Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS

Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS
Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 5
Stand: 13.02.2017
Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse,
Fähigkeiten und Fertigkeiten – Lernbereich M 5 3.1
Jahrgangsstufe
5
Fach
Mathematik
Zeitrahmen
je Aufgabe 5 bis 10 Minuten
Benötigtes Material
pro Schülerin und Schüler eine Aufgabenstellung
(alternativ: Projektion der Aufgabenstellung z. B. mithilfe einer Computer-Beamer-Einheit oder per Dokumentenkamera & Beamer)
Kompetenzerwartungen
M 5 3 Natürliche und ganze Zahlen – Multiplikation und Division
M 5 3.1 Multiplikation und Division ganzen Zahlen
Die Schülerinnen und Schüler…
 multiplizieren und dividieren natürliche Zahlen automatisiert schriftlich, auch wenn Faktoren mehr als zwei Stellen haben bzw. Divisoren größer als zehn sind. Ihre Ergebnisse
überprüfen sie durch Abschätzen der Größenordnung kritisch.
 faktorisieren natürliche Zahlen und ermitteln deren Primfaktorzerlegung, wobei sie sich der
Eindeutigkeit dieser Zerlegung bewusst sind; beim Faktorisieren wenden sie auch Regeln
für die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 10 zielgerichtet an. Sie nutzen diese Kenntnisse auch
für Argumentationen, z. B. im Rahmen der Beantwortung alltagsnaher Fragestellungen.
 erkennen, ob in einem realitätsnahen Kontext das Zählprinzip angewendet werden kann,
und nutzen dieses sowie Baumdiagramme zur systematischen Bestimmung von Anzahlen.
 machen die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division ganzer Zahlen altersgemäß plausibel und berechnen die Werte von Produkten und Quotienten ganzer Zahlen, bei
angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf.
 erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwenden von Kommutativ- und Assoziativgesetz ergeben.
 berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und ganzzahligen Basen,
verwenden Zehnerpotenzen, um große natürliche Zahlen situationsangemessen darzustellen, und nutzen Potenzen auch in Sachzusammenhängen (z. B. zur Beschreibung von
Phänomenen, denen ein wiederholtes Verdoppeln zugrunde liegt); sie verfügen über ein
automatisiertes Wissen der Quadratzahlen bis 400.
 lösen Gleichungen der Form a ⋅ x = b, x : a = b und a : x = b, wie in der Grundschule angebahnt, durch systematisches Probieren oder durch Bildung der jeweiligen Umkehraufgabe.
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Hinweise
Die Aufgaben unterstützen das Anliegen, grundlegende Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten systematisch zu wiederholen, zu üben und zu vertiefen, und werden – vorerst in der
Jgst. 5 – für jeden Lernbereich angeboten.
Die Aufgaben im ersten Abschnitt beziehen sich jeweils auf grundlegende Lehrplaninhalte
auch vorhergehender Jahrgangsstufen (inklusive der Grundschule), die eine wesentliche
Grundlage für einen erfolgreichen Kompetenzerwerb in diesem Lernbereich darstellen (z. B.
Lernbereich „M5 2 Geometrische Figuren und Lagebeziehungen“: Aufgabe zur aus der
Grundschule bekannten Achsensymmetrie und deren Verwendung).
Im zweiten Abschnitt werden jeweils ergänzend Aufgaben zu grundlegenden Lehrplaninhalten vorhergehender Jahrgangsstufen angeboten, die keinen unmittelbaren Bezug zum jeweiligen Lernbereich oder gar zur gesamten Jahrgangsstufe haben (z. B. Lernbereich „M5 1.1
Natürliche Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen“: Aufgabe zum aus der
Grundschule bekannten Vergleichen und Einschätzen von Wahrscheinlichkeiten).
Die Anzahl der zu einem Lernbereich angebotenen Aufgaben ist jeweils verhältnismäßig
klein gewählt. Dies soll den Lehrkräften eine zeitaufwändige Sichtung ersparen und einen
unmittelbaren Einsatz der Aufgaben ermöglichen.
Material zur Aufgabe
In der ergänzend zum Download angebotenen zip-Datei befindet sich eine editierbare Version der Aufgaben (Word-Datei).
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Aufgaben
1
Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lernbereich M5 3.1,
„Multiplikation und Division ganzer Zahlen“
Aufgabe 1 (im Kopf rechnen)
Schätze ab, welcher Term den größten und welcher den kleinsten Wert besitzt. Berechne
anschließend die exakten Ergebnisse im Kopf.
a) 9  8
b) 56 : 8
c) 7  12
d) 660 : 22
e) 23  9
f) 192 : 8
Aufgabe 2 (schriftlich multiplizieren)
Löse die Aufgaben schriftlich. Beschreibe jeweils, was das Besondere am Ergebnis ist.
a) 142 857  4
b) 10 288  12
c) 666  37
Aufgabe 3 (schriftlich dividieren)
Löse die Aufgaben schriftlich. Beschreibe, was dir beim Vergleichen der Ergebnisse auffällt.
a) 857 142 : 2
b) 857 142 : 3
c) 999 999 : 7
Aufgabe 4 (Teilbarkeit erkennen)
Begründe ohne zu rechnen, welche der folgenden Zahlen durch 2, welche durch 5 und welche durch 10 ohne Rest teilbar sind.
a) 64
b) 85
c) 210
d) 432
e) 765
Aufgabe 5 (das Einmaleins flexibel anwenden)
Bestimme jeweils die Zahl, die man für den Platzhalter einsetzen muss.
a) 81 :  = 9
b)   8 = 480
c) 1800 : 60 = 
d) 200   = 40 000
Aufgabe 6 (mathematische Zusammenhänge untersuchen und begründen)
Beantworte die Fragen und begründe deine Antworten.
a) Wie verändert sich das Ergebnis beim Multiplizieren zweier Zahlen, wenn man beide Zahlen verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht usw.)?
b) Wie verändert sich das Ergebnis beim Dividieren zweier Zahlen, wenn man beide Zahlen
verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht usw.)?
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Aufgabe 7 (die Struktur des Zehnersystems nutzen)
Der Lehrer Mühlmann möchte seine Klasse eine Weile beschäftigen und stellt die folgende
Aufgabe: „Multipliziere die Zahl 10 zuerst einmal mit sich selbst, dann zweimal mit sich
selbst, dann dreimal mit sich selbst, dann zehnmal und zum Schluss fünfzigmal mit sich
selbst.“ Beschreibe, wie man ganz schnell die Ergebnisse angeben kann.
Aufgabe 8 (die Anzahl verschiedener Möglichkeiten bestimmen)
Tom spielt gerne mit Zahlen. Heute bildet er zweistellige Zahlen. Dabei ist jeweils die Zehnerziffer gerade, die Einerziffer ist ungerade.
a) Schreibe alle Zahlen auf, die Tom auf diese Weise bilden kann. Achte dabei auf eine
sinnvolle Sortierung, damit du keine Zahl vergisst.
b) Beschreibe, wie man die Anzahl der Zahlen von Tom bestimmen könnte, ohne diese alle
aufschreiben zu müssen.
2
Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lernbereich
Aufgabe 9 (die Körperform Quader untersuchen)
In der Abbildung ist ein Quader dargestellt.
a) Du möchtest aus Draht ein Kantenmodell des
Quaders in Originalgröße bauen. Berechne die
Länge des benötigten Drahts.
b) Wie viele Würfel mit einer Kantenlänge von 2 cm
passen in den Quader? Begründe deine Antwort
mit einer passenden Skizze.
2 cm
6 cm
4 cm
c) Zeichne ein Netz des Quaders in Originalgröße.
d) Mathematiker haben folgende Formel aufgestellt, die für viele geometrischer Körper gilt:
„Anzahl der Seitenflächen“ + „Anzahl der Ecken“ – 2 = „Anzahl der Kanten“
Bestätige, dass die Formel für einen Quader gilt.
e) Gib an, wie viele Kanten und wie viele Seitenflächen bei einem Quader an einer Ecke
jeweils zusammenstoßen.
Aufgabe 10 (Informationen aus Texten entnehmen)
Lena will mit ihrem Vater zu ihrer Oma fahren. Dazu müssen sie zuerst mit dem Fahrrad
5 km bis zum Bahnhof Adorf fahren. Von dort fährt ein Zug in 18 Minuten nach Bestadt. Am
dortigen Bahnhof müssen sie zu einem anderen Bahnsteig gehen und in einen anderen Zug
umsteigen, der genau 45 Minuten bis nach Dumarkt fährt. Dort werden sie von der Oma am
Bahnhof abgeholt; gemeinsam fahren sie noch 17 km mit dem Auto bis zu Omas Wohnung.
Lena will nun wissen, wie lange sie „von Haustüre zu Haustüre“ brauchen. Welche zusätzlichen Informationen benötigt Lena noch?
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Aufgabe 11 (Informationen aus Darstellungen entnehmen)
Der folgende Fahrplanauszug zeigt drei Zugverbindungen von Kempten nach München.
a) Ermittle für alle drei Verbindungen die Fahrzeit von Kempten nach Buchloe.
b) Ermittle für diese drei Verbindungen die schnellste von Kempten nach München Hauptbahnhof und gib die Reisedauer dafür an.
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Lösungshinweise
Die Lösungshinweise dienen in erster Linie der Unterstützung der Lehrkräfte; sie enthalten
keine vollständigen Lösungen der Aufgaben und gehen i. d. R. nicht auf mögliche gleichwertige alternative Lösungswege ein.
zu Aufgabe 1
Abschätzung z. B. mithilfe von Überschlagsrechnungen (größter Wert: e; kleinster Wert: b)
a) 72
b) 7
c) 84
d) 30
e) 207
f) 24
zu Aufgabe 2
a) 571 428
Das Ergebnis besteht aus derselben Ziffernfolge wie die erste Zahl in der Rechnung, nur
beginnend mit 57.
b) 123 456
Die Ziffern des Ergebnisses bilden eine aufsteigende Zahlenfolge.
c) 24 642
Das Ergebnis ist eine symmetrische Zahl.
zu Aufgabe 3
a) 428 571
b) 285 714
c) 142 857
Das Ergebnis besteht immer aus der gleichen Ziffernfolge, nur der Beginn ist verschoben.
zu Aufgabe 4
Die Zahlen in a), c) und d) sind ohne Rest durch 2 teilbar, da es gerade Zahlen sind. Die
Zahlen in b), c) und e) sind ohne Rest durch 5 teilbar, da die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.
Nur die Zahl in c) ist ohne Rest durch 10 teilbar, da es eine Zehnerzahl ist, was man an der
Endziffer Null erkennt.
zu Aufgabe 5
a) 81 : 9 = 9
c) 60  8 = 480
d) 1800 : 60 = 30
e) 200  200 = 40 000
zu Aufgabe 6
a) Das Ergebnis vervierfacht sich, da man es zusätzlich mit der Zahl 2 und dann noch einmal
mit der Zahl 2 multiplizieren muss. Beim Verdreifachen der Faktoren ist das Ergebnis entsprechend drei-mal-drei-mal, also neunmal so groß, beim Vervierfachen sechszehnmal,
beim Verfünffachen fünfundzwanzigmal usw.
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b) Das Ergebnis bleibt gleich, da man eine doppelt so große Zahl durch eine doppelt so große Zahl teilt, was sich aufhebt. Entsprechendes gilt beim Verdreifachen, beim Vervierfachen usw.
zu Aufgabe 7
Das Ergebnis ist jeweils eine Zahl, die mit einer 1 beginnt. Auf diese folgen jeweils Nullen,
wobei die Anzahl der Nullen der Anzahl der miteinander zu multiplizierenden Zahlen 10 entspricht.
zu Aufgabe 8
a) 21; 23; 25; 27; 29 ; 41; 43; 45; 47; 49 ; 61; 63; 65; 67; 69 ; 81; 83; 85; 87; 89
b) Tom hat für die Einerziffer 4 Möglichkeiten und in jedem dieser Fälle für die Zehnerziffer
5 Möglichkeiten, d.h. es ergeben sich 4  5 = 20 mögliche Zahlen.
zu Aufgabe 9
a) Drahtlänge: 48 cm
b) Es passen sechs Würfel in den Quader.
Begründung:
6 cm
2 cm
4 cm
c) -
d) 6 Seitenflächen, 8 Ecken, 12 Kanten: 6 + 8 – 2 = 12 (Formel bestätigt)
e) An jeder Ecke stoßen drei Kanten und drei Seitenflächen zusammen.
zu Aufgabe 10
Zusätzlich benötigte Informationen:
 Dauer für die Fahrradfahrt (oder: Durchschnittsgeschwindigkeit beim Radeln)
 Umstiegs- und Wartezeit am Bahnhof Bestadt
 Dauer für die Autofahrt (oder: Durchschnittsgeschwindigkeit beim Autofahren)
 evtl. zusätzlich: eingeplanter „Puffer“ am Bhf. Adorf, Umstiegszeit am Bhf. Dumarkt
zu Aufgabe 11
a) Die Ankunftszeiten in Buchloe sind bei den ersten beiden Verbindungen nicht angegeben,
somit entweder die Abfahrtszeit verwenden oder eine geschätzte Aufenthaltszeit von z. B.
einer Minute berechnen:
1. Verbindung: 39 min (oder 38 min)
2. Verbindung: 41 min (oder 40 min)
3. Verbindung: 35 min
b) 1. Verbindung: 1 h 25 min
2. Verbindung: 1 h 24 min, die schnellste Verbindung von Kempten nach München
3. Verbindung: 1 h 33 min
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