technische universität münchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R . G ERD F ISCHER , D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2009/10)
— Aufgabenblatt 2 (10. November 2009) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 8. Darstellung von Geraden.
Geraden im Rn lassen sich auf verschiedene Arten darstellen. Bisher haben Sie zwei Möglichkeiten kennengelernt:
Parameterdarstellung einer Geraden im Rn : L = v + Rw mit v, w ∈ Rn und w 6= o.
Geradengleichung einer Geraden im R2 :
L = {(x, y) ∈ R2 |ax + by = c} mit a, b, c ∈ R und (a, b) 6= (0, 0).
1.) Gegeben sei folgende Parameterdarstellung einer Geraden im R2 : L := (1, 2) + R(3, 4).
Bestimmen Sie eine zugehörige Geradengleichung. Ist diese eindeutig?
2.) Gegeben sei folgende Geradengleichung einer Geraden im R2 : L := {(x, y) ∈ R2 | 3x + 4y = 5}.
Bestimmen Sie eine zugehörige Parameterdarstellung. Ist diese eindeutig?
Aufgabe 9. Das Parallelogrammgesetz.
Zeigen Sie mithilfe des Skalarprodukts, dass für alle v, w ∈ Rn gilt
kv + wk2 + kv − wk2 = 2kvk2 + 2kwk2 .
Welche geometrische Bedeutung hat diese Formel?
Aufgabe 10. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt.
Zeigen Sie: Die Seitenhalbierenden eines beliebigen (nicht entarteten) Dreiecks schneiden sich in seinem Schwerpunkt.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 11. Kürzungsregel bei Skalarprodukt?
1.) Es seien w, w0 ∈ Rn . Zeigen Sie, dass dann gilt:
hv, wi = hv, w0 i für alle v ∈ Rn =⇒ w = w0
2.) Finden Sie v, w, w0 ∈ Rn mit hv, wi = hv, w0 i und w 6= w0 .
Aufgabe 12. Der verallgemeinerte Satz des Pythagoras.
1.) Zeigen Sie: Für alle v, w ∈ Rn gilt
||v + w||2 = ||v||2 + ||w||2 + 2hv, wi
2.) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Formel und dem Satz des Pythagoras?
Hinweis: Betrachten Sie Fallunterscheidungen für die Winkel ϑ := ](v, w) und α := π − ϑ.
Fertigen Sie jeweils eine Skizze an.
Aufgabe 13. Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
1.) Zeigen Sie: Zu einem gegebenen Vektor v = (x, y) ∈ R2 ist v ⊥ = (−y, x) ∈ R2 ein zu v orthogonaler Vektor mit
kvk = kv ⊥ k.
2.) Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den folgenden Lehrsatz aus der ebenen Geometrie:
Die Höhen eines (nicht entarteten) Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Hinweis: Fertigen Sie zur Unterstützung der Beweisführung eine Skizze an: Legen Sie dabei eine Ecke des Dreiecks
in den Ursprung (Warum ist das möglich?) und verwenden Sie orthogonale Vektoren.
3.) Gegeben sei das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A = (1, 1), B = (5, 2) und C = (3, 4).
Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Höhen dieses Dreiecks.
Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 17.11.2009, zu Beginn der Vorlesung - Rückmeldung der Hausaufgabenteams bis Montag, 16.11.2009.