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Q11
Koordinatengeometrie im Raum
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2.4 Skalarprodukt von Vektoren – Größe von Winkeln
ba
b
Unter dem Winkel zwischen zwei Vektoren versteht man den
kleineren (  180°) der Winkel zwischen a und b .
a
Eigenschaften:
 a1 
 
Definition: Die Zahl a b   a2 
a 
 3
   
(1): Kommutativgesetz: a  b  b  a
 
 
(2): Assoziativgesetz: r  a  b  r  a  b
      
(3): Distributivgesetz:
ab c  ac bc
  
 
(4): Positivität:
für a  0 gilt: a  a  o
 b1 
 
 b2  : a1b1  a2b2  a3b3
b 
 3
 
heißt Skalarprodukt der Vektoren a und b .
 
 2
 7 
 
 
Betrachte das von den Vektoren a   3  , b   4  aufgespannte Dreieck. Ist es rechtwinklig?
1
 2
 
 
2
2
2
Wenn ja, müsste die Umkehrung des Satzes von Pythagoras b  a  a  b gelten, also
 b1  a1    b2  a2    b3  a3 
2
2
2
 a12  a22  a32  b12  b22  b32
b12  2a1b1  a12  b2 2  2a2b2  a2 2  b32  2a3b3  a32  a12  a22  a32  b12  b22  b32
2  a1b1  a2b2  a3b3   0
 a1 
 
a b   a2 
a 
 3
 b1 
 
 b2  : a1b1  a2b2  a3b3  2   7   3  4  1 2  0  a  b
b 
 3
Winkel zwischen Vektoren
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren:
Für a, b  0 gilt:
a b0  a b
Was gilt für den Winkel  zwischen zwei Vektoren a und b , wenn diese nicht orthogonal sind?
Diesen Zusammenhang beschreibt der Kosinussatz, der bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken das
Korrekturglied
2  a  b  cos  hat:
2
2
2
b  a  a  b  2  a  b  cos 
Umformung wie oben ergibt:
2  a1b1  a2b2  a2b3   2  a  b  cos 

ba
b
a1b1  a2b2  a2b3  a  b  cos 
a
Mit obiger Definition: a b  a  b  cos 
Berechnung des Winkels  zwischen zwei Vektoren
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a
und
b : cos  
a b
ab
 a, b  0 
 Andrea Stamm
Q11
Koordinatengeometrie im Raum
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Beispiel in R²: Berechne den Winkel zwischen a und b !
x2

b

a
1
1
x1
1
 3 
 
 
Beispiel in R : Berechne den Winkel  zwischen a   4  und b   5  !
9
8
 
 
a b  1  3  4   5  9  8  49
3
Skalarprodukt a b : a1b1  a2b2  a3b3
a  a  98 ; b  b  98
49 1
cos  

98 2

 Ergebnis ist eine reelle Zahl!
  60
Skalare Multiplikation:
r a
 Ergebnis ist ein Vektor!
Zusammenhang Skalarprodukt und „Winkelformel“:

Orthogonale Vektoren:

Für parallele Vektoren gilt:
a  b    90
a b a b
a b a b
 cos   0 
  0
a b0
 cos   1
   180
 cos   1
Typische Fragestellungen:
1. Nachweis Parallelogramm: Zwei gegenüberliegende Vektoren (Verbindungsvektoren der Ecken)
sind gleich.
2. Ecke eines Parallelogramms, Drachen, Trapezes finden, wenn z.B. A,B,C gegeben sind:
Finde einen „vektoriellen Weg“ (vom Ursprung über bekannte Punkte zum Ziel) und
addiere Orts- bzw. Verbindungsvektoren. Skizze!
3. Mittelpunkt M einer Strecke zwischen den A und B:
M

1
A B
2
 (alles Ortsvektoren!)
4. Orthogonale Vektoren, rechtwinklige Dreiecke, Würfel, Quader  Benutze die Formel
a b  0  a  b , um den rechten Winkel nachzuweisen!
5. Zeige, dass ABCDEFGH ein Würfel ist: Die Verbindungsvektoren der Ecken („Kanten“)
stehen aufeinander senkrecht und sind gleich lang (siehe Skript 4).
6. Bestimme die Seitenlänge eines Dreiecks  Verbindungsvektoren der Eckpunkte
bestimmen und dann die Länge ermitteln (siehe Skript 4), auch z.B. gleichschenklig,
gleichseitig…
7. Winkel in Körpern  Bestimme die Vektoren, die Schenkel des Winkels sind und wende
obige Formel an. Tipp: Entsprechende Teildreiecke „rausholen“ und skizzieren!
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 Andrea Stamm