Musterlösung zur Einsendearbeit: Public Choice

Musterlösung der EA zum Modul 31901: Öffentliche Ausgaben, Kurs: Public Choice, SS 2013
Musterlösung zur Einsendearbeit: Public Choice, Sommersemester 2013
1.1
a) Die GZB sind gegeben durch:
Uzi (xi , z)
=
Uxi (xi , z)
GZB i (z) =
1√
2α z
1
=
1
√ . (6 Punkte)
2α z
Der Parameter αi gewichtet die Wertschätzung zwischen dem privaten und öffentlichen
Gut (2 Punkte). Je höher αi , desto geringer ist die GZB für z, da das öffentliche Gut im
Nutzen weniger stark gewichtet wird (2 Punkte).
(
P
= 10 Punkte)
b) Die Lagrange-Funktion lautet (10 Punkte für die Lagrange-Funktion):
L = x1 +
1 √
1 √
7
1 √
z + λ2 (x2 +
z − Ū2 ) + λ3 (x3 +
z − Ū3 ) + λT (θ − z − x1 − x2 − x3 )
α1
α2
α3
8
Die Bedingungen erster Ordnung sind:
L x 1 = 1 − λT = 0
(4 Punkte)
L x 2 = λ2 − λT = 0
(1)
(4 Punkte)
Lx3 = λ3 − λT = 0 (4 Punkte)
1
1
1
7
√ + λ2
√ + λ3
√ − λT = 0.
Lz =
2α1 z
2α2 z
2α3 z 8
(2)
(3)
(4 Punkte)
(4)
Aus (1), (2) und (3) folgt nun λT = λ2 = λ3 = 1. Setzt man dies in (4) ein so ergibt sich:
1
1
1
7
√ +
√ +
√ =
2α1 z 2α2 z 2α3 z
8
Multiplikation mit
√
z und Einsetzen der Werte αi :
1
1
1
7 √
+
+
= · z
2·1 2·4 2·2
8
Bruch auf einen Nenner bringen und zusammenfassen:
4 1 2
7
7 √
+ + = = · z
8 8 8
8
8
Schließlich teilt man durch
Punkte).
7
8
und quadriert die Gleichung, so dass man z ∗ = 1 erhält (4
(
P
= 30 Punkte)
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c) Der implizite Preis für die Individuen lautet:
pi =
3
2
· 1.500
1
= . (4 Punkte)
3 · 1.500
2
Nun können die nachgefragten Mengen durch Gleichsetzen der GZB mit dem impliziten
Preis und Auflösen nach z berechnet werden.
GZB 1 (z1 ):
GZB 1 (z1 ) = pi
1
1
⇔ √ =
2 z1
2
√
⇔ z1 = 1
⇔z1 = 1
(4 Punkte)
GZB 2 (z2 ):
GZB 1 (z1 ) = pi
1
1
⇔ √ =
8 z2
2
√
1
⇔ z2 =
4
1
(4 Punkte)
⇔z2 =
16
GZB 3 (z3 ):
GZB 3 (z3 ) = pi
1
1
⇔ √ =
4 z3
2
√
1
⇔ z3 =
2
1
⇔z3 =
(4 Punkte)
4
Der Medianwähler ist in diesem Fall Individuum 3, da z1 > z3 > z2 . Dabei handelt es sich
nicht um eine effiziente Bereitstellung, da z ∗ = 1. Im Rahmen der Mehrheitswahl ergibt
sich eine Unterversorgung mit dem öffentlichen Gut. (4 Punkte)
(
P
= 20 Punkte)
1.2
a) Bei U i (xi , z) handelt es sich um eine quasi-lineare Nutzenfunktion (5 Punkte). Diese ist
linear im privaten Gut X. Für den Einkommenseffekt bei einer Preisänderung bezüglich
des Gutes X gilt, dass dieser bei quasi-linearen Nutzenfunktionen null ist (5 Punkte).
(
P
= 10 Punkte)
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b) Die Steigung einer Indifferenzkurve erhält man, indem das totale Differential der Nutzenfunktion gebildet und gleich null gesetzt wird:
1
dU i = dxi + dz = 0
z
Umstellen liefert nun:
dxi
1
= − . (5 Punkte)
dz
z
Man kann nun erkennen, dass die Steigung unabhängig ist von der Menge xi . Für ein gegebenes z haben die Indifferenzkurven folglich über alle xi die gleiche Steigung (5 Punkte).
(
P
= 10 Punkte)
c) Eine Preiserhöhung für das Gut X ist in der folgenden Abbildung dargestellt. In der
Ausgagngssituation ist die Budgetgerade BG0 und die entsprechende Menge für Z wäre
z0 . Die Preiserhöhung führt nun zur Budgetgeraden BG1 . Da der Einkommenseffekt bei
quasi-linearen Nutzenfunktionen null ist (Bewegung von A nach B), existiert lediglich der
Substitutionseffekt (Bewegung von B nach C). Der neue Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Budgetgerade liegt in Punkt C. Diesem entsprechend ist z1 > z0 , d.h. es wird
entsprechend mehr vom öffentlichen Gut nachgefragt (10 Punkte). (10 Punkte für die Abbildung)
xi
A
B
I0
C
SE
z0
z1
BG1
I1
BG0
y
p
(
P
= 20 Punkte)
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