Der lange Weg zu den Potenz

Der lange Weg zu den Potenz- und
Logarithmengesetzen
1. Schritt: xn , n ∈ N, also eine natürliche Zahl (ungleich Null).
Wie jeder weiß gilt:
9
106 · 103 = |10 · 10 · 10{z
· 10 · 10 · 10} · 10
| · 10
{z · 10} = |10 · 10 · 10 · 10 · 10
{z · 10 · 10 · 10 · 10} = 10
6 Faktoren
3 Faktoren
6+3 = 9 Faktoren
Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x ∈ R und natürliche Zahlen
m, n ∈ N :
. . x · x} · x
xn · xm = |x · x .{z
. . x · x} = x
· x · x . . . x · x} = xn+m
| · x .{z
| · x . . . x · x{z
n Faktoren m Faktoren
n+m Faktoren
(1)
Eine weitere Folgerung ist, dass gilt
xnm = (xn )m = xn · xn . . . xn = x
. . x · x} · x
. . x · x} . . . |x · x .{z
. . x · x}
| · x .{z
| · x .{z
n Faktoren n Faktoren
n Faktoren
=x
. x · x . . . x · x . . . x · x} = xnm
| · x . . . x · x · x · x . .{z
n mal m Faktoren
2. Schritt: Was gilt für rationale Zahlen r =
m
n
mit m, n ∈ N?
1
Wir beginnen mit der Definition von x n .
Um auf die Definition der Umkehrfunktion zu xn zu schließen, schauen wir uns
die Funktionsgraphen an:
1
−3 −2 −1
6
6
4
4
2
2
Funktionen
x2 ,
1
2
x4 ,
x6 ,
−3 −2 −1
−2
x20
1
2
Funktionen x, x3 , x5 , x19
−4
−6
1 n
√
n
x und erfüllt die Gleichung x n
= x.
1
Die Umkehrfunktion zu xn ist x n =
Wie man sieht gibt es aber für gerade Potenzen keine eindeutige Umkehrfunktion,
deshalb definiert man die Umkehrfunktion nur für nichtnegative Argumente.
Im Beispiel sieht das so aus:
1
Die Gleichung x2 = 4 hat zwei Lösungen, nämlich 2 und −2. Wie soll also 4 2 =
√
bestimmt sein? Per Definition wird 4 = 2 bestimmt.
√
4
Für ungerade Potenzen, also z.B. im Fall x3 = 8, tritt dieses Problem nicht auf.
2
1
1
Funktionen
2
√
x,
1
√
3
3
x,
Trotzdem wird definiert, dass x 3 =
4
5
6
√
√ √
√
4
x, 5 x, 6 x, 20 x
√
3
x nur für nichtnegative x definiert ist.
Dagegen ist aber die Gleichung x3 = −8 sehr wohl lösbar, sie hat die Lösung
√
x = − 3 8 = −2.
Es gilt somit die Definition
1 m
√
m
x n = xn
= ( n x)m ,
2
x ≥ 0,
n, m ∈ N.
3. Schritt: Per Definition ist x0 = 1 für alle x ∈ R.
4. Schritt: Negative, ganze Zahlen −n, n ∈ N.
Für x 6= 0 gilt x ·
1
x
= 1 und damit auch
n
1
xn
1
= 1 = n = xn n .
x ·
x
x
x
n
Deshalb definiert man x−n :=
1
xn ,
was auch sehr gut zu (1) passt, da gilt
xm · x−n =
xm
= xm−n .
xn
5. Schritt: Was ist eine sinnvolle Definition für reelle Zahlen α ∈ R?
Wie sollte man xα definieren?
Dazu bedient man sich der sogenannten e-Funktion mit der Eulerschen Zahl e.
6. Schritt: Die e-Funktion und die Logarithmusfunktion ln x.
Für rationale und ganzzahlige Exponenten q ist eq nach den bisherigen Überlegungen definiert. D.h. gelten die Potenzgesetze für rationale Exponenten mit x = e :
1 m
√
m
1
e n = en
= ( n e)m , e−n = n ,
en+m = en · em ,
e
1 −m
√
m
1
1
1
e− n = e n
= ( n e)−m = 1 m = √
= m.
n
m
( e)
en
en
(2)
(3)
Da jede irrationale Zahl durch rationale Zahlen approximiert werden kann, definiert man nun die e-Funktion für irrationale Zahlen α wie folgt. Es sei rn eine Folge
rationaler Zahlen mit lim rn = α, dann ist
n→∞
eα := lim ern .
n→∞
Bildlich: Stellen Sie sich vor, dass für alle rationalen und negativen rationalen Zahlen q die Werte eq berechnet sind. Dann können diese Paare (q, eq ) im x-y-Koordinatensystem
eingetragen werden, die Werte für eα ergeben sich dann durch zudefinieren“ in”
3
dem die Linie“ durchgezogen wird. Auf diese Weise wird eine stetige Funktion
”
ex für alle reellen x erklärt und es gelten die Potenzgesetze für reelle Exponenten
mit x = e (genauso wie vorher (2)):
eα+β = eα · eβ ,
für alle reellen α, β ∈ R.
Insbesondere ist
1
e−α = α
und
e
U
eα−β = eα · e−β =
eα
.
eβ
Man kann sich die Potenzgesetze auch so merken, dass sich die Exponenten
addieren, wenn man Potenzen zur gleichen Basis (also z.B. e oder eben auch jede
andere reelle Zahl ungleich Null) multipliziert.
Dagegen ist im Allgemeinen eα + eβ 6= eα+β . Oder anders ausgedrückt, die Expo-
D
nentialfunktion ist keine lineare Funktion.
Es gilt eben nicht eα + eβ = eα+β .
Damit haben wir für den Spezialfall x = e die Funktion xα erklärt. Wie kommt aber
nun allgemein auf xα . Dazu schauen wir uns die Funktion eα an:
y = ex
5
y=x
4
3
y = ln x
2
1
−3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
−2
−3
Offensichtlich gibt es eine Umkehrfunktion und diese wird mit ln x bezeichnet, d.h.
y = ln x ⇐⇒ ey = x.
Das hat als erstes die Konsequenz, dass der Definitionsbereich des natürlichen
Logarithmus alle positiven reellen Zahlen sind, da dies der Wertebereich der eFunktion ist.
Weiterhin ergeben sich die Logarithmengesetze aus den Potenzgesetzen:
Sei y1 = ln x1 , y2 = ln x2 ,
y1 , y1 , x1 , x2 ∈ R, x1 , x2 > 0, dann gilt ey1 = x1 und
4
ey2 = x2 und wir erhalten:
x1 · x2 = ey1 · ey2 = ey1 +y2 ⇐⇒ ln(x1 · x2 ) = ln e(y1 +y2 ) = y1 + y2 = ln x1 + ln x2 ,
und
ey1
x1
= y2 = ey1 −y2 ⇐⇒ ln
x2
e
x1
x2
= ln e(y1 +y2 ) = y1 − y2 = ln x1 − ln x2
sowie für n ∈ N :
xn1 = (ey1 )n = e(ny1 ) ⇐⇒ ln xn1 = ln e(ny1 ) = n y1 = n ln x1 .
Folglich gelten die Logarithmengesetze
ln(x1 · x2 ) = ln x1 + ln x2 ,
x1
ln
= ln x1 − ln x2 ,
x2
D
R
ln xn = n ln x,
x1 , x2 > 0,
x1 , x2 > 0,
x > 0,
n ∈ N.
Die Logarithmusfunktion ist also keine lineare Funktion.
Insbesondere gilt nicht: ln(x + y) = ln x + ln y.
Vorsicht Falle: Die Funktion ln x2 ist für alle reellen x mit x 6= 0 definiert, aber
ln x2 = ln |x|2 = 2 ln |x|, dagegen ist die Funktion 2 ln x nur für positive reelle x
definiert!
7. Schritt: Nun können wir xα für x > 0 wie folgt definieren:
xα = eln(x
α)
= eα ln(x) .
Bemerkung: Anstelle der Basis e hätte man auch andere positive reelle Zahlen ungleich 1 verwenden können, von Bedeutung sind insbesondere die Zahl 2 bzw. die
Zahl 10 als Basis. Der Logarithmus bzgl. der Basis 2 wird auch mit ld (x) und der
Logarithmus zur Basis 10 wird auch mit lg x bezeichnet.
5
Es gelten nun die bekannten Potenzgesetze für reelle Exponenten α ∈ R und x > 0.
Die Bedingung x > 0 ergibt sich daraus, dass der Logarithmus nur für positive x
definiert ist.
xα+β = xα · xβ ,
U
D
D
Insbesondere ist
1
und
x−α = α
x
für alle reellen α, β ∈ R.
xα−β = xα · x−β =
xα
.
xβ
Für ganzzahlige Exponenten, n ∈ Z, gelten die Potenzgesetze für alle reellen
x mit (ggf.) Ausnahme von x = 0.
Aber schon für rationale Exponenten
m
n
∈ Q gelten die Potenzgesetze nur
noch für x ≥ 0. Dabei muss der Fall x = 0 für Exponenten ≤ 0 ausgeschlossen
werden, da 00 genauso wenig wie die Division durch Null erklärt ist.
Insbesondere ist die Potenzfunktion keine lineare Funktion, d.h. xα+β 6= xα + xβ .
Es gilt eben nicht xα+β = xα + xβ .
6