Schweizer Physikolympiade

 Schweizer Physikolympiade
Aarau, 21-22 April 2012
Teil 1:
Teil 2:
Teil 3:
Erlaubte Hilfsmittel:
3 Probleme
2 Experimente
6 kurzen Fragen
Taschenrechner ohne Formelspeiche
Schreib- und Zeichenmaterial
Viel Glück!
Supported by:
Alpiq AG
Staatssekretariat für Bildung und Forschung
BASF (Basel)
Deutschschweizerische Physikkommission VSMP / DPK
Materials Science & Technology
École Polytechnique Fédérale de Lausanne
ETH Zurich Department of Physics
Fondation Claude & Giuliana
Ernst Göhner Stiftung, Zug
Hasler Stiftung Bern
Merck Serono S.A. (Genf)
Metrohm Stiftung, Herisau
Novartis International AG (Basel)
Quantum Science and Technology
F. Hoffmann-La Roche AG (Basel)
Schnelli Thermographie, Schaffhausen
Swiss Academy of Engineering Sciences SATW
Swiss Academy of Sciences
Swiss Physical Society
Syngenta AG
Universität Bern FB Physik/Astronomie
Universität Zürich FB Physik Mathematik
Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 Schweizer Physikolympiade
Theoretische Probleme
Zeit: 120 Minuten
Punkte: 48 Punkte (16 pro Problem)
Bitte lösen sie jede Aufgabe auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Falls sie nicht genug Platz
haben, können sie weitere Blätter verlangen.
1. Der Eishockeyspieler
Ein Spieler des EHC Langenthal trainiert im nahe gelegenen, hügeligen Emmental. Die Berge
sind eisbedeckt und ihr Profil kann durch folgende Funktion beschrieben werden:
y(x) = H ! h0 cos(x / l) .
Der Spieler befindet sich beim Punkt ! = 0, also in der Talsohle. Er schiesst dort einen Puck
der Masse m, so dass dieser eine horizontale Anfangsgeschwindigkeit !! hat.
a) [0.5P] Berechnen sie die Distanz zwischen zwei benachbarten Berggipfeln?
b) [1.5P] Berechnen sie die minimale Anfangsgeschwindigkeit !!"# welche ausreicht damit
der Puck den ersten Hügel überqueren kann?
Die Geschwindigkeit des Pucks ist zu jedem Zeitpunkt durch ! = ! ! + ! ! gegeben wobei
der Punkt die Ableitung der jeweiligen Variablen nach der Zeit bezeichnet. Da die vertikale
Position durch die Beziehung y(x) vorgegeben ist kann die vertikale Komponente der
Geschwindigkeit als Funktion von ! angegeben werden:
!" !" !"
=
= ! ! ! !,
!" !" !"
Wobei der Strich die Ableitung nach x bezeichnet. Für den Betrag der Geschwindigkeit erhält
man somit:
! = ! 1 + !′(!)! .
!=
c) [5P] Zeigen sie, dass die Bewegung des Pucks durch eine harmonische Schwingung
beschrieben werden kann (falls die Anfangsgeschwindigkeit klein ist). Berechnen sie die
Frequenz dieser Schwingung. Beschreiben und erklären sie alle für die Berechnung nötigen
Vereinfachungen.
Der Krümmungsradius einer Kurve an einem gegebenen Punkt ist gegeben durch den Radius
eines Kreises dessen Tangente mit jener der Kurve in diesem Punkt übereinstimmt.
Um die Zentripetalbeschleunigung eines Körpers, der sich auf einer gegebenen Kurve bewegt,
zu berechnen kann man deshalb die Formel zur Berechnung der Zentripetalbeschleunigung
für eine kreisförmige Bewegung verwenden, wobei der Krümmungsradius gleich dem Radius
des Kreises gesetzt wird.
Der Krümmungsradius !! einer Kurve welche durch kartesische Koordinaten
(!, ! ! )gegeben ist kann wie folgt berechnet werden:
y''(x0 )
1
.
=
R0 (1+ y'(x0 )2 )3/2
1 /4 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 d) [1P] Bestimmen sie den Krümmungsradius !! in der Talsohle, also bei !! = 0.
e) [2P] Berechnen sie die Kraft welche vom Boden auf den Puck ausgeübt wird im Moment
wenn dieser gerade die Talsohle durchquert mit einer Geschwindigkeit von !! ?
Der Spieler steigt nun auf den Gipfel und schiesst einen Puck entlang des Bergkamms
(welcher als pefekt planar angenommen werden kann). Der Puck bewegt sich entlang eines
Profils welches durch eine horizontale Linie welche durch einen nach unten ins Tal
abfallenden Viertelkreis mit Radius R gegeben ist (siehe Schema). Der Puck gleitet
reibungsfrei auf dem Bergkamm bis zum Viertelkreis. Je nach Startgeschwindigkeit, verliert
der Puck früher oder später auf seiner Bahn durch den Viertelkreis den Kontakt mit dem
Boden (das heisst er hebt ab) und fliegt nachher weiter bis zum Boden (die Bewegung kann
ab diesem Punkt als freier Wurf angenommen werden).
f) [4P] Bestimmen sie den Punkt bei welchem der Puck den Viertelkreis verlässt als Funktion
der Anfangsgeschwindigkeit. Hinweis: Benutzen sie den Winkel ! (zwischen der Vertikalen
und der Position des Pucks, siehe Schema) als Koordinate um die Bewegung auf dem
Viertelkreis zu beschreiben.
g) [1P] Für welchen Geschwindigkeitsbereich hebt der Puck direkt beim Punkt an dem der
Viertelkreis beginnt ab?
h) [1P] Für welchen Geschwindigkeitsbereich gleitet der Puck ohne den Kontakt mit dem
Boden zu verlieren entlang des ganzen Viertelkreises?
2. Die drehende Leiterschleife
Eine kreisförmige Leiterschleife mit Radius ! und
Widerstand ! dreht sich um den eigenen Durchmesser mit
Winkelgeschwindigkeit !, wie in der Skizze rechts
dargestellt. Die Leiterschleife befindet sich in einem
konstanten, homogenen Magnetfeld !! , welches in die
positive !-Richtung zeigt.
Es soll angenommen werden, dass sich die Leiterschleife zur
Zeit ! = 0 vollständig in der !-!-Ebene befindet. Die
Selbstinduktion der Leiterschleife kann in der gesamten
Aufgabe vernachlässigt werden.
Radius der Leiterschleife
! = 5 cm
Widerstand der Leiterschleife
! = 1.2 mΩ
Winkelgeschwindigkeit
! = 6 rad s!!
Magnetfeld
!! = 0.7 T
2 /4 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 a) [2P] Berechne die auf die Leiterschleife induzierte Spannung als Funktion der Zeit.
b) [2P] Die Leiterschleife wird von einem Elektromotor mit einem Wirkungsgrad von
85% angetrieben. Mit welcher durchschnittlichen elektrischen Leistung muss der
Elektromotor betrieben werden, damit die Winkelgeschwindigkeit der Leiterschleife
konstant bleibt?
c) [1P] Wie viel schneller würde sich die Leiterschleife drehen, wenn der Elektromotor
mit der doppelten Leistung betrieben würde?
!
d) [3P] In welche Richtung fliesst der Strom zur Zeit ! = !!? Erkläre dies anhand einer
Skizze, welche die !-!-Ebene abbildet.
e) [5P] Leite einen Ausdruck für das Magnetfeld her, welches durch den induzierten
Strom am Mittelpunkt der Leiterschleife hervorgerufen wird. Zeichne auf zwei
verschiedenen Graphen die !- und !-Komponente dieses induzierten Magnetfelds als
Funktion der Zeit.
Hinweis: 2 sin ! cos ! = sin(2!)
f) [3P] Eine kleine, magnetisierte Nadel wird nun in der !-!-Ebene im Mittelpunkt der
Leiterschleife platziert. Die Nadel kann sich frei um die !-Achse drehen, ist aber zu
träge um der Rotation der Leiterschleife zu folgen. Berechne den Winkel ! zwischen
der Nadel und der !-Achse.
3. Das dröhnende Flugzeug
Flugzeuge hat jeder schon einmal gesehen, und trotzdem müssen wir alle den Blick Richtung
Himmel heben, sobald sich das Geräusch eines Triebwerks hörbar macht. Dabei verfehlen wir
meistens mit unserem Blick das Flugzeug – wir schauen in die Richtung, von welcher wir den
Schall wahrnehmen, die Schallgeschwindigkeit c ist aber endlich und sehr klein gegenüber
der Lichtgeschwindigkeit. Das Phänomen wollen wir in dieser Aufgabe näher untersuchen.
Ein Flugzeug bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v < c entlang der zum Erdboden
parallelen x-Achse auf Höhe H. Zur Zeit t = 0 befinde sich das Flugzeug bei x = 0 direkt
oberhalb eines Beobachters (s. Abbildung.)
a) [1.5P]Unter welchem Winkel θ gegenüber der Vertikalen sieht der Beobachter das
Flugzeug, wenn er dessen Lärm direkt von oben wahrnimmt?
b) [2 P] Zu welchem Zeitpunkt t′ nimmt der Beobachter eine zur Zeit t > 0 vom Flugzeug
ausgesandte Schallwelle wahr? Drücke das Ergebnis in Abhängigkeit von v, c, t und H aus.
c) [1P]Wie lautet die x-Koordinate des Flugzeugs zur Zeit t′ aus b)? Drücke das Ergebnis in
3 /4 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 Abhängigkeit von v, c, t und H aus.
d) [2 P] Wir nehmen an, die vom Flugzeug ausgestrahlte Schallleistung sei zeitlich konstant.
Die Intensität des vom Beobachter wahrgenommenen Schalls variiert hingegen mit der
Entfernung zwischen dem Flugzeug und ihm. Mit welcher Intensität I(x) nimmt der
Beobachter eine Schallwelle wahr, die das Flugzeug vom Ort x aus gesendet hat? Drücke das
Ergebnis mithilfe der maximalen während des Vorbeiflugs wahrgenommenen Intensität Imax
aus.
e) [4 P] Das menschliche Ohr kann Schall erst oberhalb einer gewissen Schwellenintensität IS
wahrnehmen. Bis zu welchem Zeitpunkt wird das Flugzeug überhaupt wahrgenommen? Das
Ergebnis ist in Abhängigkeit von Imax , IS, v, c und H anzugeben.
f) [4P] Wie gross ist der Winkel φ zwischen der Hör- und der Blickrichtung zum Zeitpunkt
von e)? Das Ergebnis ist in Abhängigkeit von Imax , IS, v, c und H anzugeben.
!"# !!!"# !
Hinweis: DieTangensfunktion erfüllt das Additionstheorem tan(! − !) = !!!"# ! !"# ! für
beliebige Winkel α, β.
g) [1.5 P] Schätze θ aus a) und φ aus f) numerisch und vergleiche die Ergebnisse. Nimm dabei
eine maximale Lautstärke von etwa 70dB an, was einem Intensitätsverhältnis von Imax/IS = 107
entspricht. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt ungefähr ! ≈ 340 ms !! .
4 /4 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 Schweizer Physikolympiade
Theoretische kurze Fragen
Zeit: 60 Minuten
Punkte: 24 Punkte (4 pro Frage)
Bitte lösen sie jede Aufgabe auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Falls sie nicht genug Platz
haben, können sie weitere Blätter verlangen.
1. Interferenz von Schallwellen
In dieser Aufgabe widmen wir uns der Interferenz von Schallwellen. Dazu betrachten wir eine
fliegende Untertasse, die in sehr grosser Höhe parallel über einer Eisfläche mit konstanter
Geschwindigkeit entlang einer Geraden fliegt, wobei sie ständig einen reinen Ton der
Frequenz f aussendet. Ein auf der Eisfläche unterhalb der Fluglinie stehender Beobachter wird
aufgrund der Superposition direkt eintreffender mit von der Eisfläche reflektierten
Schallwellen ein Interferenzmuster hören. Die Geschwindigkeit des UFOs wird als klein
gegenüber der Schallgeschwindigkeit angenommen, sodass man davon ausgehen kann, dass
die interferierenden Teilwellen zum selben Zeitpunkt vom UFO ausgesandt worden sind. Die
Höhe der Untertasse über der Eisfläche sei zudem so gross, dass die eintreffenden
Wellenfronten als parallel angesehen werden können (siehe Abbildung).
a) [2P] Bestimme den Gangunterschied zwischen der direkt einfallenden und der von der
Eisfläche reflektierten Welle in Abhängigkeit der Grösse h des Beobachters und des Winkels
θ der vom UFO eintreffenden Wellen gegenüber der Horizontalen.
Hinweis: Für beliebigeWinkel α gilt cos(2!) = 1 − 2 sin !(!).
b) [1.5P] Ein Interferenzminimum wird erstmals wahrgenommen, wenn die Richtung der
direkt eintreffenden Welle einen Winkel !! mit der Horizontalen bildet. Wie gross ist f in
Abhängigkeit von h, θ0 und der Schallgeschwindigkeit c?
c) [0.5P] Gib einen numerischen Schätzwert für f an, wenn θ0 ≈ 30°. Die
Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt ungefähr ! ≈ 340 m s!! .
1 /3 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 2. Temperatur des Planeten Venus
[4P] Alle Körper deren Temperatur grösser als Null ist emittieren Strahlung. Die
Strahlungsleistung pro Flächeneinheit für einen Körper mit Temperatur T ist durch das
Stefan-Boltzmann’sche Gesetz gegeben : ! = !"! ! , wobei ! = 1 ist für einen sogenannten
‚planckschen Strahler‘ und ! die Boltzmann-Konstante ist. Bestimmen sie die Temperatur (im
Gleichgewicht) des Planeten Venus. Sie können annehmen, dass sowohl die Venus als auch
die Sonne plancksche Strahler sind und dass sämtliche von der Venus aufgenommene
Strahlung von der Sonne stammt. Versuchen sie zu begründen wieso die von Ihnen bestimmte
Temperatur sich deutlich von der effektiven Temperatur auf der Oberfläche der Venus (700K)
unterscheiden könnte (falls dies der Fall sein sollte).
Données :
- Radius der Sonne :
!! = 6,96 × 10! km
- Temperatur der Sonne :
!! = 5800 K
- Durchschnittlicher Abstand Sonne-Venus :
!!" = 1,08 × 10! km
3. Mathematische ‘Werkzeuge’
!!
a) [1P] Berechnen sie folgendes Integral: ! ! ! ! !" .
b) [1P] Geben sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ! + !!! ! = 0 für die
beiden Fälle !! = 0 und !! ≠ 0 an.
c) [1P] Bestimmen sie die Nullstellen der quadratischen Gleichung : ! ! + 2! − 24 = 0.
d) [1P] Geben sie die folgenden Grössen als Funktion von ! = ! , ! = ! und dem
Winkel ! zwischen den Vektoren ! und ! an:
! ∙ ! = ? und !×! = ?
4. Wärmefluss eines runden Behälters
[4P] Im Inneren eines kugelförmigen Behälters wird die Temperatur konstant auf Tin gehalten.
Die Innenwand befindet sich in einem Radius rin. Eine Messung an der Aussenwand mit
Radius rout > rin ergibt eine Temperatur Tout. Das Isolationsmaterial dazwischen hat eine
Wärmeleitfähigkeit von λ.
Wie gross ist die Wärmetauschleistung ! vom Inneren der Kugel nach aussen? Mache die
gesamte Rechnung nur mit den gegebenen Konstanten, wobei Temperaturen in [K], Längen in
[m], Wärmeleitfähigkeit in [W/mK] und Wärmetauschleistung in [W] dargestellt sind.
2 /3 Probleme Schweizer Physikolympiade 21 April 2012 5. Induktion
Man betrachtet zwei lineare, vertikale und nicht bewegliche Leiter mit vernachlässigbarem
Widerstand. An ihrem oberen Ende sind sie durch einen Widerstand R verbunden. Ein
horizontaler leitfähiger Stab (Masse m, Länge l) gleitet reibungsfrei an den Leitern nach unten
und bleibt hierbei ohne Unterbruch in elektrischem Kontakt mit den zwei Leitern. Der Stab
wird aus der Ruheposition fallen gelassen und fällt senkrecht zu einem gleichförmigen
Magnetfeld !.
a) [2P] Beschreiben sie vollständig die Bewegung
des Stabes indem sie eine Gleichung für dessen
Beschleunigung angeben. Sie brauchen diese
Gleichung nicht zu lösen.
b) [2P] Welche maximale Geschwindigkeit kann der
Stab erreichen? Antworten sie mit ∞ falls sie denken
dass die Maximalgeschwindigkeit nicht begrenzt ist.
6. Elektrische Schaltkreise
a) [2P] Berechnen sie den Gesamtwiderstand
zwischen A und B ?
b) [2P] Welches ist die Kapazität zwischen den
Punkten A und B wenn man die 6Ω-Widerstände
durch Kondensatoren mit einer Kapazität von 6F
ersetzt und die 12Ω-Widerstände durch solche mit
12F?
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