8 Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra/Analytische

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
Aufgabe 1
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
I 2x − y + 4z = 16
II 3x + y + z = 4
III 5x + 3y − z = − 4
a) Lösen Sie das Gleichungssystem.
b) Geben Sie für das lineare Gleichungssystem und für seine Lösung eine geometrische Interpretation an.
Aufgabe 2
Gegeben sind die Punkte A(1 | 2 | –1), B(–3 | 6 | –3) und D(3 | 6 | 3).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABD rechtwinklig-gleichschenklig ist.
b) Ergänzen Sie das Dreieck ABD durch einen weiteren Punkt C zu einem Parallelogramm ABCD.
Erläutern Sie, um welche besondere Art von Parallelogramm es sich handelt.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Punkte A(3 | –1 | 0), B(4 | –1 | 1) und C(5 | 1 | –2).
a) Die Punkte A, B und C liegen in einer Ebene E1.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E1 in Parameterform.
b) Von einer weiteren Ebene E2 lautet die Koordinatengleichung E2: x1 + 2x2 − x3 = 1.
Überprüfen Sie, ob der Normalenvektor der Ebene E2 senkrecht zu den Spannvektoren der Ebene E1 steht, und geben Sie an, welche Folgerung sich daraus für die
Lage der beiden Ebenen zueinander ergibt.
c) Vom Punkt P(2 | − 1 | 3) wird das Lot auf die Ebene E2 gefällt.
Berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes und zeigen Sie anschließend,
dass der Punkt P von der Ebene E2 den Abstand 23 6 LE besitzt.
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Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte A(1 | 3 | –2), B(1 | 0 | 1) und C(5 | 2 | –1).
a) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C nicht alle auf einer gemeinsamen Geraden
liegen, und weisen Sie nach, dass die Ebene E, die durch die Punkte A, B und C
festgelegt wird, die Gleichung E: x2 + x3 = 1 besitzt.
b) Geben Sie mit Begründung an, welche Lage die Gerade durch die Punkte
R(1 | 2 | –1) und S(2 | 0 | 1) zur Ebene E hat.
Hinweise und Tipps
Aufgabe 1
r a) Eliminieren Sie durch geeignete Addition oder Subtraktion von Gleichungen einzelne Variablen.
r
Überlegen Sie, welche Bedeutung es hat, wenn eine Gleichung nach der Umformung eine wahre Aussage ist, und welche Auswirkung dies für die Anzahl der
Lösungen hat.
r
Drücken Sie eine Variable durch einen Parameter aus und lösen Sie das Gleichungssystem in Abhängigkeit dieses Parameters.
r b) Überlegen Sie, welche geometrischen Objekte im Raum durch die einzelnen Gleichungen beschrieben werden.
r
Welche Lagebeziehung können diese geometrischen Objekte zueinander haben?
Aufgabe 2
⎛ v1 ⎞
r a) Für die Länge eines Vektors v = ⎜ v 2 ⎟ gilt: | v | = v12 + v 2 2 + v 3 2
⎜ ⎟
⎝ v3 ⎠
r
r
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Stehen die
beiden gleich langen Seiten zudem senkrecht aufeinander, handelt es sich um ein
rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck.
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null
ist.
r b) Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel, die Diagonalen halbieren sich.
r
Denken Sie daran, dass das Ausgangsdreieck rechtwinklig-gleichschenklig ist.
r
Ein Viereck mit gleich langen Seiten und einem rechten Winkel ist ein Quadrat.
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Aufgabe 3
r a) Stellen Sie mit den drei vorgegebenen Punkten eine Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung auf.
r b) Zwei Vektoren stehen dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der
Vektoren gleich null ist.
r
Zwei Ebenen liegen parallel zueinander, wenn der Normalenvektor der einen
Ebene senkrecht auf beiden Spannvektoren der zweiten Ebene steht.
r c) Stellen Sie mit dem Punkt P und mit dem Normalenvektor der Ebene E2 die
Punkt-Richtungsform der Geradengleichung der Lotgeraden auf.
r
Setzen Sie die Koordinatengleichungen der Lotgeraden in die Ebenengleichung
von E2 ein.
r
r
r
Es ergibt sich eine Gleichung mit einer Variablen. Lösen Sie diese nach der Variablen auf.
Vergessen Sie nicht, dass die Koordinaten des Lotfußpunktes gesucht sind.
Der gesuchte Abstand entspricht dem Abstand des Punktes P zum Lotfußpunkt.
Aufgabe 4
r a) Stellen Sie mithilfe von zwei der drei gegebenen Punkte die Punkt-Richtungsform der Geraden durch diese Punkte auf.
r
Überprüfen Sie mithilfe einer Punktprobe, ob der dritte Punkt auf dieser Geraden
liegt.
r
Beachten Sie, dass eine Ebene durch drei Punkte festgelegt ist, die nicht auf einer
Geraden liegen.
r
Überprüfen Sie, ob die Koordinaten der Punkte die Ebenengleichung erfüllen.
r
Alternativ: Stellen Sie mithilfe der drei Punkte zunächst die Drei-Punkte-Form
der Ebenengleichung auf und überführen Sie diese anschließend in Koordinatenform.
r
Kontrollieren Sie, ob die erhaltene Ebenengleichung mit der vorgegebenen Gleichung äquivalent ist.
r b) Es gibt drei Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen zueinander:
Entweder liegt die Gerade in der Ebene, die Gerade verläuft echt parallel zur Ebene oder die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
r
Überprüfen Sie, wie der Normalenvektor der Ebene zum Richtungsvektor der Geraden liegt, und entscheiden Sie, welche Folgerung sich daraus für die Lage der
Geraden zur Ebene ergibt.
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