
bestimmten µ = µ(0) passt (Annahme: Varianz ist unbekannt!). Liegt ein Wert
innerhalb des kritischen Bereich des Testes, muss die Hypothese verworfen
werden.
Was ist ein Fehler Erster/Zweiter Art?
Ein Fehler erster Art (Alpha) erfolgt, wenn man die 0-Hypothese verwirft, obwohl
sie zutrifft. Ein Fehler zweiter Art (Beta) erfolgt, wenn man die 0-Hypothese
annimmt, obwohl sie falsch ist.
Hypothese falsch, und abgelehnt: 1 - Beta : Macht des Tests
Was gilt für das Konfidenzintervall der Varianz?
Die Ungleichung der wahnsinnigen Formel
muß erfüllt sein.
Was ist der 2-Stichproben-t-Test?
Mit dem 2-Stichproben-t-Test vergleicht man die Mittel zweier Populationen.
Wozu braucht man den Chi-Quadrat-Anpassungstest?
Um zu testen, ob eine in Klassen eingeteilte Stichprobe (diskrete Werte je
Klasse), einer gewissen Verteilung zuzuordnen ist.
Wozu verwendet man den Kolmogorov-Smirnov-Test?
Ob eine gewisse Stichprobe einer stetigen Verteilungsfunktion zuzuordnen ist.
Was ist eine Varianzanalyse?
Von k Stichproben (jede Stichprobe hat j Werte) wird überprüft, ob der Mittelwert
jeder Stichprobe gleich ist. Das Verfahren untersucht, ob (und gegebenenfalls
wie) sich der Erwartungswert einer metrischen Zufallsvariablen in verschiedenen
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Gruppen unterscheidet. In Prüfgrößen des Verfahrens wird getestet, ob die
Varianz zwischen den Gruppen größer ist als die Varianz innerhalb der Gruppen.
Dadurch kann ermittelt werden, ob die Gruppeneinteilung sinnvoll ist oder nicht
bzw. ob sich die Gruppen signifikant unterscheiden oder nicht.
Was ist eine Varianzanalyse-Tafel?
In der Varianzanalysetafel werden die einzelnen Kenngrößen (Freiheitsgrade,
Quadratsumme, mittlere Quadratsumme= Varianz) für zwischen den Gruppen
und innerhalb der Gruppen aufgeschlüsselt und der Test-Parameter F errechnet.
Was ist Regression?
Regression liegt dann vor, wenn die Verteilung einer Zufallsvariable von der
Verteilung einer anderen Zufallsvariable abhängt.
Was ist das Regressionsproblem?
Das Regressionsproblem behandelt die Frage, ob Regression vorliegt.
Wie testet man auf Abhängigkeit einer Variable x?
Man nimmt als Nullhypothese an, dass keine Regression vorliegt. Also H(0): b=0 ;
Schlägt der Test fehl, ist die Variable abhängig.
Was ist die Korrelation?
Korrelation liegt dann vor, wenn es einen beliebigen Zusammenhang zwischen
zwei Messgrößen gibt. Also wenn es keine Abhängigkeiten gibt, aber einen
Zusammenhang.
Was ist das Korrelationsproblem?
Das Korrelationsproblem behandelt die Frage, ob eine Korrelation vorliegt.
Was ist die Kovarianz?
Als Maß der Abhängigkeit dient die Kovarianz. Das ist der Erwartungswert des
Kreuzproduktes der Abstände zweier Zufallsvariablen von ihren Mittelwerten.
Was ist die empirische Kovarianz?
Kovarianz direkt aus den Stichprobenwerten errechnet (Schätzer für Kovarianz).
Was ist der Korrelationskoeffizient?
Der Korrelationskoeffizient ist die Kovarianz durch die Multiplikation der zwei
Varianzen. Er liegt zwischen -1 und 1. Bei Unabhängigkeit beträgt er 0.
Wie testet man auf Unkorrelliertheit?
Man nimmt als 0-Hypothese an, dass der Korrelationskoeffizient 0 ist (also dass
er unabhängig ist).
Was ist das Klassifizierungsproblem?
Es wird getestet ob eine in Klassen eingeteilte Stichprobe einer Verteilung
entspricht (ChiQuadratTest).
Was ist eine Kontingenztafel?
Eine Tafel mit zweifacher Klassifizierung.
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