7 Gewinnmaximierung

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http://mailbox.univie.ac.at/Ana-Begona.Ania-Martinez/microvwl.html
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Gewinnmaximierung
32. Betrachten Sie die Produktionsfunktion
Q = f (K, L) = q
1
1
K
+
1
L
wobei K den Kapital- und L den Arbeitsinput mißt. Die Inputspreise seien r (Kapital) und w
(Arbeit). Der Preis des Outputs sei p.
(a) Schreiben Sie das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens und berechnen Sie die
optimalen Q∗ , K ∗ , L∗ in Abhängigkeit von r, w, p.
(b) Für ein beliebiges Outputsniveau Q, schreiben Sie das Kostenminimierungsproblem des
Unternehmens und berechnen Sie die Kostenfunktion C(r, w, Q).
(c) Benützen Sie die Kostenfunktion von 32b, um das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens zu schreiben, ohne die Inputs K, L betrachten zu müssen. Berechnen Sie den
optimalen Output Q∗∗ .
(d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Lösungen in 32a und 32c?
(e) Seien r = 4, w = 9, p = 300. Berechnen Sie die optimalen Faktornachfragen und das
optimale Outputniveau.
33. Betrachten Sie eine Firma mit der kurzfristigen Gesamtkostenfunktion
ST C(q; k) =
q3
− q 2 + (11 − k)q + 5k 2
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wobei q den Output und k die Zahl der verwendeten Maschinen, welche kurzfristig fixiert ist,
angibt.
(a) Berechnen Sie die kurzfristige Angebotsfunktion S(p), wobei p den vorgegebenen Outputpreis bezeichnet, unter der Voraussetzung dass k = 1. (Hinweis: Wenn Sie bei der Profitmaximierung zwei Lösungen für die optimale Menge erhalten, beachten Sie die Bedingung
zweiter Ordnung). Wie groß ist der Profit, falls p = 10?
(b) Berechnen Sie die (langfristig) optimale Zahl der verwendeten Maschinen in Abhängigkeit
der Outputmenge q und geben Sie die langfristige Gesamtkostenkurve T C(q) an.
(c) Überprüfen Sie, ob bei einem Output von 20 Einheiten die langfristig optimale Maschinenzahl 2 beträgt. Wenn ja, berechnen Sie die langfristigen Grenzkosten an der Stelle 20 und
ebenso die kurzfristigen Grenzkosten an der Stelle 20 unter der Voraussetzung, dass die Zahl
der verwendeten Maschinen mit 2 fixiert ist, d.h. M C(20) und SM C(20; 2). Vergleichen
und kommentieren Sie.
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34. Betrachten Sie eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Q = f (x1 , x2 ) = x1 x2 . Seien w1 , w2
die Preise der Inputs und p der Preis des Outputs.
(a) Schreiben Sie das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens und berechnen Sie die
optimalen y ∗ , x∗1 , x∗2 , in Abhängigkeit von w1 , w2 , p.
(b) Für ein beliebiges Outputsniveau y, schreiben Sie das Kostenminimierungsproblem des
Unternehmens und berechnen Sie die Kostenfunktion C(w1 , w2 , y).
(c) Benützen Sie die Kostenfunktion von 34b, um das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens zu schreiben, ohne die Inputs x1 , x2 betrachten zu müssen. Berechnen Sie den
optimalen Output y ∗∗ .
UE Mikroökonomie I für VWL
Dr. Ana B. Ania, Dipl.-Volkswirt Ilja Neustadt
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(d) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Lösungen in 34a und 34c?
(e) Seien w1 = 8, w2 = 27, p = 64. Berechnen Sie die optimale Faktornachfragen und das
optimale Outputniveau.
35. (a) Definieren Sie die Begriffe: Gesamtkosten (total costs), variable Kosten (variable costs),
fixe Kosten, Durchschnittskosten (average costs), variable Durchschnittskosten (average
variable costs) und Grenzkosten (marginal costs).
(b) Berechnen Sie die obigen Kostenkurven für die Kostenfunktionen c1 (y) = a1 · y 2 + b (wobei
y 3
a, b > 0 gegebene Konstanten sind), c2 (y) = 3y 3 − 6y 2 + 15y + 30, und c3 (y) = 13 · 128
.
Stellen Sie die errechneten Funktionen gemeinsam in je einer Grafik für c1 , c2 und c3 dar.
(c) Welche Bedeutung kommt dem Punkt zu, in dem sich die Grenzkostenkurve mit der Kurve
der variablen Durchschnittskosten schneidet? Berechnen Sie diesen Punkt für c1 , c2 und
c3 .
(d) Finden Sie die Angebotsfunktion eines Unternehmens mit Kostenfunktion c1 bzw. c3 . Bei
welchem Preis p wird die Produktion eingestellt?
√
√ 2
36. Eine Firma besitzt die Produktionsfunktion F (K, L) =
K + L . Die Preise der Inputs
sind mit r bzw. w gegeben, der Preis des Outputs mit p.
(a) Hat die Firma Konstante Skalenerträge?
(b) Berechnen Sie die MRTS als Funktion von L entlang einer Isoquante. Ist diese abnehmend?
Was bedeutet eine abnehmende MRTS?
(c) Schreiben Sie das Kostenminimierungsproblem der Firma und finden Sie ihre Kostenfunktion.