Mengen - Mathematik, TU Dortmund

Vorkurs Mathematik B
Dr. Thorsten Camps
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
5. September 2011
Mengen
Definition (Menge)
Wir verstehen unter einer Menge eine Zusammenfassung von
unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen die
Elemente der Menge.
Beschreibung von Mengen durch
1
2
Aufzählen aller Elemente mit Mengenklammern {. . .},
Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft E .
Schreibweise:
{ x | x hat Eigenschaft E } oder { x : x hat Eigenschaft E }
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Mengen
Beispiele:
N := {1, 2, 3, 4, . . . } : Menge der natürlichen Zahlen,
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . . } : Menge, deren Elemente die Zahl 0 und die
natürlichen Zahlen sind,
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } : Menge der ganzen Zahlen,
Q := ba | a, b ganze Zahlen, b > 0 : Menge der rationalen Zahlen,
R : Menge der reellen Zahlen,
C : Menge der komplexen Zahlen,
∅ : leere Menge; das ist die Menge, die kein Element enthält.
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Mengen
Ist a ein Objekt und M eine Menge, so führen wir die folgenden kurzen
symbolischen Schreibweisen ein, um auszudrücken, ob das Objekt Element
der Menge M ist oder nicht:
a ∈ M bedeutet: a ist Element von M,
a∈
/ M bedeutet: a ist nicht Element von M.
Für jedes Objekt a gilt genau einer dieser beiden Fälle.
Es gibt keine Häufigkeiten, wie oft a in M ist.
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Mengen
Zwei weitere Beispiele:
1) Wie kann man die ganzen Zahlen durch charakterisierende
Eigenschaften beschreiben?
Für jede ganze Zahl a gilt zumindest einer der beiden Fälle:
a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0,
−a ist eine natürliche Zahl oder gleich 0.
Für 0 gelten sogar beide Fälle. Für −3 gilt z.B. −(−3) = 3 ∈ N0 .
Also bei Verwendung des Symbols N0 :
Z = {a | a ∈ N0 oder − a ∈ N0 }.
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Mengen
2) Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur von 1 und sich
selbst geteilt wird. Die Menge aller Primzahlen P ist also schreibbar als
P := {a | a ∈ N, a > 1, nur 1 und a teilen a}.
Ein Aussagenteil mit ∈“ kann dabei vor |“ gezogen werden:
”
”
P := {a ∈ N | a > 1, nur 1 und a teilen a}.
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Mengen
Definition (Mengenoperationen)
Es seien M und N Mengen.
1
Die Vereinigung M ∪ N besteht aus allen Elementen, die in M
oder in N (oder in beiden Mengen) enthalten sind, d.h.
M ∪ N := { x | x ∈ M oder x ∈ N }.
2
Der Durchschnitt M ∩ N besteht aus allen Elementen, die in M
und (gleichzeitig) in N liegen, d.h.
M ∩ N := { x | x ∈ M und x ∈ N }.
3
Das Komplement M { oder {M (in der Grundmenge G) besteht aus
allen Elementen von G, die nicht in M liegen, d.h.
M { = {M := { x ∈ G | x ∈
/ M }.
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Mengen
Definition
4
Die Differenz M \ N besteht aus allen Elementen von M, die nicht
in N liegen, d.h.
M \ N := { x | x ∈ M und x ∈
/ N }.
5
M heißt Teilmenge von N (M ⊂ N), falls jedes Element aus M
auch in N liegt.
6
M = N gilt genau dann, wenn M ⊂ N und N ⊂ M ist.
Andere Schreibweisen: M ⊆ N statt M ⊂ N.
Stets ist ∅ ⊂ M ⊂ M.
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: M ist echte Teilmenge von N (M ⊆ N, M &= N).
Mengen
N ⊃M
Operationen für Mengen M, N, . . .:
"
• Durchschnitt: M ∩ N := {x " x ∈ M und x ∈ N}
"
• Vereinigung:
M ∪ N := {x " x ∈ M oder x ∈ N}
"
• Differenz:
M \ N := {x " x ∈ M und x ∈
/ N}.
Ist M ⊇ N, so heißt M \ N auch das Komplement von N (in M).
Darstellung von Mengen in Venn–Diagrammen:
Veranschaulichung durch sog. Venn-Diagramme:
N
N
M
M
N
⊃
M
M
N
∪
N
N
M
M
M
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∩
N
M \ N
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Mengen
Satz (Rechenregeln für Mengenoperationen)
1
2
M ∪N =N ∪M
M ∩N =N ∩M
3
{{M = M
4
(M ∪ N) ∪ P = M ∪ (N ∪ P)
5
6
7
8
9
(M ∩ N) ∩ P = M ∩ (N ∩ P)
M ∪ (N ∩ P) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ P)
M ∩ (N ∪ P) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ P)
{(M ∪ N) = {M ∩ {N
{(M ∩ N) = {M ∪ {N
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Mengen
Definition (Kartesisches Produkt)
Das kartesische Produkt von M und N, bezeichnet mit M × N, ist
die Menge aller geordneten Paare (m, n) mit m ∈ M und n ∈ N, d.h.
M × N := { (m, n) | m ∈ M und n ∈ N }.
G2
N
M ×N
M
G1
Schreibweise: M × M = M 2 , M × M × M = M 3 usw.
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Mengen
Definition
Ist A eine Eigenschaft, die für die Elemente einer Menge M sinnvoll ist, so
schreibt man:
∀ x ∈ M : Eigenschaft A“ (sprich: für alle x ∈ M gilt Eigenschaft A),
”
wenn jedes Element von M die Eigenschaft A hat.
∃ x ∈ M : Eigenschaft A“ (sprich: es gibt ein x ∈ M mit Eigenschaft A),
”
falls mindestens ein Element von M die Eigenschaft A hat.
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