3.Schularbeit , am 14.3.2009

3.Schularbeit , am 14.3.2009
7C
(zweistündig)
Gruppe A
1a)
b)
Name:
Die Punkte P(6/-2) und Q(3/4) liegen auf einer Ellipse in 1.Hauptlage.
Berechne den Winkel, den die Brennstrecke F1P [ F1(x<0/0)] mit der Tangente tP in P einschließt!
Von einer Ellipse in 1.Hauptlage kennt man eine Tangente t: 7x + 3y = 52 mit dem Berührpunkt T(7/y).
Berechne die Gleichungen der Tangenten t1 und t2 , die man aus dem Punkt P(-14/-2) an die Ellipse
legen kann und überprüfe, ob die durch die beiden Berührpunkte gehende Gerade parallel zur
gegebenen Tangente t ist!
2
2
2)
Der Ellipse x + 3y = 36 ist das flächengrößte Fünfeck PQRSB,
das aus einem achsenparallelen Rechteck mit aufgesetztem
Dreieck besteht, einzuschreiben ( siehe Skizze).
Für welchen Punkt P ist dieses Fünfeck möglichst groß?
Berechne diesen maximalen Flächeninhalt!
3a)
Wie viele normierte Gleichungen 5.Grades mit der Lösungsmenge { 0, 5 – 2i, 5 + 2i } gibt es?
Gib sie alle an!
b)
Was kann man über das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen aussagen?
4)
Mit welchem Winkel
ϕ und welchen Streckfaktor λ muss man den Eckpunkt A des Dreiecks
ABC [ A(5/0), B(8/7), C(-1/11)] um seinen Schwerpunkt S drehstrecken, um den Eckpunkt B zu
erhalten? Auf welchen Punkt C1 wird der Eckpunkt C bei dieser Drehstreckung abgebildet?
5)
Von einer rationalen Funktion f(x) kennt man die beiden
senkrechten und die schräge Asymptote sowie einen
Wendepunkt im Ursprung ( siehe Skizze).
Nimm
p( x )
f(x) = q( x) so an, dass der Grad von q(x)
möglichst klein ist. Bestimme den Term von f und ergänze
in der Skizze den Graphen von f !
6)
x3 − 2x2 + 8
Diskutiere die Funktion f: y =
und zeichne ihren Graphen!
8 − 4x
Verwende das Koordinatensystem auf der Rückseite!
Überzeuge dich davon, dass die bereits gezeichnete Kurve y =
−
1 x2 eine asymptotische
4
Funktion von f(x) ist! Zeichne – falls vorhanden – ein: alle weiteren Asymptoten, Nullstellen,
Extremwerte und Wendepunkte mit Wendetangenten!
Punkteverteilung
möglich:
erreicht:
1
2
3
4
5
6
zusammen
14
8
4
6
8
8
48
zu 6)
3.Schularbeit , am 14.3.2009
7C
(zweistündig)
Gruppe B
1a)
b)
Name:
Die Punkte P(-6/-2) und Q(3/ 13 ) liegen auf einer Ellipse in 1.Hauptlage.
Berechne den Abstand des Brennpunktes F1(x>0/0) von der Ellipsentangente in P!
Eine Ellipse in 1.Hauptlage wird im Punkt T(-2/y) von der Geraden t: x + 6y + 26 = 0 berührt.
Gemeinsam mit den Berührpunkten T1 und T2 der aus P(4/8) an die Ellipse gelegten Tangenten
t1 und t2 bildet der Punkt T ein der Ellipse eingeschriebenes Dreieck! Berechne dessen
Flächeninhalt!
2
2
2)
Der Ellipse 5x + 8y = 320 ist das flächengrößte Fünfeck PQARS,
das aus einem achsenparallelen Rechteck mit aufgesetztem
Dreieck besteht, einzuschreiben ( siehe Skizze).
Für welchen Punkt P ist dieses Fünfeck möglichst groß?
Berechne diesen maximalen Flächeninhalt!
3a)
Wie viele normierte Gleichungen 6.Grades mit der Lösungsmenge { 0, 2 – i, 2 + i } gibt es?
Gib sie alle an!
b)
Was kann man über die Differenz zweier konjugiert komplexer Zahlen aussagen?
4)
Mit welchem Winkel
ϕ und welchen Streckfaktor λ muss man den Eckpunkt B des Dreiecks
ABC [ A(5/0), B(7/8), C(-3/10)] um den Eckpunkt A drehstrecken, um seinen Schwerpunkt S
zu erhalten? Auf welchen Punkt C1 wird der Eckpunkt C bei dieser Drehstreckung abgebildet?
5)
Von einer rationalen Funktion f(x) kennt man die beiden
senkrechten und die schräge Asymptote sowie einen
Extremwert im Ursprung ( siehe Skizze).
Nimm
p( x )
f(x) = q( x) so an, dass der Grad von q(x)
möglichst klein ist. Bestimme den Term von f und ergänze
in der Skizze den Graphen von f !
6)
Diskutiere die Funktion f:
y=
x3 − 3x2 + 8
und zeichne ihren Graphen!
6x − 18
Verwende das Koordinatensystem auf der Rückseite!
Überzeuge dich davon, dass die bereits gezeichnete Kurve y = 1 x2 eine asymptotische Funktion
6
von f(x) ist! Zeichne – falls vorhanden – ein: alle weiteren Asymptoten, Nullstellen,
Extremwerte und Wendepunkte mit Wendetangenten!
Punkteverteilung
möglich:
erreicht:
1
2
3
4
5
6
zusammen
14
8
4
6
8
8
48
zu 6)