Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
10. Vorlesung
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Statistik - Schätzfunktionen
X ist eine ZG ,→ das untersuchte statistische Merkmal, welches
von einem unbekannten Parameter θ abhängt
x1 , . . . , xn ,→ statistische Daten (Beobachtungen,
Stichprobenwerte) für das Merkmal X , die anhand einer Stichprobe
erhalten wurden
X1 , . . . , Xn sind Stichprobenvariablen ,→ sind unabhängige ZG
mit derselben Verteilung wie X .
g (X1 , . . . , Xn ) ,→ Schätzfunktion (ist eine ZG; ist eine Funktion
die von den Stichprobenvariablen abhängt)
Die Schätzfunktion g (X1 , . . . , Xn ) ist erwartungstreu für den
unbekannten Parameter θ, wenn
E (g (X1 , . . . , Xn )) = θ.
Ein Schätzer ist dann erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert
gleich dem zu schätzenden Parameter ist.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Die Schätzfunktion g (X1 , . . . , Xn ) ist asymptotisch
erwartungstreu für den unbekannten Parameter θ, wenn
lim E (g (X1 , . . . , Xn )) = θ.
n→∞
Die Schätzfunktion g (X1 , . . . , Xn ) ist konsistent für den
unbekannten Parameter θ, wenn
f .s.
g (X1 , . . . , Xn ) → θ.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Beispiele
I Stichprobenmittel (empirischer Mittelwert)
X̄n =
1
(X1 + · · · + Xn )
n
ist ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für den
Erwartungswert E (X ) des Merkmals X
I Stichprobenvarianz (empirische Varianz)
n
S̃n2
1 X
(Xk − X̄n )2
=
n−1
k=1
ist ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für die Varianz
V (X ) des Merkmals X
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Übung: Ist
n
g (X1 , . . . , Xn ) =
1X
(Xk − X̄n )2
n
k=1
ein asymptotisch erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für
die Varianz V (X ) des Merkmals X ?
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
I empirische Verteilungsfunktion F̂n : R × Ω → R
F̂n (x) =
#{i ∈ {1, ..., n} : Xi ≤ x}
,x ∈ R
n
ist eine ZG welche die Verteilungsfunktion F von X approximiert.
Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion
Für alle x ∈ R gilt
E (F̂n (x)) = F (x),
V (F̂n (x)) =
1
F (x)(1 − F (x)),
n
f .s.
F̂n (x) → F (x).
⇒ F̂n (x) ist ein erwartungstreuer und konsistenter Schätzer für F (x)!
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Seien g1 (X1 , . . . , Xn ) und g2 (X1 , . . . , Xn ) erwartungstreue
Schätzfunktionen. g1 (X1 , . . . , Xn ) ist effizienter (wirksamer) als
g2 (X1 , . . . , Xn ), wenn V (g1 ) < V (g2 ).
Übung 1: X̄n oder X̄2n ist effizienter?
Übung 2: Ist
1
g (X1 , . . . , Xn ) = (X1 + Xn ) erwartungstreu für θ = E (X )?
2
Ist dieser Schätzer effizienter als X̄n ?
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Verteilung von Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz
Welches ist die Verteilung des Stichprobenmittels X̄n und der
Stichprobenvarianz S̃n2 bei normalverteilten Stichprobenvariablen
X1 , . . . , Xn ∼ N (m, σ 2 )?
Satz 21
Sind X1 , . . . , Xn ∼ N (m, σ 2 ) unabhängige ZG
σ2
.
⇒ X̄n ∼ N m,
n
Satz 22
Sind X1 , . . . , Xn ∼ N (m, σ 2 ) unabhängige ZG
⇒
n−1 2
S̃ ∼ χ2 (n − 1).
σ2 n
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Anwendung des Satzes 21:
Sei n = 30; X1 , . . . , Xn ∼ N (6, 1) die Noten der Schüler einer Klasse in
einem bestimmten Fach. Man simuliere in Matlab Werte von X̄n = die
Mittelnote der Klasse in diesem Fach, bzw. von S̃n2 = die
Stichprobenvarianz. Man approximiere in Matlab P(5 ≤ X̄n ≤ 6).
Satz 21 ⇒ X̄n ∼ N
1
6,
30
⇒ P(5 ≤ X̄n ≤ 6) ≈ FN(6, 1 ) (6)−FN(6, 1 ) (5).
30
30
in Matlab:
n=30;
x=normrnd(6,1,1,n); % Daten = Noten N (6, 1)
m=mean(x); % Mittelwert;Stichprobenmittel
sigma=var(x); % Stichprobenvarianz
p=normcdf(6,6,sqrt(1/30))-normcdf(5,6,sqrt(1/30)) % p=P(5 ≤ X̄n ≤ 6)
⇒ p=0.5 ⇒ in 50% der Fälle ist die Mittelnote zwischen 5 und 6!
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Satz 23
Sind X1 , . . . , Xn ∼ N (m, σ 2 ) unabhängige ZG
⇒ X̄n und S̃n2 sind unabhängige ZG und
X̄n − m
S̃n
√
n
∼ Student(n − 1).
Student Verteilung : X ∼Student(n) hat die Dichtefunktion
− n+1
2
Γ n+1
x2
2
1+
f (x) = √
,x ∈ R
n
n
nπΓ 2
in Matlab tpdf (x, n) berechnet den Wert der Dichtefunktion
f (x) der Student(n) Verteilung
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