Skript – Teil 1 - Mathematik, TU Dortmund

Mathematischer Vorkurs 2016
Natur- und Ingenieurwissenschaften
Skript – Teil 1
(Kapitel 1 bis 5)
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Themenübersicht (Teil 1)
1
Mengen
2
Zahlen
3
Ordnung und Betrag
4
Abbildungen und Funktionen
5
Trigonometrie
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Mengen
Kapitel 1 – Mengen
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Mengen
1.1 Definition: Mengen
Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu
einem Ganzen.
Diese Objekte heißen dann Elemente der Menge.
Beschreibung von Mengen durch ...
... Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {. . .}.
... Angabe einer Eigenschaft E, die die Elemente beschreibt:
{x | x hat die Eigenschaft E}
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Mengen
Beispiele:
Die Menge der natürlichen Zahlen
:= {1, 2, 3, . . .}.
N
Die Menge der natürlichen Zahlen mit Null
0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
N
Für alle natürlichen Zahlen k > 0 definieren wir
N≥k := {k, k + 1, k + 2, . . .}.
Die Menge der ganzen Zahlen:
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Menge
der (gekürzten) Brüche:
n a der rationalen Zahlen als Menge
o
:=
a, b ganze Zahlen und b > 0 .
b
Die Menge der reellen Zahlen: .
Q
R
Die Menge der nicht negativen reellen Zahlen:
Die Menge der komplexen Zahlen:
C.
R+ = {x ∈ R | x > 0}.
Die leere Menge ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
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Mengen
Schreibweisen:
Ist a ein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a ∈ M .
Ist a kein Element der Menge M , so schreiben wir kurz a 6∈ M .
Beispiel: 1 ∈
N, 2 ∈ Z aber −3 6∈ N.
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Mengen
1.2 Definition: Mengenoperationen
Es seien M und N Mengen.
1. Die Vereinigungsmenge M ∪ N ist die Menge der Elemente, die in M
oder in N enthalten sind. Also M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N }.
2. Die Schnittmenge M ∩ N ist die Menge der Elemente, die in M und
in N enthalten sind. Also M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N }.
3. M heißt Teilmenge von N , wenn alle Elemente die in M enthalten sind
auch in N enthalten sind. Wir schreiben dann M ⊂ N oder N ⊃ M .
4. Die Differenzmenge N \ M ist die Menge der Elemente, die in N
enthalten sind, aber nicht in M , also
N \ M := {x | x ∈ N und x 6∈ M }.
5. Ist M ⊂ N so ist das Komplement von M (bezüglich N ) durch
M c := {x | x ∈ N und x 6∈ M } definiert.
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Mengen
1.3 Bemerkung
Es gilt in jedem Fall ∅ ⊂ M ⊂ M .
In 4. muss M keine Teilmenge von N sein. Ist zum Beispiel
M ∩ N = ∅, so ist N \ M = N und M \ N = M .
Ist aber M ⊂ N so ist N \ M = M c und M \ N = ∅.
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn die eine jeweils eine
Teilmenge der anderen ist. Also M = N genau dann, wenn M ⊂ N
und N ⊂ M .
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Mengen
Graphisch kann man die Mengenoperationen gut mit Hilfe von
Venn-Diagrammen darstellen:
M
N
N
M
N ⊂M
M ∪N
N
M
M ∩N
N
M
M \N
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Mengen
1.4 Satz: Rechenregeln für Mengenoperationen
1
M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M .
2
(M ∪ N ) ∪ P = M ∪ (N ∪ P ) und (M ∩ N ) ∩ P = M ∩ (N ∩ P ).
3
M ∪ (N ∩ P ) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ P ).
4
M ∩ (N ∪ P ) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ P ).
5
(M c )c = M .
6
(M ∪ N )c = M c ∩ N c und (M ∩ N )c = M c ∪ N c .
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Mengen
1.5 Definition: Kartesisches Produkt
1. Das kartesische Produkt zweier Mengen M und N wird mit M × N
bezeichnet und enthält als Elemente die geordneten Paare (m, n) mit
m ∈ M und n ∈ N . Also:
M × N = {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N } .
Ist M ⊂ G1 und N ⊂ G2 so kann man das kartesische Produkt wie
folgt darstellen:
G2
N
MxN
M
G1
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Mengen
1.5 Definition: Kartesisches Produkt[cont.]
2. Das kartesische Produkt mehrerer Mengen M1 , . . . , Mk wird analog
definiert.
Z.B. ist 3 = × × = {(x, y, z)|x, y, z ∈ }
R
R R R
R
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Mengen
1.6 Definition: Quantoren
Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so
schreiben wir
∀x ∈ M : A(x) ,
wenn jedes Element aus M die Eigenschaft A hat – in Worten: für alle
x ∈ M gilt A(x) und
∃x ∈ M : A(x) ,
wenn es mindestens ein Element aus M gibt, das die Eigenschaft A hat –
in Worten: es gibt ein x ∈ M mit A(x).
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Zahlen
Kapitel 2 – Zahlen
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Zahlen
Uns bisher bekannte Zahlenbereiche sind
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R |(⊂{zC}) .
später
2.1 Definition: Rationale und irrationale Zahlen
1.
ist die Menge der Dezimalbrüche.
2.
R
Q ist die Menge der abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüche.
Dabei wird allerdings die Periode 9 ausgeschlossen, indem man die
Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 ak 9 mit der Zahl n, a1 a2 . . . ak−1 bk identifiziert
mit bk = ak + 1. Dabei ist n ∈ 0 , a1 , a2 , . . . , ak−1 ∈ {0, 1, . . . , 9},
ak ∈ {0, 1, . . . , 8}.
N
R Q
3. Die Elemente der Menge \ , also die nicht-abbrechenden und
nicht-periodischen Dezimalbrüche, heißen irrationale Zahlen.
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Zahlen
Beispiele irrationaler Zahlen:
1. Die Länge der Diagonale eines
√ Quadrates der Seitenlänge 1 ist
irrational. Diese Länge ist 2 = 1, 414213562 . . .
2. Der Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 ist irrational. Diese
Länge ist π = 3, 141592654 . . .
3. Die Eulersche Zahl e = 2, 718281828 . . . ist irrational.
2.2 Definition: Rechenoperationen
Sind x, y ∈
y 6= 0 auch
R so sind die Rechenoperationen x + y, x − y, xy und für
x
y
erklärt.
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Zahlen
2.3 Satz: Rechenregeln
1. x + y = y + x und xy = yx (Kommutativgesetze)
2. x + (y + z) = (x + y) + z und x(yz) = (xy)z (Assoziativgesetze)
3. x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz)
Als direkte Konsequenz erhalten wir die drei Binomischen Formeln
4. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 und
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
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Zahlen
2.4 Definition: Kurzschreibweisen für Summen und Produkte
Sind m, n ∈ 0 mit m ≤ n und am , am+1 , . . . , an ∈ so schreiben wir
N
1.
2.
n
X
k=m
n
Y
R
ak = am + am+1 + . . . + an und
ak = am · am+1 · . . . · an
k=m
Dabei kann der Laufindex eine beliebige Variable sein, etwa
n
n
X
X
ak =
aj .
k=m
j=m
Es gelten die folgenden Vereinbarungen wenn m > n ist
n
X
k=m
ak = 0
und
n
Y
ak = 1
k=m
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Zahlen
Rechenregeln und Beispiele:
a·
n
X
ak =
k=m
n
X
k=m
n
Y
n
X
(a · ak )
k=m
ak +
n
X
bk =
k=m
ak ·
k=m
n
Y
k=m
n
X
(ak + bk ) und
k=m
n
Y
bk =
(ak · bk ).
k=m
n
X
Indexverschiebung:
n+t
X
ak =
k=m
ak−t .
k=m+t
n
X
Arithmetische Summenformel:
k=
k=1
geometrische Summenformel:
q 6= 1.
n
X
k=0
qk =
n(n + 1)
.
2
1 − q n+1
für eine reelle Zahl
1−q
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Zahlen
2.5 Definition: Potenzen
Für a ∈
R und n ∈ N0 setzen wir an :=
n
Y
a.
k=1
Insbesondere gilt also a0 = 1 und 00 = 1 aber 0n = 0 für n > 0.
1
Für a ∈ \ {0} und n ∈ 0 setzen wir a−n := n .
a
a ∈ heißt die Basis und n ∈ der Exponent der Potenz an .
R
R
N
Z
2.6 Potenzregeln
Für n, m ∈
Z gilt:
1
am an = an+m und an bn = (ab)n sowie
2
(am )n = amn
falls die Ausdrücke definiert sind.
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Zahlen
2.7 Definition: Quadratwurzel
Sind a, b ∈
R und b2 = a so definieren wir
√
(
b
falls b ≥ 0
a :=
−b falls b < 0
Die stets nicht-negative Zahl
√
a heißt Quadratwurzel von a.
2.8 Existenz der Quadratwurzel
Die Gleichung x2 = a besitzt ...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
√
... für a > 0 die zwei (reellen) Lösungen x1 = a und x2 = − a.
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Zahlen
Der Satz 2.7 lässt sich noch verallgemeinern:
2.9 Satz: Höhere Wurzeln
1 Ist n eine natürliche ungerade Zahl, dann hat die Gleichung xn = a
√
genau eine reelle Lösung und diese bezeichnen wir mit x = n a.
2 Ist n eine natürliche gerade Zahl mit n 6= 0, dann hat die Gleichung
xn = a ...
... für a < 0 keine reelle Lösung,
... für a = 0 die eindeutige (reelle) Lösung x = 0 und
√
... für a √
> 0 die zwei reellen Lösungen, die wir mit x1 = n a und
x2 = − n a bezeichnen.
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Zahlen
2.10 Bemerkung
√
1
Wir setzen nun a n := n a für a ≥ 0 und n 6= 0, und definieren(!)
m
1 m
a n := a n . Dann kann man zeigen, dass die Rechenregeln aus Satz 2.6
weiterhin gültig bleiben.
Somit haben wir das Potenzieren von ganzen auf rationale Exponenten
erweitert.
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Zahlen
2.11 Satz: p-q-Formel
Es sei D := p2 − 4q. Dann besitzt die quadratische Gleichung
x2 + px + q = 0 ...
p
... die eindeutige (reelle) Lösung x = − falls D = 0,
2 √
√
p+ D
p− D
... die zwei (reellen) Lösungen x1 = −
und x2 = −
2
2
falls D > 0, und
... keine reelle Lösung falls D < 0.
Die Zahl D heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung.
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Zahlen
2.12 Definition: Fakultät und Binomialkoeffizient
1 Für natürliche Zahlen n ∈
0 ist die Fakultät definiert als
N
n! :=
n
Y
k.
k=1
Also gilt insbesondere 0! = 1 und (n + 1)! = n! · (n + 1).
2
N
Für zwei natürliche Zahlen k, n ∈ 0 mit k ≤ n ist der
Binomialkoeffizient definiert als
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
=
:=
k
k!(n − k)!
k!
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Zahlen
2.13 Satz: Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
n
n
n
n
=
= 1 und
=
.
0
n
k
n−k
n
n
n+1
+
=
(Additionstheorem).
k
k+1
k+1
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Zahlen
Wegen des Additiontheorems lassen sich die Binomialkoeffizienten im
Pascalschen Dreieck anordnen:
n
n
k
1
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
1
3
1
4
6
4
1 4
..
.
2.14 Binomischer Lehrsatz
Für x, y ∈ und n ∈ 0 gilt
R
N
n X
n k n−k
(x + y) =
x y
k
n
k=0
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Ordnung und Betrag
Kapitel 3 – Ordnung und Betrag
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Ordnung und Betrag
3.1 Definition: Ordnung
Jede reelle Zahl x hat genau eine der folgenden drei Eigenschaften:
x < 0 (negativ), x = 0 (Null) und x > 0 (positiv).
Wir definieren x > y durch x − y > 0 und x ≥ y durch x − y > 0 oder
x − y = 0.
Analog werden x < y und x ≤ y definiert.
Damit gilt für alle x, y ∈
R entweder(!) x < y oder x = y oder x > y.
Die Zeichen ≤, ≥, <, > und = heißen Ordnungszeichen.
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Ordnung und Betrag
Mit Hilfe der Ordnungszeichen definieren wir spezielle Teilmengen von
Seien dazu a, b ∈ mit a < b.
R
R.
3.2 Definition: Intervalle
Beschränkte Intervalle
[a, b] := {x ∈
möglich).
R | a ≤ x ≤ b} (Abgeschlossenes Intervall, auch a = b
R | a < x < b} (Offenes Intervall).
[a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} oder ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}
]a, b[ := {x ∈
(Halboffene Intervalle).
Unbeschränkte Intervalle:
R | a ≤ x} und ] − ∞, b] := {x ∈ R | x ≤ b}
]a, ∞[ := {x ∈ R | a < x} und ] − ∞, b[ := {x ∈ R | x < b}
] − ∞, ∞[ := R
[a, ∞[ := {x ∈
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Ordnung und Betrag
3.3 Rechenregeln
Es seien x, y, z ∈
R. Dann gilt
1
Ist x < y und y < z, dann gilt x < z.
2
Ist x ≤ y und y ≤ x, so ist x = y.
3
Ist x < y dann ist x + z < y + z.
4
Ist x > 0 und y > 0, so ist auch xy > 0.
5
Ist z > 0 und x < y, so ist xz < yz.
6
Ist z < 0 und x < y, so ist xz > yz.
7
Ist 0 < x < y, so gilt
1
x
>
1
y
> 0.
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Ordnung und Betrag
Aus den Rechenregeln 3.3 folgt:
3.4 Satz: Vorzeichen von Produkten
Es seien x1 , . . . , xn ∈ . Dann gilt:
n
Y
xi = 0 ist gleichbedeutend damit, dass es mindestens ein
R
i=1
j ∈ {1, . . . , n} gibt mit xj = 0.
n
Y
xi > 0 ist gleichbedeutend damit, dass nur eine gerade Anzahl der
i=1
Faktoren xj negativ ist.
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Ordnung und Betrag
Die Rechenregeln 3.3 liefern für das Rechnen mit Ungleichungen:
3.5 Bemerkung
Die Lösungsmenge einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn wir auf
beiden Seiten ...
... eine Zahl addieren.
... mit einer positiven Zahl multiplizieren.
... eine streng monoton steigende Funktion anwenden. (Genaueres
dazu folgt später.)
Beispiele streng monotoner Funktionen:
Die Wurzelfunktion auf [0, ∞[.
Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten auf
und mit geradem
Exponenten auf [0, ∞[.
Die Exponentialfunktion auf
und die Logarithmusfunktion auf
(0, ∞).
R
R
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Ordnung und Betrag
3.6 Definiton: Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x ist definiert als der Abstand zu 0 und wird
mit |x| bezeichnet. Also
(
x
falls x ≥ 0
|x| :=
−x falls x < 0
Für x, y ∈
R ist |x − y| der Abstand von x und y.
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Ordnung und Betrag
3.7 Eigenschaften des Betrags
1. |x| = 0 ist gleichbedeutend mit x = 0.
2. |x| = | − x|.
3. −|x| ≤ x ≤ |x| mit Gleichheit an genau einer Stelle, wenn x 6= 0.
4. |xy| = |x||y|.
5. |x + y| ≤ |x| + |y|.
6. | |x| − |y| | ≤ |x − y|.
√
7. x2 = |x|.
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Ordnung und Betrag
3.8 Satz: Quadratische Ungleichungen
Es gilt
√
p D
x + px + q < 0 ⇔ x + <
,
2
2
2
wobei D = p2 − 4q die Diskriminante ist. Ist D < 0 so hat die Ungleichung
keine reelle Lösung. Außerdem gilt
√
D
p 2
,
x + px + q > 0 ⇔ x + >
2
2
wobei im Fall D < 0 die Lösungsmenge ganz
R ist.
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Abbildungen und Funktionen
Kapitel 4 – Abbildungen und Funktionen
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Abbildungen und Funktionen
4.1 Definition: Abbildung
Es seien D und W Mengen. Eine Abbildung f von D nach W ist eine
Vorschrift, die jedem Element x ∈ D genau ein Element f (x) ∈ W
zuordnet.
f (x) heißt das Bild von x unter f
D heißt der Definitions- und W der Wertebereich (manchmal besser
Wertevorrat.
Ist nun f : D → W eine Abbildung, so heißt die Menge der Elemente in
W , die von f getroffen wird, die Bildmenge von f und wird mit f (D)
bezeichnet. Es gilt
f (D) := {y ∈ W | ∃x ∈ D : y = f (x)} = {f (x) | x ∈ D} ⊂ W .
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Abbildungen und Funktionen
4.2 Definition, Urbild, Graph
Ist U ⊂ W eine Teilmenge, so nennt man die Menge aller Elemente von D
deren Bild in U liegt, das Urbild von U . Dies wird mit f −1 (U ) bezeichnet.
Es gilt
f −1 (U ) := {x ∈ D | f (x) ∈ U } ⊂ D .
Die Teilmenge {(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ D × W , bezeichnet man als Graph
der Abbildung f .
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Abbildungen und Funktionen
4.3 Bemerkung
Zwei Abbildungen f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind genau dann
gleich, wenn D1 = D2 , W1 = W2 und f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
4.4 Definition: identische Abbildung
Es sei f : D → D mit f (x) := x für alle x ∈ D. Diese Abbildung heißt
identische Abbildung oder Identität auf D und wird hier mit idD
bezeichnet.
Sprechweise:
Oft wird der Begriff Funktion parallel zum Begriff Abbildung benutzt.
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Abbildungen und Funktionen
4.5 Definition: Polynome
N
R R
Es sei n ∈ und a0 , a1 , . . . , an ∈
p : → mit
p(x) =
n
X
R mit an 6= 0. Dann heißt die Funktion
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
k=0
ein Polynom.
Die Zahl grad(p) := n heißt der Grad, die ak heißen die Koeffizienten und
speziell an der Leitkoeffizient von p.
Eine Zahl x0 ∈ mit p(x0 ) = 0 heißt Nullstelle von p.
R
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Abbildungen und Funktionen
4.6 Satz: Faktorisierung
Es sei p ein Polynom und x0 eine Nullstelle. Dann gibt es ein Polynom q
mit grad(q) = grad(p) − 1, so dass p(x) = (x − x0 )q(x).
Die Koeffizienten des Polynoms q aus der Faktorisierung lassen sich durch
Polynomdivision oder mit Hilfe des Hornerschemas bestimmen.
4.7 Hornerschema
Das Hornerschema kann dazu benutzt werden, den Funktionswert eines
Polynoms p an einer beliebigen Stelle x0 zu bestimmen.
Man erhält zusätzlich die Koeffizienten eines Polynoms q, dessen Grad um
Eins kleiner ist, als der von p, und das
p(x) = (x − x0 )q(x) + p(x0 )
erfüllt.
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Abbildungen und Funktionen
Beschreibung des Hornerschemas:
Zunächst schreiben wir die Koeffizienten von p in die erste Zeile einer
Tabelle und den Wert 0 unter an . Dann führt man dann von links nach
rechts in der Tabelle immer wieder zwei Schritte durch:
1. Addiere die Zahlen der ersten und zweiten Zeile und schreibe sie in die
dritte Zeile.
2. Der zuletzt berechnete Wert wird mit x0 multipliziert und in die
zweite Zeile der nächsten Spalte eingetragen.
Schließlich gelangt man zu folgendem Abschlußschema:
an
+
0
=
cn−1
an−1
an−2
···
a1
a0
+
+
+
+
cn−1 x0
cn−2 x0
···
c1 x0
c0 x0
%
=
%
=
%
% = % =
cn−2
cn−3
...
c0
c−1
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Abbildungen und Funktionen
Dann ist an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
(x − x0 )(cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 ) + c−1 .
Ist x0 eine Nullstelle des Polynoms p, so hat man eine Polynomdivision
durchgeführt:
p(x) = (x − x0 )q(x) mit q(x) = cn−1 xn−1 + cn−2 xn−2 + · · · c1 x + c0 .
Man kann nun ?? auf q anwenden und so nach und nach Nullstellen von p
abspalten.
Hilfreich beim Nullstellensuchen:
Hat p nur ganzzahlige Koeffizienten, und ist der Leitkoeffizient an = 1, so
sind alle rationalen Nullstellen sogar ganz und sie sind Teiler des
Koeffizienten a0 .
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Abbildungen und Funktionen
4.8 Definition: Rationale Funktionen
p(x)
q(x)
| q(x) 6= 0}.
Es seien p und q Polynome. Dann heißt die Funktion f mit f (x) :=
rationale Funktion. Ihr Definitionsbereich ist D = {x ∈
R
4.9 Definition: Potenzfunktion
Es sei q ∈ eine rationale Zahl. Dann ist die Potenzfunktion definiert
durch
Q
i) fq : ]0, ∞[ → ]0, ∞[, fq (x) = xq , falls q < 0,
ii) fq : [0, ∞[ → [0, ∞[, fq (x) = xq , falls q > 0.
Bemerkung: Später werden wir die Potenzfunktionen auch für irrationale
Exponenten erklären.
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Abbildungen und Funktionen
4.10 Definition: Einschränkung und Fortsetzung
Es seien D1 ⊂ D2 und f1 : D1 → W , f2 : D2 → W zwei Abbildungen mit
f1 (x) = f2 (x) für alle x ∈ D1 .
Dann heißt f1 Einschränkung von f2 und f2 Fortsetzung von f1 . Man
schreibt auch f1 = f2 |D1 .
4.11 Definition: Verkettung von Abbildungen
Es seien f : D → U und g : V → W Abbildungen und es gelte U ⊂ V .
Dann ist die Verkettung g ◦ f : D → W definiert durch
(g ◦ f )(x) := g(f (x)) .
Statt Verkettung sagt man auch Hintereinanderausführung oder
Komposition und man liest g ◦ f als “g nach f ”.
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Abbildungen und Funktionen
4.12 Definition: Umkehrabbildung
Es seien f : D → W und g : W → D Abbildungen mit den Eigenschaften
(1) g ◦ f = idD und (2) f ◦ g = idW .
Dann heißen f und g Umkehrabbildungen voneinander und wir schreiben
g = f −1 bzw. f = g −1 . Man sagt dann auch f (und natürlich auch g) ist
invertierbar.
Eine Abbildung f : D → W hat genau dann eine Umkehrabbildung, wenn
die Gleichung f (x) = y für jedes y ∈ W genau eine Lösung x ∈ D hat.
Die Umkehrabbildung ist dann (für dieses (x, y)-Paar) durch f −1 (y) = x
definiert.
R
Sind D und W Teilmengen von , so erhält man den Graphen der
Umkehrfunktion f −1 aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der
winkelhalbierenden.
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Abbildungen und Funktionen
4.13 Definition: Monotonie
Es sei I ⊂ und f : I → eine Funktion. Dann heißt f ...
R
R
1
... monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
2
... streng monoton wachsend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) < f (x2 ).
3
... monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) ≥ f (x2 ).
4
... streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I mit x1 < x2 gilt
f (x1 ) > f (x2 ).
Beispiel: Die Potenzfunktionen fq : [0, ∞[ → [0, ∞[ sind streng monoton
steigend.
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Trigonometrie
Kapitel 5 – Trigonometrie
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Trigonometrie
Winkel werden in Grad
oder im Bogenmaß
(auch Rad) angegeben:
360◦ =2π.
b
Schenkel
Scheitel S
Winkelbereich
α
y
cot α
1
r=1
sin α
Durch diese Betrachtungen am Einheitskreis
werden vier Funktionen
definiert.
tan α
α
cos α
1
x
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Trigonometrie
5.1 Definition: Winkelfunktionen
Name
Sinus
sin
Cosinus
cos
Tangens
tan
Cotangens
cot
D
R
R
W
[−1, 1]
R \ { 2k+1
2 π | k ∈ Z}
R \ {kπ | k ∈ Z}
[−1, 1]
R
R
Die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktionen
y
y = sin x
π
y = cos x
2π x
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Trigonometrie
Die Graphen der Tangens- und Cotangensfunktionen:
y
y = tan x
y = cot x
1
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
x
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Trigonometrie
5.2 Interpretation am rechtwinkligen Dreieck
C
Mit diesen Bezeichnungen gilt dann
b
a
A
α
c
sin α =
a
,
b
cos α =
c
b
und
tan α =
a
c
B
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Trigonometrie
5.3 Definition: Periodische Funktionen
Es sei T > 0. Eine Funktion f : → heißt T -periodisch, wenn
f (x + T ) = f (x) für alle x ∈ .
R
R R
5.4 Definition: Symmetrie von Funktionen
Es sei I ⊂
heißt ...
R ein um 0 symmetrisches Intervall. Eine Funktion f : I → R
1. ... gerade, wenn f (−x) = f (x) für alle x ∈ I.
2. ... ungerade, wenn f (−x) = −f (x) für alle x ∈ I.
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Trigonometrie
5.5 Satz: Eigenschaften der Winkelfunktionen
1. sin sowie cos sind 2π- und tan sowie cot sind π-periodisch.
2. sin(x + π) = − sin x und cos(x + π) = − cos x.
3. sin(x + π2 ) = cos x und cos(x + π2 ) = − sin x.
sin x
1
4. tan x =
und cotx =
.
cos x
tan x
5. cos ist eine gerade Funktion und sin, tan und cot sind ungerade
Funktionen.
R gilt | sin x| ≤ 1 und | cos x| ≤ 1.
sin(x) = 0 genau dann, wenn x = kπ mit k ∈ Z.
6. Für alle x ∈
7.
cos(x) = 0 genau dann, wenn x =
2
8. sin x +
2k+1
2 π
Z
mit k ∈ .
cos2 x
= 1 der Trigonometrische Pythagoras.
1
1
9. cos2 x =
und sin2 x =
.
2
1 + tan x
1 + cot2 x
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Trigonometrie
5.6 Einschränkungen der Winkelfunktionen
Die folgenden Einschränkungen der Winkelfunktionen benutzt man zur
Definiton von Umkehrfunktionen:
: − π , π → [−1, 1] ist streng monoton wachsend.
1 sin π π
2
2
− ,
2 2
2 cos : [0, π] → [−1, 1] ist streng monoton fallend.
[0,π]
: − π , π → ist streng monoton wachsend.
3 tan − π2 , π2
4
cot
]0,π[
:]0, π[ →
2
2
R
R ist streng monoton fallend.
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Trigonometrie
5.7 Definition: Arcusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen werden Arcusfunktionen
genannt und sind
1. arcsin : [−1, 1] → − π2 , π2
2. arccos : [−1, 1] → [0, π]
3. arctan : → − π2 , π2
4. arccot : → 0, π[
R
R
Die Graphen der Arcusfunktionen sehen wie folgt aus (siehe Bemerkung
??):
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Trigonometrie
y
y
y = arccos x
y = arcsin x
π
2
π
y = arccot x
π
4
x
− π2
π
2
y = arctan x
1
x
− π2
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Trigonometrie
Beim Rechnen mit den Winkelfunktionen sind folgende Additionstheoreme
sehr nützlich:
5.8 Satz: Additionstheoreme
1 sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
2
3
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x ± tan y
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
Daraus erhält man dann
5.9 Folgerung: Doppelte Winkel
1. sin(2x) = 2 sin x cos x
2. cos(2x) = cos2 x − sin2 x
2 tan x
3. tan(2x) =
1 − tan2 x
4. cos2 x = 12 1 + cos(2x) und sin2 x =
1
2
1 − cos(2x)
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Trigonometrie
Eine kleine Beweisskizze für die Additionstheoreme:
sin x cos y
cos x sin y
x
cos y
cos x cos y
x y
sin x sin y
sin y
1
x+y
cos(x + y)
sin(x + y)
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Trigonometrie
Und nun noch ein paar spezielle Werte der Winkelfunktionen (und mit den
Additionstheoremen und der Periodizität dann natürlich weitere).
x in Grad
0
30◦
45◦
60◦
90◦
x in Rad
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
cos x
tan x
cotx
1
√
1
0
√
1
−
1
2
2
3
3
3
√
√
1
2
2
2
√
3
1
1
2
0
−
90◦
√
4
2
√
3
1
3
√
1
3 3
30◦
√
1
2
45◦
√
2
2
60◦
√
3
2
√
1
1
2
0
Eselsbrücke für die Sinus-Werte:
x in Grad
sin x
0
√
0
2
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