Übung 8 - Uni Kassel

Übung 8
Rechenübungen zur Experimentalphysik I im WS10/11
Prof. R. Matzdorf, Dr. U. Kürpick
Aufgabe 1:
Der Ort eines Körpers, der eine harmonische Schwingung ausführt, sei gegeben als:
⎛ 4π ⎞
x(t ) = A ⋅ cos⎜
t ⎟ mit A = 0,05 m.
⎝ s ⎠
a) Berechnen Sie die Frequenz, mit der der Körper schwingt.
b) Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Körpers.
c) Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Körper losgelassen. Zu welchem Zeitpunkt erreicht der
Körper erstmals die Gleichgewichtslage?
d) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit des Körpers.
e) Berechnen Sie die maximale Beschleunigung, die der Körper erfährt.
Aufgabe 2:
a) Eine runde homogene Scheibe wird an ihrem Rand drehbar aufgehängt
und vollführt aufgrund der Erdanziehung Schwingungen um ihre
Ruhelage. Die Schwingungsebene liegt in der Ebene der Scheibe.
Berechnen Sie die Schwingungsdauer der Scheibe als Funktion
von ihrem Radius r für kleine Auslenkungen ( sin α ≈ α ).
Hinweis: Die Gewichtskraft greift im Schwerpunkt der Scheibe an.
b) Berechnen Sie den Abstand l, den der Drehpunkt vom Mittelpunkt der
Scheibe haben muss, damit die Schwingungsdauer minimal wird.
Drehpunkt
Aufgabe 3:
a) Ein Körper der Masse m schwingt an einer Feder mit der Federkonstante k, wobei die
Reibungskraft FR = − βx& , mit der Dämpfungskonstante β , die Schwingung dämpft.
Zeigen Sie durch Einsetzen, dass die Bewegungsgleichung m&x& + β x& + kx = 0 durch die
spezielle Lösung für nicht zu starke Dämpfung x = x m e −δt sin(ωt ) mit der
Abklingkonstanten δ = β /(2m) und der Kreisfrequenz
ω = ω 02 − δ 2 = (k / m) − δ 2 erfüllt wird. Berechnen Sie die Abklingkonstante δ , die
Kreisfrequenz ω und die Eigenfrequenz ω 0 für m = 0,1 kg, β = 2,0kg/s und k = 90
N/m.
x(t )
b) Berechnen Sie das logarithmische Dekrement Λ = ln
einer gedämpften
x(t + T )
Schwingung x = x m e −δt sin(ωt ) , wenn die Schwingungsdauer T der gedämpften
Schwingung gerade doppelt so groß ist wie die Schwingungsdauer T0 der
ungedämpften Schwingung.
Aufgabe 4:
Ein Körper der Masse m = 2 kg schwingt an einer Feder, die eine Federkonstante von
D = 400 N/m besitzt. Die Schwingung sei gedämpft mit γ = 0,5s-1. Auf das System wirkt eine
sinusförmige antreibende Kraft, deren Maximalwert F0 = 10 N beträgt und deren
Kreisfrequenz ω =10 rad/s ist. Gehen Sie davon aus, dass die Einschwingvorgänge
abgeklungen sind.
a) Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung.
b) Berechnen Sie die Phasenverschiebung zwischen der antreibenden Kraft und der
Schwingung des Pendels.
c) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz des Pendels.
d) Berechnen Sie die Amplitude und die Phasenverschiebung für den Resonanzfall.
Aufgabe 5:
Untersuchen Sie folgende Fragen mit dem Programm „Federpendel“ aus dem Virtuellen
Physiklabor (http://www.physik.uni-kassel.de/virtuelles-physiklabor.html)
a) Dämpfung: Wählen Sie die Dämpfung des Pendels so, dass sich Schwingungsfall,
aperiodischer Grenzfall und Kriechfall ergeben. Lesen sie jeweils die Zeit ab,
nachdem sich die Amplitude des Pendels auf die Hälfte reduziert hat.
b) Resonanz: Wählen Sie die Anregungsparameter genau so, dass das Pendel mit
maximaler Amplitude in Resonanz schwingt. Welche Phasendifferenz ergibt sich
zwischen Anregung (schwarze Kurve) und Pendelschwingung(rote Kurve)?
Vergleichen Sie mit der Phasendifferenz bei deutlich höherer und deutlich niedrigerer
Anregungsfrequenz. Hängt die Phasendifferenz von der Anregungsamplitude ab?
c) Resonanz mit unterschiedlicher Dämpfung: Wählen Sie nun eine stärkere bzw.
schwächere Dämpfung. Was ändert sich an der Resonanzkurve (Amplitude als
Funktion von der Frequenz). Welchen Einfluss hat die Dämpfung auf den Verlauf der
Phase als Funktion von der Frequenz?
d) Resonanz ohne Dämpfung: Wählen Sie den physikalisch unrealistischen Fall, bei dem
das Pendel ohne Dämpfung schwingt. Wie entwickelt sich die Amplitude als Funktion
von der Zeit wenn die Anregungsfrequenz genau der Eigenfrequenz des Pendels
entspricht? Wie entwickelt sich die Amplitude als Funktion von der Zeit, wenn die
Anregungsfrequenz geringfügig neben der Eigenfrequenz des Pendels liegt?
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins Neue Jahr
wünschen Ihnen
Ulrike Kürpick, René Matzdorf und alle Übungsleiter.
Mit diesem Übungsblatt verabschieden wir uns auch von allen Lehramtsstudierenden.