Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten

Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS
Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 5
Stand: 01.06.2016
Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse,
Fähigkeiten und Fertigkeiten – Lernbereich M 5 1.1
Jahrgangsstufe
5
Fach
Mathematik
Zeitrahmen
je Aufgabe 5 bis 10 Minuten
Benötigtes Material
pro Schülerin und Schüler eine Aufgabenstellung
(alternativ: Projektion der Aufgabenstellung, z. B. mittels Computer &
Beamer oder Dokumentenkamera & Beamer)
Kompetenzerwartungen
M 5 1 Natürliche und ganze Zahlen – Addition und Subtraktion
M 5 1.1 Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen
Die Schülerinnen und Schüler…
 erläutern, warum die Menge der natürlichen Zahlen kein größtes Element besitzt, und benennen auch Zahlen über eine Million sicher.
 verstehen das Zehnersystem als Stellenwertsystem und beschreiben (z. B. auch in Abgrenzung zum römischen Zahlensystem), was ein Stellenwertsystem ausmacht.
 lesen natürliche Zahlen am Zahlenstrahl ab und stellen sie unter Wahl einer geeigneten
Skalierung am Zahlenstrahl dar.
 runden natürliche Zahlen und wenden dies in Sachzusammenhängen sinnvoll an.
 verstehen die Notwendigkeit, die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen
Zahlen zu erweitern, und beschreiben Sachsituationen, in denen negative ganze Zahlen
von Bedeutung sind.
 ordnen ganze Zahlen der Größe nach, stellen sie an einer Zahlengeraden dar und veranschaulichen dort ihre Beträge.
 überprüfen Aussagen (z. B.: Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.) auf ihre Richtigkeit hin und verwenden Gegenbeispiele, um Aussagen zu
widerlegen.
Hinweise
Die Aufgaben unterstützen das Anliegen, grundlegende Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten systematisch zu wiederholen, zu üben und zu vertiefen, und werden – vorerst in der
Jgst. 5 – für jeden Lernbereich angeboten.
Die Aufgaben im ersten Abschnitt beziehen sich jeweils auf grundlegende Lehrplaninhalte
auch vorhergehender Jahrgangsstufen (inklusive der Grundschule), die eine wesentliche
Grundlage für einen erfolgreichen Kompetenzerwerb in diesem Lernbereich darstellen (z. B.
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Lernbereich „M5 2 Geometrische Figuren und Lagebeziehungen“: Aufgabe zur aus der
Grundschule bekannten Achsensymmetrie und deren Verwendung).
Im zweiten Abschnitt werden jeweils ergänzend Aufgaben zu grundlegenden Lehrplaninhalten vorhergehender Jahrgangsstufen angeboten, die keinen unmittelbaren Bezug zum jeweiligen Lernbereich oder gar zur gesamten Jahrgangsstufe haben (z. B. Lernbereich „M5 1.1
Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen“: Aufgabe zum aus der
Grundschule bekannten Vergleichen und Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten).
Die Anzahl der zu einem Lernbereich angebotenen Aufgaben ist jeweils verhältnismäßig
klein gewählt. Dies soll den Lehrkräften eine zeitaufwändige Sichtung ersparen und einen
unmittelbaren Einsatz der Aufgaben ermöglichen.
Material zur Aufgabe
In der ergänzend zum Download angebotenen zip-Datei befindet sich eine editierbare Version der Aufgaben (Word-Datei).
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Aufgaben
1
Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lernbereich M5 1.1,
„Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen“
Aufgabe 1 (Muster in Zahlenfolgen erkennen)
a) Schreibe jeweils die nächsten fünf Zahlen der Zahlenfolge auf.
(1) 128; 64;
Regel: Halbiere immer die letzte Zahl.
(2) 1; 2; 3; 5;
Regel: Jede weitere Zahl ist die Summe der
beiden Zahlen davor.
b) Finde für die folgenden Zahlenfolgen jeweils eine passende Regel.
(3) 7; 20; 33; 46; …
Regel:
(4) 3; 6; 12; 24; …
Regel:
(5) 96; 84; 72; 60; …
Regel:
(6) 1; 3; 7; 15; 31; 63; …
Regel:
c) Entscheide für jede der Zahlenfolgen (1) bis (6), ob du sie – zumindest in Gedanken –
unendlich weit fortsetzen könntest. In den Fällen, in denen du dies nicht könntest, erläutere den Grund dafür.
Aufgabe 2 (die Stellenwerttafel nutzen)
In einer Stellenwerttafel hat Lena mit Plättchen eine Zahl gelegt.
Million
Hunderttausend
Zehntausend
Tausend
Hundert
Zehn
Eins
M
HT
ZT
T
H
Z
E
a) Schreibe Lenas Zahl in Ziffern.
b) Wähle eines der Plättchen aus und lege es in eine andere Spalte, so dass eine möglichst
große Zahl entsteht. Schreibe sie in Ziffern.
c) Lege bei Lenas Zahl zwei Plättchen aus einer Spalte in die Spalte links davon. Schreibe
alle Zahlen, die auf diese Weise entstehen können, in Ziffern.
d) Lena sagt: „Wenn ich eines der Plättchen um eine Spalte nach rechts verschiebe, dann
wird die Zahl in jedem Fall um eine Stufenzahl kleiner.“ Hat Lena recht? Begründe deine
Antwort.
Hinweis: Stufenzahlen sind die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10 000; usw.
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Aufgabe 3 (Zahlen der Größe nach ordnen)
a) Ordne die Zahlen der Größe nach, beginne mit der kleinsten.
725 314; 723 514; 726 014; 725 341; 725 998
b) Gib fünf Vielfache von 50 an, die kleiner als 50 784 und größer als 49 872 sind.
c) Gib jeweils alle Ziffern an, die du für das Kästchen setzen kannst, sodass die Ungleichung
erfüllt ist.
(1) 7 HT
□ ZT
8T 5E
(2) 2 HT 3 T 7 H 5 E
>
<
7 HT 7 ZT 9 H 8 E
2 HT 3 ZT
□H
2E
d) Untersuche, ob die Aussage richtig ist: „Von zwei Zahlen ist immer diejenige Zahl die größere, die die größere Quersumme hat.“
Hinweis: Die Summe aller Ziffern einer Zahl nennt man die Quersumme der Zahl.
Aufgabe 4 (Zahlen am Zahlenstrahl darstellen)
a) Stelle die Zahlen 600, 2500, 3800 und 6300 am Zahlenstrahl dar.
b) Lies die vier markierten Zahlen möglichst genau ab und notiere deine Ergebnisse.
c) Hier fehlen die Markierungsstriche für 100 000, 200 000, 300 000 usw. Füge diese am
Zahlenstrahl hinzu.
Aufgabe 5 (Überschlagsrechnungen im Sachzusammenhang durchführen)
Führe jeweils eine sinnvolle Überschlagsrechnung durch.
Beispiel: Tanja Tipping versendete im letzten Monat 297 SMS. Wie viel musste Sie dafür
bezahlen, wenn jede Nachricht 19 Cent kostet? Überschlag: 300  20 ct  6000 ct  60 €
a) Am ersten Tag der Klassenfahrt wanderte Sportlehrerin Meike Marsch mit ihren Schülerinnen insgesamt 3 Stunden und 8 Minuten. Wie lang war ihr Weg, wenn sie im Durchschnitt vier Kilometer pro Stunde zurücklegten?
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b) Beim letzten Heimspiel bedankte sich Stadionsprecher Erni Efzeh bei 35 913 Besuchern.
Jeder vierte Zuschauer hatte beim Einlass eine Stadionzeitschrift erhalten. Wie viele Zeitschriften waren verteilt worden?
c) Für seinen berühmten Apfelkuchen benötigt Berni Backblech 950 Gramm Äpfel. Im Herbst
erntete er in seinem Garten fast 60 Kilogramm Äpfel, die er komplett für seine Kuchen
verwendete. Auf den Wochenmärkten verkaufte er sie für 1,95 € pro Stück, wobei er aus
jedem Kuchen zwölf Stücke schnitt. Wie hoch waren dadurch seine Einnahmen?
Aufgabe 6 (Platzhalteraufgaben mithilfe von Umkehraufgaben lösen)
a) Finde die Zahlen, für die die Kästchen stehen. Bilde dazu jeweils die passende Umkehrung.
Beispiel: 17   41 Umkehrung:
 41  17 und somit
 24
(1) 43 
 98
(2)
 57  122
(3)
 67  39
b) Beschreibe die Schwierigkeit, die sich bei folgender Platzhalteraufgabe ergibt:
2
 28  17
Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lernbereich
Aufgabe 7 (Gewinnchancen einschätzen)
Auf dem Tisch liegen die drei Säckchen (1), (2) und
(3) mit roten und schwarzen Murmeln. Von außen
sind die Inhalte der Säckchen nicht zu erkennen.
Stelle dir vor, du wählst ein Säckchen zufällig aus
und ziehst daraus ohne hineinzuschauen eine Murmel.
Gib zu jeder der folgenden Aussagen (A) bis (G) an,
welches der Säckchen am besten zu der Aussage
passt oder ob keines der Säckchen dazu passt.
(A) Ich ziehe sicher eine rote Murmel.
(B) Ich ziehe sicher eine schwarze Murmel.
(C) Wahrscheinlich ziehe ich eine schwarze Murmel.
(D) Es ist unwahrscheinlich, dass ich eine rote Murmel ziehe.
(E) Es ist unmöglich, dass ich eine rote Murmel ziehe.
(F) Es ist unmöglich, dass ich eine schwarze Murmel ziehe.
(G) Die Chancen stehen „50:50“, dass ich eine rote oder eine schwarze Murmel ziehe.
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Aufgabe 8 (Rauminhalte vergleichen)
Die beiden abgebildeten Körper bestehen aus je sieben würfelförmigen Bausteinen.
a) Körper 1 soll mit möglichst wenigen solchen Bausteinen zu
einem Quader ergänzt werden. Gib an, wie viele Bausteine du
hinzufügen musst.
b) Körper 2 soll – ebenfalls mit möglichst wenigen solchen Bausteinen – zu einem Würfel ergänzt werden. Gib an, wie viele
Bausteine du hinzufügen musst.
c) Julia vermutet, dass der Würfel zu Körper 2 einen größeren
Rauminhalt besitzt als der Quader zu Körper 1. Untersuche,
ob Julias Vermutung richtig ist.
d) Nun soll auch Körper 1 mit möglichst wenigen dieser Bausteine zu einem Würfel ergänzt
werden. Bestimme die Anzahl der Bausteine, aus denen dieser Würfel besteht.
e) Untersuche, ob es einen Würfel gibt, der aus genau 100 gleich großen würfelförmigen
Bausteinen aufgebaut ist. Begründe deine Antwort.
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Lösungshinweise
Die Lösungshinweise dienen in erster Linie der Unterstützung der Lehrkräfte; sie enthalten
keine vollständigen Lösungen der Aufgaben und gehen i. d. R. nicht auf mögliche gleichwertige alternative Lösungswege ein.
zu Aufgabe 1
a) (1) 32; 16; 8; 4; 2
(2) 8; 13; 21; 34; 55
b) z. B.:
(3) Regel:
(4) Regel:
(5) Regel:
(6) Regel:
Addiere immer 13.
Verdopple immer die letzte Zahl.
Subtrahiere immer 12.
Verdopple immer die letzte Zahl und addiere zum Ergebnis 1.
c) z. B.:
Bei Folge (1) ist irgendwann einmal die 1 erreicht und 1 kann man nicht halbieren.
Bei Folge (5) ist irgendwann einmal die 0 erreicht und Zahlen kleiner als Null gibt es nicht.
(Schülerinnen und Schüler, die bereits Grundvorstellungen von Bruchzahlen und negativen Zahlen haben, können eine andere Meinung vertreten. Diese Offenheit bezüglich des
Ergebnisses ist durchaus erwünscht, da sie die Schülerinnen und Schüler zum Austausch
von Argumenten anregen kann.)
zu Aufgabe 2
a) 230 462
b) 1 230 461
c) 230 480, 230 642, 232 262, 410 462, 2 030 462
d) Lena hat nicht recht. Zum Beispiel ist die Zahl 230 453 um 9 kleiner als die Ausgangszahl.
zu Aufgabe 3
a) 723 514, 725 314, 725 341, 725 998, 726 014
b) z. B.: 49 900, 49 950, 50 000, 50 050, 50 100
c) (1) 7, 8, 9
(2) alle Ziffern möglich
d) Die Aussage ist nicht richtig. Beispiel: Die Zahl 21 ist zwar größer als die Zahl 13, hat aber
die kleinere Quersumme.
zu Aufgabe 4
a)
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b) Zahl 1: etwa 17 000 Zahl 2: etwa 22 500 Zahl 3: etwa 24 750 Zahl 4: etwa 28 500
c) Nach dem vierten Kästchen steht der Markierungsstrich für 100 000, nach dem achten
Kästchen der für 200 000 usw.
zu Aufgabe 5
a) Überschlag: 3  4km  12km
b) Überschlag: Ein Viertel von 36 000 Besuchern sind 9000 Besucher. Entsprechend waren
etwa 9000 Zeitschriften verteilt worden.
c) Überschlag: z. B.: 60  10  2 €  1200 €
zu Aufgabe 6
a) (1)
(2)
(3)
 98  43 und somit  55
 122  57 und somit  65
 39  67 und somit  106
b) Das Ergebnis von 17  28 kann nicht berechnet werden. (Schülerinnen und Schüler, die
bereits eine Grundvorstellung von negativen Zahlen haben, können eine andere Meinung
vertreten, vgl. Aufgabe 1c.)
zu Aufgabe 7
(A) (2)
(B) Kein Säckchen passt.
(E) Kein Säckchen passt.
(F) (2)
(C) (3)
(D) (3)
(G) (1)
zu Aufgabe 8
a) 17 Bausteine
b) 20 Bausteine
c) Da der Quader aus 24 und der Würfel aus 27 Bausteinen bestehen, ist der Rauminhalt
des Würfels größer und damit Julias Vermutung richtig.
d) 64 Bausteine
e) Anzahl der Bausteine eines 4x4x4-Würfels: 64
Anzahl der Bausteine eines 5x5x5-Würfels: 125
Daher gibt es keinen Würfel, der aus genau 100 gleich großen würfelförmigen Bausteinen
besteht.
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