Blatt 12 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné
17. Januar 2011
Übungen zur Algebra I
(Einführung in die Algebra und Zahlentheorie)
Wintersemester 2010/11
Blatt 12
Abgabe: Montag, 31.1.2011, bis 12:00 Uhr in das Postfach Nr. 153 Algebra“
”
Jede Aufgabe auf diesem Übungsblatt wird mit maximal 10 Punkten bewertet, die Ihrem Konto zusätzlich
gutgeschrieben werden.
1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und A ein Ideal von R. Ein Element n ∈ R heißt nilpotent, falls
es ein k ∈ N mit nk = 0 gibt.
(a) Warum ist 1 + n für jedes nilpotente Element n ∈ R eine Einheit in R ? (Geometrische Reihe!)
(b) Zeigen Sie: Die Menge P (A) := {r ∈ R | rk ∈ A für ein k ∈ N} ist ein Ideal in R.
(c) Bestimmen Sie das Ideal P ({0}) aller nilpotenten Elemente für den Ring R = Z900 .
2. (a) Wie viele Nullteiler haben die folgenden Ringe jeweils? (Benutzen Sie Eulers ϕ-Funktion!)
R1 = Z900
R2 = Z30 × Z30
R3 = Z12 × Z75
R4 = Z4 × Z9 × Z25
R5 = Z6 × Z10 × Z15
Betrachten Sie die Abbildung F : Z → R4 , z 7→ (M4 (z), M9 (z), M25 (z)) mit Mn (z) ≡n z, sowie das
Element u = (1, 8, 22) ∈ R4 .
(b) Ist u eine Einheit?
(c) Gibt es ein z ∈ Z, so dass z + F − (u) ein Ideal von Z wird?
(d) Bestimmen Sie alle positiven Zahlen in F − (u), die kleiner als 2000 sind.
3. Welche der Elemente 111, 225, 270, 323, 335, 451, 576, 649 aus dem Ring Z900 . . .
(a) . . . sind Einheiten? Berechnen Sie gegebenenfalls ihr Inverses.
(b) . . . sind idempotent?
(c) . . . erfüllen die Gleichung x2 = 1?
(d) . . . erzeugen ein Primideal?
Wie viele idempotente Elemente besitzt Z900 ?
4. In welchen der folgenden Ringe ist die Zahl 7
(i) prim
√
√
(a) Z[ı]
(b) Z[ 3]
(c) Z[ −10]
5. Sei ζ10 die zehnte Einheitswurzel e
(a) Faktorisieren Sie x
10
2πı
10
(ii) irreduzibel?
√
(d) Z[ 29]
(e) Z[π]
∈ C.
− 1 in Q[x] und bestimmen Sie das Minimalpolynom von ζ10 über Q.
(b) Warum ist Q(ζ10 ) = Q[ζ10 ]?
(c) Für welche n ∈ N gilt Q[ζ10 n ] = Q[ζ10 ]?
(d) Geben Sie einen echten Zwischenkörper der Körpererweiterung Q(ζ10 ) : Q an.