Mavt Mechanik 1/2

5 Satz der projizierenden Geschwindigkeiten (SdpG)
Mavt Mechanik 1/2
Timothy Habermacher, [email protected], 09-913-823
2011, Jan 21.
1 Trigonometrie
3 Koordinatensysteme
Satz:
;
7 Allgemeine Bewegung eines Starren Körpers
Kinemate in beliebigem Pkt.
Kreis:
Ellipse:
ist Rotgeschwindigkeit,
sin cos =1
tan =
sin 
cos 
1
2
2 =1tan 
cos 
tan ⋅cot =1
cot =
cos
sin 
1
2
2 =1cot 
sin 
2
6 Kreisbewegung / Rotation
2
ist Geschwindigkeit der Zentralachse
sin =sin cos ±cos sin 
cos=cos cos∓sin sin 
sin 2=2sin cos
2
2
2
2
cos 2 =cos −sin =2cos −1=1−2sin 
Satz der Invarianten:
2 ein bisschen Anderes
Federkraft:
4 Geschwindigkeiten
Hydrostatischer Druck:
Kartesisch:
[ ]
Inverse M = a
b
c d
−1
M =
[
1
d −b
det  M  −c a
]
Zylindrisch:
Sphärisch:
Abbildung; Bsp: Drehung um zAchse:
Bestimmen der Zentralachse:
Zentralachse ist Gerade durch den Pkt. Z in Richtung
,
,
Meistens muss ein
Wert von x,y,z frei
gewählt werden.
Zentralachse
- Gesammtleistung eines starren Systems = 0!!
11 Kräftemittelpunkt
L
: allg Bewegung dh. Schraubung
senkrecht
0
L
: Kreiselung oder Rotation
8 Äquivelenz und Reduktion von Kräftegruppen
=
} reduz. Werden
zwei invarianten der Gräftegruppe:
1)
2)
für beliebige Pkt.
oder
wobei
Reduktion der Kräftegruppe auf eine Einzelkraft nur möglich, falls
weil dann
0
Schnitt durch mind 2 Stäbe.
–
Momentenggw am Schnittpkt der Wirkunglinie 2er
Stabkräfte oder wo so viele Wirkungslinien durchlaufen, so
dass nur eine unbekannte Stabkraft in der Gleichung übrig
bleibt.
, Komponentenggwicht
–
Dreieksverteilung:
;
12 Gleichgewichts-Aufstellung
# unbek. N <-> # Gleichungen M
III. Prinzip der virtuellen Leistung (PdvL)
(N>M) ist Statisch unbestimmt. - Zusatzbed, Castigliano, Arbeistgl.
– Lagerkräfte nicht ausrechnen!! :-) , LAGER LASSEN!!
(N<=M) ist Statisch bestimmt.
– entfernen eines Stabes mit
gesucht.
– Starre Körper markieren.
13 Fachwerke
– Virtuelle Bewegung
Ideale Fachwerke:
–
reibungsfreie Gelenke, gewichtslose Stäbe
–
Lasten an Knoten
- nur Zug oder Druckkräfte
R greifft dann dort an wo:
Parallelogrammregel
Zentralachse ist dann:
Parallele Stäbe in einem Parallelogramm haben identische
auch den gleichen Richtungssinn.
9 Moment
–
R
Hauptsatz der Statik: Resultierende immer
und
Satz: Zwei Kräftegruppen sind genau dann statisch äquivalent, wenn
ihre Resultierenden und ihre resultierenden Momente bezüglich eines Momente immer bei Pkt wo viele uninteressante Kräfte durchlaufen
berechnen. -> einfache Gl.
beliebigen Punktes P gleich sind.
Kräftegr. kann immer auf ihre Dyname {
Lagerkräfte bestimmen.
0
∫ s xdx
: reine Translation
–
L
∫ x s  xdx ∫ x s xdx
x S=
: reine Kreiselung ( 1 ruhender pkt.) rot (2 ruhende pkt)
II. Dreikräfteschnitt
–
Wenn sich das System nicht bewegt, dann Rollager
einf. an Stelle von Festlager. Lager nie wegnehmen!!
Rollen wegnehmen und einzeln betr.
–
ACHTUNG: man sorge dafür, dass das Rolllager mit
Kräften eingeführt wird, die dafür sorgen, dass es sich
äquivalent zum Festlager verhält. (sprich Lagerkraft
nur in Fahrrichtung einführen!)
und
Auch allgemein Lösen
–
meist ist es einfacher wenn man nur mit den Beträgen arbeitet,
manchmal kann es aber sehr Hilfreich sein die allgemeine
Bewegungsgleichung zu nutzen.
–
um ein Festlager einf.
dort ausrechnen wo Kräfte, überall!! Momentanzentr. beachten
wobei a der kürzeste, senkrechte Abstand der Wirkungslinie zu Pkt O.
14 3 möglichkeiten um die Stabkräfte zu bestimmen
10 Leistung
15 Reibung (Haft-, Gleit-, Roll-, Gelenk-)
I. Knotenggw
Leistung:
–
Lagerkräfte berechnen
Haft; Körper bleibt in Ruhe, solange
mit
von folg. Gleichung:
Leistung einer Kräftegruppe:
–
Stabkräfte
Haftreibung:
- Wenn
–
Leistung eines Moments:
und
gleichen Richtungsinn haben wird die P negativ
an Knoten
Gleit;
Roll;
(je nach Fall als Ungleichung schreiben)
Gelenk;
; r_L : Lagerradius ;
18 Spannungen
allg. Def:
19 Verzerrungen
für Spannungsvektor
Gleitreibgsm. in Gel. und Querlagern:
16 Seilstatik
Reibungsfreie Umlenkung über Rolle:
Feststehender rauer Zylinder:
Schlingt man ein Seil um einen feststehenden rauhen Zylinder, so
haftet das Seil bis zu einem Maximalbetrag, der Grenzhaftung.
Spannungstensor (3 Schnitte aus den Achsen x,y,z als Normale):
Allg:
wobei natürlich
Verschiebungsfeld u ist gegeben durch:
;
Raue Scheibe, an der weitere äussere Kräfte und Momente angr.
Moment einf. (kann Reibung sein) und GGW aufstellen.
Spannungsvektor:
17 Beanspruchung
; wobei
normiert!
Normalspannungen:
Dehnung:
;
Deformationswinkel:
Schubspannungen:
Def. Schubverzerrungen:
ist immer für einen best. Pkt.
Actio = Reactio:
GGW am geschnittenem System um innere Kräfte zu bestimmen.
(
: Winkelverkleinerung
Hauptspannungen können analytisch mit dem Eiegnwertproblem TotaleWinkelverkleinerung, Schubwinkel:
gelöst werden. Maximaler Eigenwert = maximale Hauptspannung.
mit
–
Hauptdehnungsrichtungen
Lagerkräfte bestimmen, evtl. Nicht nötig, wenn Laufvar.
ausrechnen.
Von von hängender Seite aus kommt.
–
Laufvar einf. Körper schneiden.
–
GGW am geschnittenen System. Mit Koordsystem im Zyklisch vertauschen:
Schnitt
Komp. 1 nach rechts, 1 nach unten
–
Evtl Diffgl verw.
...Beanspruchung nur von einem Ort bis zur nächsten Kraft.
Differentialbeziehungen:
;
mit
eingesetzt
Vorgehen wenn T gesucht:
–
;
analytisch
;
–
Spannungsfreie Oberfläche? Spannungen und
Schubspannungen verschwinden in die Richtung wo keine
Kraft angreifen kann. Eine Hauptspannung ist somit Null.
sind Hauptspannungen.
–
Hydrostatischer Druck?
–
Ebenes Problem:
: Winkelvergrösserung )
Verzerrungstensor:
Bei Drehung des Koordinatensystems gelten für Dehnung und
Schubverzerrung
folgende Beziehungen:
;
Winkeländerung zwischen 2 Linienelementen n1 und n2 bei
gegebenem Verzerrungstensor :
)
Diffgleichung der Versch an der Stelle x:
20 Moorscher Spannungskreis, Dehnungskreis dito
E
[1−v x v y  z ]
1v1− 2v
E
 y=
[1− v y v  x  z ]
1v1−2v 
E
 z=
[1−v z v x  y ]
1 v1−2v 
xy =2G  xy
 x=
23 Verschiebungssatz Steiner
Man verschiebt Flächenträgheitsmoment und Deviationsmoment in
oder
es muss einfach
beachtet werden.
 yz =2G  yz den Ursprug des verwendeten Koordinatensystems. Sei es
xz =2G  xz
;
(Abstand² * Fläche)
Stoffgleichungen in Einachsigem Zusatend
(im lin. el. Bereich)
Längenänderung
Beispiel Halbkreis (skizze siehe mitte, unten links)
;
(Zug) (Druck,
Hauptrichtungen ermitteln, am Beispiel des Punktes X: Der Punkt X Gleichgew.Bed. Des Kontinuums
wird in der Moorschen Ebene (hier: xy-Ebene) mit 2α um die z-Achse
auf die σ-Achse gedreht. In der physikalischen Ebene muss nun in der  yx , x  y , y  yz , z f y =0
gleichen Richtung von der ex Achse aus mit dem Winkel α gedreht     f =0
zx , x
zy , y
z.z
z
werden. Beachte: Die z-Achse der physikalischen Ebene muss aus
 x , x  xy , y  xz , z f x =0
dem Blatt heraus schauen, damit der Drehsinn gleich ist, wie in der
Moorschen Ebene!!!
3
Hauptspannung:
, Radius:
Viereck:
Dünnwandiges RP.
1
u x , x = x = [ x − v y  z ]  T
E
1
u y , y= y = [ y −v  z x ]  T
E
1
u z , z = z= [ z −v y  x ] T
E
1
 xy= ⋅xy
2G
1
 yz = ⋅ yz
2G
1
 xz= ⋅ xz
2G
E: Elastizitätsmodul [N/m2] v: Querdehnungszahl
G: Schubmodul [N/m2]

Beispiel Halbkreis (skizze siehe mitte, unten links)
T=

v⋅ I
E
E
I
1v
1−2v
 I= x y  z = 1 23
Umrechnung Dehnung - > Spannung
25 Finite Elemente FEM
;

, wobei C die Steiffigkeitsmrtix ist. Wenn mehr als
ein Pkt. Moddelliert wird, dann Steiffigkeitsmatrix überlappen.
;
,
und
Halbkreis:
Dreieck-Profil:
:
Wobei über den ganzen Körper B integriert wird.
;
Rohr-Profil:
Umrechnung, Spannung -> Dehnung

;
;
Kreis:
21 Stoffgesetze
v⋅ I
1v
T−
⋅I
E
1v
;
24 Schwerpunkt
;
Allg:
;
;
mit mehreren Segmenten versch zum Swerpkt:
Geometrisches Lösen mit:
E=
Balkenaufgaben:
22 Flächenträgheitsmoment 2. Grades / DeviationsM.
Hauptdehnung:
Mittelpkt:
)
;
[]
P i−1
v
1
12
6 −12 6
i−1
M
i 6
4 −6
2   i− 1
 i−1
=
3
vi
Pi
 −12 −6 12 −6
6
2 −6
4
1
 i
M
 i
[
][ ]
 x = x , N  x , Mb =
N  x Mb x
−
⋅y
A
Iz
Differentialbeziehungen:  x =u '  x=
Wobei
die dimensionslose Einheitskoordinate ist. Belastungen
mit
transformieren.
1
2
3
F iL =∫ q 1−3  2 d 
0
1
1
1
2
3
M = q−2  d 
 iL ∫
0
1
1
2
3
2
3
F iR =∫ q 3 −2  d 
M = q −   d 
 iL ∫
0
0
Evtl ist es einfacher wenn man die Kräfte geometrisch aufteilt!!
N  x
EA
v ' '  x=
28 Torsion
Mb x Schubspannung:
EI z
= Widerstandsmoment
Schiefe Biegung:
∫∫ r 2 dS =∫∫ z 2  y 2dS = I yI z
polares Flächentr.mom.: I p =
Voraussetzung: Vektor des Biegemoments liegt
nicht auf den Hauptachsen des Querschnitts!
Kreis:
Die grösste Normalspannung tritt in max.
Abstand von der Neutralachse auf.
 x  x , x 2 , x 3=
;
M 3  x
EI 3
u ' ' 3  x=
'=
spezifische Verdrehung:
− M r  x
M 2  x
x2
x3
I3
I2
Diffbeziehungen: u ' ' 2  x=
Kreisring mit offenem Querschnitt:
T
GI p
L
∫ GIT
dx
totale Verdrehung: L=
0
−M 2 x
EI 2
[
I y C yz
- Berechnung von Iz, Iy und Cyz , Moorscher Kreis I =
C yz I z
]
p
29 Schubspannungen infolge Querkraft
ΔS(s) muss so gewählt werden, dass es an einem Rand des Profils beginnt, wo die
Schubspannungen verschwinden.
Zyl. Koord:
26 Spezielle Biegung, Biegemoment nur in einer
Richtung
Spannungsverteilung:  x =−
ist Biegesteiffigkeit, viel
Mb
⋅y
Iz

 x =−
Mb
⋅y
EIz

Rechteck:
genannt.
Kreisquerschnitt:
∣ M b max∣
⋅y max
Falls N(x) = T(x) = 0, so ist: max =
Iz
- Hauptspannungen I2 & I3 & Verschiebungswinkel 2α
Mb x
Dgl der Biegelinie: v ' ' =
E⋅I z
- Mb aufteilen in Hauptrichtungen => M2, M3
wobei v'' = Krümmung => v' = Winkel => v = Verschiebung
Randbed.
;
; Konstanten nicht vergessen!!
- Beanspruchung =>
bzw.
- Berechnung von u2 und u3
mittels Differentialbeziehungen
- Randbedingungen einsetzen
Konstanten bestimmen
27 Zug oder Druck (auch speziell)
- u2 und u3 in uy und uz umrechnen!
Wenn
führt zu
Dünnwandige Profile: infolge des Satzes über zugeortnete
Schubspannungen
kann
die
zum
Profilwand
normale
Schuibspannungskomp.
Vernachlässigt
werden.
Der
Scgubspannungsvektor bleibt also durchweg tangential zum
Profilrand.
I-Querschnitt:
unterer Flasch:
vertikaler Steg:
30 Zusammengesetzte Beanspruchung
 =1 im Punkt x = a
am sbEp: Hilfskraft mit F
kann vorhandene verwendet werden!)
Biegung:  x max bei y=±R
 =1 berechnen
am sbEp: GGW in Funktion von Kraft F
Lagerkräfte in Abhängigkeit von FH berechnen
Beanspruchung (für jeden Teil des Systems) berechnen und in U
einsetzen zuerst nach FH ableiten, dann integrieren und schliesslich
FH = 0 setzen (nicht nullsetzen, falls mit vorhandener Kraft gerechnet
wurde!)
Torsion:
 x max bei r = R
 b  x
Beanspruchung: M b  x am gegebenen Problem & M
Querkraft:
 y x max bei y = 0
alles einsetzen und Verschiebung in a berechnen
für schlanke Balken gilt: ∣ yx∣ ≪∣ x∣
R=

2
 x max
 x max
 x max2 max = 2 R max =R
2

- sprödes Material
Normalspannung
bricht
am
statisch unbestimmt: Lagerkräfte gesucht, v(a) gegeben:
statisch unbestimmt: Lagerkräfte gesucht, v(a) gegeben:
Moorscher Kreis:
Flächenelement
Lagerkräfte bis auf n Unbekannte berechnen
(bei zweifach statisch unb. Müssen natürlich zwei Randbedingungen
gelten, damit 2 Gleichungen mehr existieren)
 =1 im Punkt x = a
sbEp (unbekannte Kräfte weglassen!) mit F
Lagerkräfte bis auf n Unbekannte berechnen
 b  x am Beanspruchung (für jeden Teil des Systems) berechnen und in U
Beanspruchung: M b  x am gegebenen Problem & M
grösster sbEp
einsetzen.
alles einsetzen und mit bekannter Verschiebung Lagerkräfte Allg Hint:
- zähes / duktiles Material bricht am Flächenelement grösster berechnen
Wichtig, Beanspruchung vom Punkt aus berechnen von dem wir alle
Schubspannung
Lagerkräfte abhängig gemacht haben. (z.B.
)
32 Castigliano
zu beachten ist auch, dass man das Moment nicht in B einführt sonder
in einem anderen Punkt. z.B. A (damit wir die variabel
drinnen
haben!)
Bemerkungen
(Identische Probleme sind evtl auch mit Biegeline zu lösen)
Querkräfte braucht man
Biegemoment enthalten!!!
nicht
auszurechen,
da
schon
Bei freischwebenden Gelenken Hilfskraft einführen, diese dann am
im Schluss null setzten.
Trick für die Ableitung:
Jacobitherm beachten,
31 Arbeitsgleichungen
L
Versch.
v a =∫ M b x⋅
0
M b  x
dx
EI z
Deformationsenergien U (beliebig kombinierbar durch Addition):
33 Knickung nach Euler (nur für schlanke Stäbe)
- Zug Druck:
;
L
Verdr.
M  x
 b  x⋅ b
b=∫ M
dx
EI z
0
L
  x⋅N  x dx
b=∫ N
AE
0
L
  x⋅T  x dx
Verdrwinkel: c =∫ T
GI p
0
Wobei
Die beanspruchung vom Ersatzproblem ist.
(wenn EA->
nur
berücksi.)
- Biegung:
- Stabkraft
im zu prüfenden Stab berechnen
- Knickfall
aus Tabelle ablesen
-
;
ist eulersche Knicklast
2
- Schiefe Biegung:
(wobei
manchmal =
- Torsion:
- Überprüfen, ob System stabil ist:
 EIz
S F E =k⋅
2
L
- Knicksicherheit:
FE
Knicklast
=
Druckkraft F D
)
;
5 - lin. el. Feder:
oder
mit
statisch bestimmt: v(a) gesucht:
statisch bestimmt: v(a) gesucht:
am Problem: GGW
Hilfskraft FH an Stelle x = a einführen (falls keine vorhanden, sonst