4. Mathematikschulaufgabe - mathe-physik

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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
a) Bestimme den Scheitel und zeichne die Parabel y = - 2x2 – 8x – 3,5
b) Zeichne den Graphen der Funktion y =
x −1− 3
und gib die Wertemenge an.
c) Bestimme rechnerisch die Scheitelform der Parabel, die den Scheitel S ( 1 / 2 )
3
2
besitzt und durch den Punkt P(1- 2 / ) verläuft.
2.
Bestimme die Lösungsmenge mit dem formalen Verfahren. (G = R)
x 2 + 1,5x − 1 < 0
3.
Bestimme die Lösungsmenge. (G = R)
| - x2 + 6x –10 | ≤ 2
4.
Gegeben sind die Punkte P ( 1 / 4 ) und Q ( - 3 / 7 ) .
[PQ] ist die Diagonale eines Quadrates. Berechne PQ und die Seitenlänge a
dieses Quadrates.
5.
Berechne die Seitenlänge b des skizzierten Rechtecks.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
a)
Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Normalparabel mit dem
1
2
Scheitel ( | - ) ?
4
3
b)
Durch y = 3x2 + 12x + 18 wird eine Parabel beschrieben.
Bringe die Gleichung auf Scheitelform und gib die Scheitelkoordinaten, die
Wertemenge und die Symmetrieachse an !
c)
Gegeben ist die Funktionsgleichung y = x2 + bx + 2
Bestimme b ε R+ so, dass der Scheitel des zugehörigen Graphen auf der
x-Achse liegt !
2.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 18 cm länger als die
kleinere Kathete und diese wiederum um 17 cm kürzer als die größere Kathete.
Wie lang sind die Seiten ?
3.
Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck ABC.
4.
a)
Wie lauten die Kathetensätze ? (Formeln gemäß Skizze !)
b)
Leite aus den Kathetensätzen den Satz des Pythagoras ab !
c)
Gegeben sind h = 12 cm und a = 13 cm. Berechne p, c und dann den
Flächeninhalt des Dreiecks ABC !
Konstruiere unter Verwendung des Kathetensatzes, ein Rechteck mit dem
Flächeninhalt 16 cm2, dessen eine Seite 7 cm misst.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung:
x4 – 8x2 – 9 = 0
2.
Bestimme den Scheitel und die Wertemenge der Parabel mit der Funktionsgleichung
g(x) = x2 – 5x + 10,25
3.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung
2 5 + 2x -
4.
13 − 6x =
37 − 6x
Welche Terme müssen in die Lücken
eingefügt werden, damit sich eine
wahre Aussage ergibt (bezogen auf
die nebenstehende Skizze) ?
a) g2 = b ⋅ ______
b) ____ = a ⋅ b
c) a =
5.
_____ − c 2 - b
Der nebenstehende Rundbogen stellt ein
romanisches Motiv dar.
Gib eine Gleichung an für den Radius r des
kleinen Vollkreises in Abhängigkeit von der
Breite d !
Tip: Benutze das eingezeichnete Hilfsdreieck
zur Berechnung !
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Berechne den exakten Abstand der beiden Punkte A ( - 3 / 4 ) und B ( - 5 / - 2 ) .
Gib den erforderlichen Lösungsansatz an.
2.
Konstruiere (nicht nur zeichnen !) ein Dreieck, von dem eine Seite die Länge
hat. Der Lösungsweg soll deutlich erkennbar sein.
3.
Gegeben sind die Parabel p1 mit der Gleichung y = 32 x 2 − x − 21 und die Parabel p2
21
mit der Gleichung y = − 21 x 2 − x + 32 .
3.1
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von p1 mit p2 .
3.2
Gegeben ist weiterhin die Gerade y = mx - 2 .
Bestimme die Werte für m bei denen die Gerade die Parabel p1 berührt und gib die
Koordinaten der Berührpunkte an.
4.1
Eine Parabel mit dem Scheitel S ( 2 / - 7 ) verläuft durch den Punkt P( 0 / 1 ) .
Bestimme die Funktionsgleichung dieser Parabel in der Form y = ax 2 + bx + c .
4.2
Auf der Parabel y = ax 2 + bx + c liegen die Punkte A ( 0 / 1 ) , B ( 1 / - 5 ) und C ( - 1 / 11).
Bestimme die Funktionsgleichung dieser Parabel.
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge des
Hypotenusenabschnittes r = 6 cm und die Länge der
Hypotenuse s = 15 cm gegeben.
Berechne die Längen k, z, f !
2.
Konstruiere zu dem vorgegebenen Rechteck mit Zirkel
und Lineal und mit Hilfe des Kathetensatzes ein
flächeninhaltsgleiches Quadrat.
3.
Die Cheopspyramide hat eine quadratische
Grundfläche. Ihre Grundkante a betrug ursprünglich 230 m, ihre Seitenkante s 220 m.
Berechne die Höhe h und die Oberfläche (ohne
Grundfläche) der Pyramide !
4.
Gegeben:
a = 3 cm
b = 13 cm
c = 12 cm
Berechne den Flächeninhalt und
den Umfang des Dreiecks PQR.
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Klasse 9
1.
Stelle fest, in welchen Fällen die Dreiecke ABC und A’B’C’ ähnlich sind.
Begründe kurz deine Behauptung !
a)
a = 4 cm
β = 87,2°
c = 2,8 cm
a ' = 6 cm
β ' = 87,2°
c ' = 4,2 cm
b)
a = 4 cm
α = 30°
c = 6 cm
a' = 8 cm
β ' = 30°
c ' = 12 cm
c)
a = 5 cm
b = 7 cm
β = 71,5°
b ' = 3,75 cm
γ ' = 71,5°
c ' = 5,25 cm
2.
Ein Dreieck ABC hat einen Flächeninhalt von 36 cm² und einen Umfang von 30 cm.
Ein zu diesem Dreieck ähnliches Dreieck A’B’C’ hat einen Flächeninhalt von 16 cm².
Berechne den Umfang des Dreiecks A’B’C’ !
3.
In der nebenstehenden Figur sind ein
Parallelogramm ABCD und ein Dreieck
ABE zu erkennen.
Beweise: AF ⋅ AB = AE ⋅ DF
4.
5.
Bestimme die Definitionsmenge folgender Wurzelterme:
1
a)
5−x
b)
c)
2+ x
1 + 2x
x−2
a)
Fasse zusammen: 3 20 + 5 125 − 2 845 + 3 15
b)
Multipliziere aus und fasse zusammen: 2 0,5 − 3 2
c)
Berechne:
d)
Mache den Nenner rational und fasse zusammen:
(
)
2
x²a² − x²b² : a + b
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5+ 2
2 10 + 6
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Klasse 9
1.
Bestimme den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel !
a)
2.
x²  3x  10  0
b)
2x²  3x  2  0
c)
x(3x  2)²  4x  0
Untersuche, für welche Werte des Parameters c   \ {0} die Gleichung
cx²  8x  c  0
a) genau eine
4.
y  3x²  12x  15
b)
Bestimme die Lösungsmenge !
a)
3.
y  x²  14x  53
b) zwei
c) keine Lösung besitzt !
Die Basis c eines gleichschenkligen Dreiecks
ist 14 cm lang, die Länge der Höhe h auf die
Basis beträgt 4 cm. Die Basis wird auf beiden
Seiten um x cm verkürzt, dafür die Höhe
um x cm verlängert.
a) Zeige, dass für den Term, der den
Flächeninhalt des neuen Dreiecks in
Abhängigkeit von x beschreibt, gilt:
A(x)  (  x²  3x  28) cm²
b) Berechne, für welches x der Flächeninhalt A
maximal wird. Wie groß ist A in diesem Fall ?
Welches besondere Dreieck ergibt sich in diesem Fall ?
5.
Eine Normalparabel wird um 4 Einheiten nach unten verschoben, an der Geraden
x  3 gespiegelt und danach an der x-Achse gespiegelt.
Wie lautet die Gleichung der neuen Parabel ?
6.
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel liegt auf der Geraden y   4 .
Ferner geht die Parabel durch den Punkt P(3 / 0) .
Bestimme die Gleichung der Parabel (2 Ergebnisse) !
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Berechne die Länge der Diagonalen d
des nebenstehend abgebildeten
Quaders !
2.
Konstruiere mit Hilfe des Kathetensatzes ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 16 cm2 !
3.
Von einer Pyramide mit quadratischer
Grundfläche ist die Kantenlänge a der
Grundfläche und die Seitenkante s
bekannt.
Leite eine Formel für die Höhe h in
Abhängigkeit von a und s her.
Bestimme damit die Oberfläche und
das Volumen der Pyramide.
4.
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
− 4x + 13 = 2 − x
5.
Gegeben sei die Funktion f durch die Gleichung f(x) = x + 2 für x ∈  + .
Gib die Wertemenge von f an !
Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion f -1 von f und gib die Definitions- und
Wertemenge von f -1 an !
6.
Gegeben sei die Funktion g durch die Gleichung g(x) = x 2 + 2x − 3 für x ≥ − 1.
Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g -1 von g !
(Maßstab: 1 LE 1 cm)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Ergänze die Tabelle !
Df
f(x)
a)
f(x) = x² + 1
x≥2
b)
f(x) = (x − 3)²
x<3
c)
f(x) = x + 2 + 1
x ≥ −2
d)
f(x) = − 1 − x
2.
Wf '
y < −2
Gegeben sei die Funktion g durch die Gleichung g(x) = 0,5x 2 − 2x + 1 für x ≥ 2 .
Bestimme zeichnerisch den Graphen der Umkehrfunktion g’ von g !
Maßstab:
3.
Wf
Umkehrfunktion
f(x)’
Df '
x-Achse: 1 LE
1 cm;
y-Achse: 1 LE
1 cm
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. Gib die Definitionsmenge an
wenn erforderlich. G = 
a)
x 4 − 13x² + 36 = 0
b)
x + x + 8 = 12
c)
9
8
− = −1
x +1 x
GM_A0161 **** Lösungen 2 Seiten
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1.
Auf Blatt 2 sind 6 Graphen dargestellt.
Bestimme die Funktionsgleichungen (allgemeine Form) für die zugehörigen
Funktionen.
2.
a) Untersuche die Funktion
y = f ( x ) = 1 x 2 + 4x − 2
3
auf ihre Eigenschaften
(Definitionsmenge, Wertemenge,
Schnittpunkt mit der y-Achse,
Scheitel, Symmetrie, Monotonie, Graph).
b) Berechne die Entfernung des Scheitels S vom Punkt P ( 2 | 3 ) .
c) Berechne die Nullstellen des Graphen der Funktion f.
d) Löse mit Hilfe des unter a) gezeichneten Graphen die Ungleichung
−11 < 1 x 2 + 4x − 2 < −2 .
3
e) Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, die man aus dem Graphen
von f durch Spiegelung an der y - Achse erhält ?
3.
Prüfe, ob die Formeln stimmen. Korrigiere gegebenenfalls.
a)
b)
d = a+b
x2 = p q
p+q= b +c
2
4.
2
2
2
h2 = d − a
2
2
a) Eine Leiter ist genauso lang, wie eine Mauer hoch ist. Lehnt man die Leiter 20 cm
unter dem oberen Mauerrand an, so steht sie unten 1,20 m von der Mauer entfernt.
Berechne die Länge der Leiter. (Fertige zuerst eine Skizze an !)
b) Aus einem kreisrunden Blech (Radius r = 100 mm) soll ein Quadrat geschnitten
werden. Berechne die Seitenlänge a des Quadrates. (Skizze !)
5.
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 49 mm und b = 36 mm.
Konstruiere mit Hilfe des Höhensatzes ein zu dem Rechteck flächengleiches
Quadrat.
Gib eine kurze Konstruktionsbeschreibung für dein Vorgehen.
- siehe Blatt 2 -
GM_A0324 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0324)
1 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
zu Nr. 1:
Nr. (1) ist eine mit Faktor 0,5 gestauchte Normalparabel
Nr. (2), (3) und (6) sind Normalparabeln
GM_A0324 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0324)
2 (2)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9
1. Gegeben ist die Funktion f : y = −8x 2 − 56x − 32
a) Bestimme den Scheitel und die Wertemenge !
b) Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen !
c) Welche Funktionsgleichung erhält man, wenn man Gf an der y-Achse spiegelt ?
(Kurze Rechnung, Funktionsterm ohne Klammern angeben!)
d) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung −8x 2 − 56x − 32 > 0
2. Betrachte jetzt die Parabelschar f : y = −8x 2 + k x − 32
(k ∈  ) .
Bestimme die Menge aller k,
a) für die f genau 2 Nullstellen hat !
b) für die f den Scheitel ( 3 | 40 ) besitzt !
c) für die Q ( −2 | −16 ) auf Gf liegt !
3. Gegeben ist der Kreis um M ( −18 | −7 ) mit dem Radius r = 11 7 . Prüfe durch Rechnung,
ob der Punkt P (13 | −19 ) innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegt !
4. Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Hypotenusenhöhe x = 84 cm und der
Hypotenusenabschnitt y = 56 cm bekannt.
Berechne den Umfang des Dreiecks ! (Skizze !)
5. Konstruiere eine Strecke der Länge
Konstruktionslinien !)
GM_A0360 **** Lösungen 4 Seiten (GM_L0360)
38 ! (Kurze Konstruktionsbeschreibung !
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / (G8)
1.
Ein Wissenstest bei Geo Wissen besteht aus 5 Fragen. Dazu sind jeweils 3 Antworten
zur Auswahl gegeben, von denen eine stets richtig ist. Eine völlig unwissende
Testperson kreuzt jeweils eine Antwort rein zufällig an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle fünf Fragen richtig beantwortet sind ?
b) genau eine Frage richtig beantwortet ist ?
c) mindestens eine Frage richtig beantwortet ist ?
2.
In einer Urne liegen 8 gleiche Kugeln; vier blaue, drei rote und eine gelbe.
Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Mindestens eine blaue
Kugel wird gezogen ? Zeichne ein Baumdiagramm.
3.
a) Leiterproblem
Eine 10m lange Leiter lehnt an einer Hausmauer. Finde heraus, bis zu welcher
Höhe h diese Leiter reicht und wie weit ihr unteres Ende s von der Hausmauer
entfernt ist, wenn die Leiter mit 75° gegen die Horizontale geneigt ist.
(Ergebnis auf 2 Dezimalen!)
b) Winkelberechnung
Für den spitzen Winkel α gilt: sin α = 0,6 .
Bestimme tan α ohne Verwendung des Taschenrechners mit Angabe aller
Rechenschritte und Überlegungen.
4.
Von einem Dreieck ABC (siehe nebenstehende Skizze)
sind die Seite c = 6,6 cm und die Höhen ha = 3,7cm
und hc = 4,1 cm gegeben.
Berechne:
a) Winkel β
b) Seite a
c) Seite b
Runde die Endergebnisse jeweils
auf eine Dezimale !
GM_A0793 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0793)
1 (1)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
Achtung! Bearbeitungszeit 60 min.
1.
Gegeben ist eine gleichseitige Pyramide mit quadratischer
Grundfläche ABCD, sowie AB  a  8 cm und h  9 cm .
a) Berechne den Neigungswinkel  der Seitenkante
[AS] gegen die Grundfläche.
b) Berechne den Neigungswinkel  der Seitenfläche
BCS gegen die Grundfläche.
c) Berechne die Länge der Seitenkante [CS]  k .
d) Unter welchem Winkel schneiden sich zwei
benachbarte Seitenkanten ?
e) Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide.
f)
Berechne das Volumen der Pyramide.
g) Der Pyramide wird nun ein Quader mit der Höhe
H  5 cm (wie in nebenstehender Skizze gezeigt)
einbeschrieben. Berechne das Volumen des Quaders.
Hinweis:
2.
Zeichne hierzu ein Schnittbild der beiden Körper,
ähnlich einem Axialschnitt, und berechne zunächst
die Länge einer Kante der ebenfalls quadratischen
Grundfläche des Quaders.
Ein Trapez mit den parallelen Seiten der Länge
R  6 , r  4 und der Höhe h  8 rotiert um die Höhe h.
Welchen Namen hat der dabei entstehende Rotationskörper ?
Berechne das Volumen dieses Körpers.
3.
In einer Lostrommel befinden sich 50 Lose. Davon sind 5 Gewinnlose, die restlichen
Lose sind Nieten. Emma zieht 5 Lose.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A = „Emma zieht nur Nieten.“
B = „Emma zieht mindestens ein Gewinnlos“.
C = „Emma zieht genau drei Gewinnlose und zwei Nieten“.
4.
Max und Sabine nehmen aus einem Kartenspiel zwei Asse und vier Damen heraus.
Die sechs Karten werden verdeckt gemischt und mit der Rückseite nach oben auf den
Tisch gelegt. Abwechselnd decken nun Max und Sabine jeweils eine Karte auf.
Gewonnen hat, wer zuerst ein Ass aufdeckt.
Zeichne zur Lösung der Aufgaben ein Baumdiagramm.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Sabine, wenn Max beginnt ?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Max, wenn Max beginnt ?
GM_A0794 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0794)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Berechne tan exakt (ohne  zu berechnen), für sin   15 .
17
2.
Eine gerades Straßenstück hat eine Steigung
von 12%, seine Länge ist: AC  150 m .
Am oberen Ende der Straße steht ein Haus.
Visiert man das Haus vom Punkt A aus an,
so erscheint es unter einem Winkel von   10 .
a) Berechne den Winkel  und AB jeweils
auf 2 DZ.
b) Berechne die Höhe CD des Hauses.
3.
Eine gleichseitige Pyramide hat als Grundfläche
ein Quadrat mit der Seitenlänge a  4,0 cm und
eine Höhe h  8,0 cm .
In halber Pyramidenhöhe wird nun parallel zur
Grundfläche geschnitten, sodass ein Pyramidenstumpf übrig bleibt.
a) Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes.
b) Berechne die Oberfläche des Pyramidenstumpfes.
4.
Ein Würfel der Kantenlänge a und ein gerader Zylinder sind gleich hoch und haben
dasselbe Volumen.
Zeige, dass für die Oberfläche des Zylinders gilt: O  2a 2 1   .


Welcher der beiden Körper besitzt den größeren Oberflächeninhalt?
5.
Ein Stoffsäckchen enthält eine rote, zwei gelbe und vier blaue gleichartige Kugeln.
Julia zieht zwei Kugeln nacheinander aus dem Stoffsäckchen, ohne die erste Kugel
zurückzulegen.
Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm und ermittle die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A: „Eine Kugel ist rot“
B: „Eine Kugel ist blau, die andere ist gelb“.
C: „Beide Kugeln haben die gleiche Farbe“.
6.
Auf dem Tisch liegen neun gleichartige Spielchips, die auf einer Seite mit den Ziffern
1 bis 9 beschriftet sind (jeder Chip hat eine andere Ziffer). Die Chips werden gemischt
und liegen so auf dem Tisch, dass die Ziffern nicht sichtbar sind.
Lara zieht 4 Chips (ohne Zurücklegen) und notiert jeweils die Ziffer.
a) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können auf diese Weise entstehen?
b) Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen können entstehen, wenn Lara jeden
Chip nach dem Notieren der Ziffer wieder zurücklegt?
GM_A0795 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0795)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Eine 2,50 m lange Leiter wird unter einem Winkel von 14° an eine Wand gestellt.
Welchen Abstand zur Wand hat die Leiter am Boden ?
2.
Vereinfache die Terme soweit wie möglich.
a)
3.
sin  90     tan 
b)
1
1  sin2 
Der Querschnitt eines Aluminiumbarrens der Länge L  25 cm ist ein gleichschenkliges Trapez mit dem Umfang UTrapez  30 cm . Beide Schenkel sowie die kurze
Grundseite sind gleich lang (Länge a); vgl. Skizze.
a) Berechne die Fläche des Trapezes.
b) Berechne die Oberfläche des Aluminiumbarrens.
c) Wie groß ist die Masse des Barrens, wenn 1dm3
Aluminium die Masse 2,7 kg hat ?
4.
In der Landschaft seiner Modelleisenbahn baut
Johannes vom Tal auf die Bergspitze C eine
Seilbahn und eine Stromleitung.
Die benötigten Zahlenwerte findest Du in
nebenstehender Skizze.
Berechne die Höhe h des Berges.
5.
Bei einer gleichseitigen Pyramide mit der quadratischen
Grundfläche A G  36 cm2 beträgt der Neigungswinkel
zwischen den Seitenflächen und der Grundfläche   48 .
a) Berechne die Höhe der Pyramide.
b) Berechne den Neigungswinkel  zwischen einer
Seitenkante s und der Grundfläche.
c) Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.
6.
Bei der Härteprüfung nach Brinell (Johan August Brinell,
geb. 1849, schwedischer Ingenieur) wird eine Kugel aus Hartmetall in ein Probestück,
z.B. ein Aluminiumblech, gedrückt. Dabei wird eine kreisförmige Vertiefung (eine
Kugelkalotte) im Blech hinterlassen.
Bei einer Härteprüfung ergaben sich folgende Werte:
Durchmesser D der Kugel: 10 mm ,
Durchmesser d des Abdrucks: 3 mm .
Wie tief ist der Abdruck?
GM_A0796 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0796)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
Berechne aus cos   6 die Werte sin  90    , sin  und tan  ohne den
15
Winkel  zu bestimmen.
2.
Vereinfache folgenden Term soweit wie möglich: tan   1  sin   1  sin 
3.
Von einem Turm der Höhe H aus werden
der Fußpunkt und die Spitze eines Baumes
der Höhe x (x < H) angepeilt.
Gemessen zur Horizontalen ergeben sich
– wie aus der Skizze ersichtlich – die
Winkel  und  (0° <  <  < 90°).
a) Leite eine allgemeine Formel zur
Berechnung von x aus den Größen
H,  und  her.
b) Berechne die Höhe x des Baumes und seine Entfernung s vom Turm, wenn
H = 28 m,  = 44° und  = 35° gilt.
4.
Durch ein dreiseitiges Prisma wird (senkrecht zur
Grundfläche) ein zylindrisches Loch gebohrt.
Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges
Dreieck der Seitenlänge a  5 cm , das Prisma hat
die Höhe h  6 cm , der Zylinderdurchmesser ist
d  2 cm .
a) Berechne das Volumen und die Oberfläche des
Körpers auf eine Dezimalstelle genau.
b) Berechne, wie viel Prozent des Volumens des
ursprünglichen Prismas herausgebohrt wurde.
5.
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a
gemäß nebenstehender Skizze.
a) Berechne die Höhe MQ  x cm der gleichschenkligen Dreiecke ACQ in Abhängigkeit
von a und .
b) Berechne den Flächeninhalt der Dreiecke
ACQ in Abhängigkeit von a und .
c) Das Dreieck ABC ist Grundfläche von
Pyramiden ABCQ.
Berechne das Volumen der Pyramiden in
Abhängigkeit von a und .
GM_A0797 **** Lösungen 2 Seiten (GM_L0797)
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4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1.
2.
3.
Vereinfache für 90    180 soweit wie möglich:
sin    tan   1
.
sin   cos 
Berechne aus sin   3 die Werte cos  , tan und cos  90    , ohne den
5
Winkel  zu bestimmen.
Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, misst
man von einem 8 m über der gemeinsamen
Grundebene gelegenen Standpunkt aus, die
Winkel  und  bezüglich der Horizontalen
zum Fuß bzw. zur Spitze des Turmes.
Wie hoch ist der Turm für   6 und   18 ?
Wie weit ist er vom Haus entfernt ?
4.
Unter welchem Winkel  ist die Raumdiagonale D
eines Würfels gegenüber der Grundfläche geneigt ?
5.
Ein gerader Kreiskegel hat den Grundkreisradius
r  5 und die Höhe h  12 .
Diesem Kegel werden Zylinder einbeschrieben. Die einbeschriebenen Zylinder
stehen auf der Grundfläche des Kegels und berühren den Kegelmantel. Die Höhe
der einbeschriebenen Zylinder ist x, der Radius des Grundkreises ist y.
a) Der Kegel mit dem einbeschriebenen Zylinder wird längs der Kegelachse
geschnitten. Zeichne die Schnittfigur.
b) Zeige, dass für die Mantelfläche der einbeschriebenen Zylinder in Abhängigkeit
2


von x gilt: M(x)  10   x  x  .
12 

c) Es gibt einbeschriebene Zylinder mit der Mantelfläche 45  .
2
Ermittle rechnerisch die zugehörige Belegung für x.
6.
In einer Urne befinden sich acht gleichartige, aber unterschiedlich gefärbte Kugeln;
fünf Kugeln sind blau, die restlichen sind gelb.
Diana zieht dreimal hintereinander je eine Kugel, ohne sie wieder in die Urne
zurückzulegen.
a) Zeichne ein beschriftetes Baumdiagramm.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Diana
A: nur gleichfarbige Kugeln ?
B: zwei blaue Kugeln und eine gelbe Kugel ?
C: abwechselnd verschiedenfarbige Kugeln ?
GM_A0798 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0798)
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Gymnasium
4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
1  tan2   sin2  .
cos2 
1.
Vereinfache für 0    90 soweit wie möglich: tan  
2.
Gib für   30 jeweils die exakten Werte von sin , cos  und tan an.
3.
Ein Schiffsmast wurde vom Sturm geknickt. Seine Spitze berührt den Schiffsboden
8 m vom Mast entfernt. Der abgeknickte Teil des Mastes schließt mit dem noch
verbliebenen Teil einen Winkel von 75° ein.
Skizziere vereinfacht die Situation und berechne die ursprüngliche Höhe des Mastes.
4.
Aus einem h  12 cm hohen Prisma mit einem regelmäßigen
Sechseck als Grundfläche wird ein Quader mit quadratischer
Grundfläche und gleicher Höhe h herausgeschnitten.
Die Seitenlänge des Quadrats beträgt a  5 cm , eine
Sechseckseite ist s  8 cm lang.
Berechne das Volumen des Hohlkörpers auf eine
Dezimalstelle genau.
5.
Aus einem Kegel (Radius R, Kegelhöhe H)
wird ein konzentrischer Kegel (r, h) mit gleichem
Öffnungswinkel so ausgebohrt, daß die Spitzen H/2
voneinander entfernt sind und in die gleiche Richtung
zeigen.
Welches Volumen hat der Restkörper ?
6.
Das Hotel bei der EuroMedClinic in Fürth hat die Form einer regelmäßigen
Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Seitenlänge a  40 m , und eine
Höhe von h  32 m .
Zeichne ein Schrägbild im Maßstab 1:500 und q  0,5.
Berechne die Mantelfläche und das Volumen der Pyramide.
7.
Aus einer Truhe mit 8 schwarzen und 6 braunen Socken entnimmt ein Mann im
Dunkeln (um seine noch schlafende Frau nicht zu wecken) nacheinander 2 Socken.
a) Zeichne ein zu diesem Zufallsexperiment entsprechendes Baumdiagramm.
Beschrifte alle Verzweigungen mit den jeweiligen Einzelwahrscheinlichkeiten in
vollständig gekürzter Bruchform.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der zwei gleichfarbige Socken entnommen
werden.
GM_A0799 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0799)
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Gymnasium
4. Mathematikschulaufgabe
Klasse 9 / G8
sin2 
.
tan   sin  90   
1.
Vereinfache für 0    90 soweit wie möglich:
2.
Bestimme mithilfe einer Konstruktion möglichst exakt den Winkel  für
den gilt: cos   4 .
7
3.
Am Infostand eines Fernsehturms wird seine
Höhe mit 210 m angegeben. In Blicknähe
zum Turm steht ein Hochhaus. Peilt man
vom Dach und vom Boden aus jeweils die
Spitze des Fernsehturms an, so erhält man
die Winkel 23° und 38° (vgl. Skizze).
Berechne:
a) den Abstand des Fernsehturms vom Hochhaus.
b) die Höhe des Hochhauses.
4.
Das Rechteck ABCD mit AB  6 cm und BC  4 cm ist Grundfläche einer 10 cm
hohen Pyramide. Die Spitze liegt dabei senkrecht über dem Mittelpunkt M der
Grundkante [AD].
a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide für q  0,75 und   45 . Die Kante [CD]
soll dabei auf der Schrägbildachse s liegen
b) Berechne das Maß  des Winkels, den die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche
einschließt.
c) Berechne das Maß    SCM .
5.
Franz möchte mit 34 m Maschendraht einen rechteckigen
Platz für seinen Hund einzäunen. Die eingezäunte Fläche
grenzt an eine 6 m lange Garage (siehe Skizze).
Stelle einen Term für den Flächeninhalt des Rechtecks
in Abhängigkeit einer Seitenlänge (a oder b) auf, und
bestimme die Maße des Rechtecks mit dem größten
Flächeninhalt.
6.
Welchen (spitzen) Winkel schließt der Graph der Funktion f : y  2,5x  1 mit
der x - Achse ein? Berechne den Wert auf 1 Dezimalstelle.
7.
Beim Biathlon müssen die Athleten 5 Schüsse abgeben. Der norwegische Biathlet
Emil Hegle Svendsen hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 92%, das heißt, bei
jedem seiner Schüsse ist die Wahrscheinlichkeit zu treffen jeweils 92%.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er bei seinen 5 Schüssen mindestens
einmal daneben ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei seinen 5 Schüssen genau dreimal ?
GM_A0800 **** Lösungen 3 Seiten (GM_L0800)
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