2. Vordiplom D-MAVT

Prof. Dr. P. Bühlmann
Stochastik
Frühling 2003
2. Vordiplom D-MAVT
1. (10 Punkte) Eine Schachtel enthält eine defekte und 9 intakte Glühbirnen. Eine andere Schachtel
enthält 5 defekte und 15 intakte Widerstände. Wir ziehen zufällig (und unabhängig voneinander)
eine Glühbirne und einen Widerstand und setzen sie in einen Schaltkreis ein. Damit die Gl ühbirne
beim Schliessen des Stromkreises leuchtet, müssen sowohl die Glühbirne als auch der Widerstand
intakt sein.
Wir definieren die folgenden Ereignisse:
G = Die gezogene Glühbirne ist defekt.
B1 = Der erste eingesetzte Widerstand ist defekt.
B2 = Der zweite eingesetzte Widerstand ist defekt. (Für Teilaufgabe c) und d).)
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass die gezogene Glühbirne beim ersten
Schliessen des Stromkeises nicht leuchtet.
b) Mit welcher bedingten Wahrscheinlichkeit ist die eingesetzte Glühbirne defekt, gegeben dass
die Glühbirne beim ersten Schliessen nicht leuchtet?
c) Wir ersetzen den Widerstand durch einen anderen Widerstand, der zufällig aus den verbliebenen Widerständen ausgewählt wurde. Dann schliessen wir den Schaltkreis das zweite Mal
und stellen fest, dass die Glühbirne immer noch nicht leuchtet.
Beschreiben Sie dieses Ereignis mit Hilfe der Ereignisse G, B 1 und B2 und berechnen Sie diese
Wahrscheinlichkeit.
d) Wie gross ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die eingesetzte Glühbirne defekt ist,
gegeben dass die Glühbirne beim ersten und zweiten Schliessen des Schaltkreises nicht geleuchtet hat?
2. (10 Punkte) Die Zufallsvariablen X und Y haben die gemeinsame Dichtefunktion
a(x + y) 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
.
fX,Y (x, y) =
0
sonst
a) Bestimmen Sie den Parameter a.
b) Bestimmen Sie die Randdichte von X.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
d) Bestimmen Sie die kumulative Verteilungsfunktion von X 2 .
e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P [X < Y ] ? Geben Sie eine kurze Begründung.
(Falls Sie a) und b) nicht berechnen konnten, nehmen Sie für die Teilaufgaben c) und d)
als Dichte von X
3 2
2x + x 0 ≤ x ≤ 1 .
fX (x) =
0
sonst
an. Die Dichte stimmt nicht mit der Lösung von b) überein.)
Bitte wenden!
3. (10 Punkte) Marco besitzt einen Würfel und glaubt, dass dieser fair sei. Peter möchte Marco
zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der man eine Sechs würfelt kleiner als ein Sechstel ist.
Deshalb entscheidet sich Peter, einen Test durchzuführen und würfelt 100 mal. Dabei werden 10
Sechser gezählt.
a) Man bezeichne mit X die Anzahl Sechser in 100 Würfen. Wie ist X verteilt unter der Annahme,
dass Marco’s Vermutung richtig ist?
b) Bezeichne die unbekannte Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Sechs mit p. Wie lauten Peter’s
Null- und Alternativhypothesen?
c) Führen Sie einen statistischen Test unter Verwendung der Normalapproximation auf dem 5%
Niveau durch.
d) Berechnen Sie den P -Wert, d.h. dasjenige Niveau, bei dem der Test gerade zur Verwerfung
der Nullhypothese führen würde.
e) Wie lautet der Testentscheid auf dem 3% Niveau?
4. (10 Punkte) Eine Firma schickt zehn ihrer Mitarbeiter in einen Fortbildungskurs. F ür jede dieser
Personen wurden für eine spezielle Routinearbeit folgende Verarbeitungszeiten vor und nach dem
Kurs gemessen:
Mitarbeiter
Zeit vor dem Kurs
Zeit nach dem Kurs
1
25.7
22.6
2
15.6
15.4
3
20.2
14.3
4
24.0
24.9
5
21.1
19.3
6
9.3
8.5
7
16.3
10.4
8
17.7
18
9
22.5
19
10
24.9
21
Die Firmenleitung hat die Vermutung, dass dieser Kurs zu einer Senkung der Arbeitszeit gef ührt
hat.
a) Handelt es sich um einen gepaarten oder einen ungepaarten Vergleich? Begründen Sie Ihre
Antwort kurz.
b) Führen Sie einen t-Test auf dem 1%-Niveau durch, um die obige Vermutung zu überprüfen.
Beantworten Sie bei der Durchführung des Testes folgende Punkte:
1) Formulieren Sie die Modellannahmen für die Daten.
2) Geben Sie die korrekte Nullhypothese und Alternativhypothese an.
3) Geben Sie eine geeignete Teststatistik und Verteilung der Teststatistik unter der
Nullhypothese an.
4) Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich.
5) Berechnen Sie den beobachteten Wert der Teststatistik.
6) Testentscheid: Wird H0 verworfen? Ja oder nein?
c) Welche anderen Tests könnte man hier durchführen um die Vermutung zu überprüfen? Nennen
Sie zwei davon und beschreiben Sie kurz in welcher Situation diese dem t-Test vorzuziehen
sind.
Viel Erfolg!