ML 2 WS 2014/15

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Musterlösung zum Kurs 42110,
EA zu KE 2, WS 2014/15
Musterlösung zur Einsendearbeit zum
Kurs
42110
„Preisbildung auf unvollkommenen
Märkten und allgemeines Gleichgewicht“,
Kurseinheit
2
Die folgende Lösungsskizze soll Ihnen einen Anhaltspunkt geben, wie die Bearbeitung der
Aufgaben aussehen könnte. Des Weiteren sind einige Stichpunkte angegeben, welche behandelt
werden sollten. Die Lösungen zu den Rechenaufgaben sind sehr knapp gehalten. Beachten Sie
bitte, dass in der Klausur Ihre Ergebnisse nachvollziehbar sein müssen.
Aufgabe 1
(100 Punkte)
Ein typisches Beispiel für Netzwerkgüter ist der Mobilfunk. Das Marktforschungsinstitut Rings
und dessen Leiter Würgi haben herausgefunden, dass die Marktnachfrage nach Mobilfunk in
Telefonica durch die Funktion P(D) = 20D − 20D2 beschrieben werden kann, wobei P den
Anschlusspreis und D die Marktdurchdringung bezeichnen. Da Telefonica rückständig ist,
können Sie davon ausgehen, dass es zunächst nur einen Mobilfunkanbieter gibt, dessen Kosten
sich auf K(D) = 2D belaufen.
Hinweise: Überprüfen Sie im Rahmen der Marginalanalyse in allen folgenden Teilaufgaben
auch die Bedingungen zweiter Ordnung. Zur Lösung der quadratischen Gleichungen
in allen folgenden Teilaufgaben können Sie entweder die quadratische Ergänzung
oder die folgende Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden. Gegeben sei eine quadratische Gleichung der Form 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 mit 𝑎𝑎 ≠ 0. So lauten die Lösungen dieser Gleichung: 𝑥𝑥1,2 =
−𝑏𝑏±√𝑏𝑏 2 −4𝑎𝑎𝑎𝑎
2𝑎𝑎
.
a) Bestimmen Sie bitte die Marktdurchdringung und den realisierten Preis im Gleichgewicht,
wenn es in Telefonica nur den einen Anbieter für Mobilfunk gibt. (35 Punkte)
Zunächst ist die Gewinnfunktion des Monopolisten aufzustellen. Diese ergibt sich durch
Subtraktion der Kosten von den Erlösen zu:
2
GM (DM ) = P(DM )DM − 2DM = �20DM − 20DM − 2� DM
Zur Bestimmung des Gewinnmaximums muss die erste Ableitung obiger Gewinnfunktion
ermittelt werden. Diese wird sodann gleich Null gesetzt (notwendige Bedingung).
∂GM (DM )
!
2
= 40DM − 60DM − 2 = 0
M
∂D
Auflösen der Bedingung erster Ordnung nach DM liefert: D1M = 0,6122
DM
2 = 0,0545.
∨
Nun ist noch die hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum zu überprüfen. Damit an
der Stelle DM
i mit i = {1,2} ein Gewinnmaximum vorliegt muss
∂2 GM �DM �
𝜕𝜕DM
2
= 40 − 120DM
M
ausgewertet an der Stelle DM
i kleiner als Null sein. Einsetzen von Di ergibt, dass dieses nur für
M
D1 = 0,6122 der Fall ist.
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⇒ D1M = 0,6122
∧
P M = P(D1M ) = P(0,6122) = 20 ∙ (0,6122 − 0,61222 ) = 4,7482
Im Monopolfall beläuft sich die Marktdurchdringung im Gleichgewicht auf 61,22% und der
dazugehörige Preis beträgt 4,75 €.
b) Da die Mobilfunkeinführung in Telefonica erfolgreich verlaufen ist, treten weitere Anbieter
in den Markt ein. Deren Grenzkosten belaufen sich ebenfalls auf 2. Wie lauten Preis und
Marktdurchdringung im Gleichgewicht nun, wenn Sie von vollständiger Konkurrenz
ausgehen? (35 Punkte)
Bei vollständiger Konkurrenz stellt sich im Gleichgewicht ein Preis in Höhe der Grenzkosten
ein.
⇒ 20(D − D2 ) = 2
Auflösen des Ausdrucks nach D liefert: D1 = 0,8873
∨
D2 = 0,1127.
Bei D2 liegt ein instabiles Gleichgewicht vor, da der sub-marginale Nutzer einen Anreiz hat,
dem Mobilfunknetz beizutreten, bis dass die Marktdurchdringung D1 erreicht wird. Bei D1 handelt es sich somit um ein stabiles Gleichgewicht.
⇒ DVK = D1 = 0,8873
∧
P(D1 ) = 2
Somit beläuft sich die Marktdurchdringung im Gleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz
auf 88,73% und der dazugehörige Preis beträgt 2 €.
c) Erläutern Sie bitte kurz den Begriff der kritischen Masse. Bestimmen Sie diese sowohl für
das Monopol als auch für die vollständige Konkurrenz. (30 Punkte)
Unter der kritischen Masse wird diejenige Menge an Anschlüssen verstanden, die notwendig ist,
damit sich zumindest für die Nachfrager der Anschluss lohnt. Die kritische Masse, die
notwendig ist, um eine positive Rückkopplung auszulösen, ist umso geringer, je niedriger der
Preis für das betreffende Netzwerkgut im Gleichgewicht ist.
Betrachte zunächst den Fall des Monopols:
Der Preis im Monopol beläuft sich laut Aufgabenteil a) auf P M = 4,7482 €. Die kritische
Masse ergibt sich durch Lösen der folgenden quadratischen Gleichung:
20(D − D2 ) = 4,7482
⇔ D3 = 0,6122
∨
D4 = 0,3878
Im Falle des Monopols beläuft sich die kritische Masse auf DM
krit.
Betrachte jetzt den Fall der vollkommenen Konkurrenz:
Masse
= 0,3878.
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Aus Teilaufgabe b) wissen wir, dass die quadratische Gleichung 20(D − D2 ) = 2 die Lösungen
D1 = 0,8873 und D2 = 0,1127 besitzt. Die kritische Masse beläuft sich im Falle der
vollkommenen Konkurrenz auf DKkrit. Masse = 0,1127.