Doz. Dr. H.P. Scheffler Sommer 2000 Klausur zur Vorlesung

Doz. Dr. H.P. Scheffler
Sommer 2000
Klausur zur Vorlesung Stochastik I
Wählen Sie aus den folgenden sechs Aufgaben fünf Aufgaben aus. Die
maximal erreichbare Punktezahl finden Sie neben jeder Aufgabe. Tragen Sie die Nummern der gewählten Aufgaben in das folgende Kästchen
ein:
Gewählte Aufgabe
Die Bearbeitung anderer Aufgaben(teile) wird nicht bewertet.
Für einen qualifizierenden Studiennachweis benötigen Sie mindestens
18 ± ε Punkte. Für einen Leistungsnachweis sind mindestens 24 ± ε
Punkte notwendig.
Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein gesondertes Blatt welches Sie
mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer versehen.
Achten Sie in der Klausur auf sorgfältige und exakte Formulierungen.
Geben Sie, falls gefordert, Definitionen oder Sätze stets exakt (mit allen
Voraussetzungen) an.
Die Aufgaben sind so gestaltet, daß die einzelnen Aufgabenteile aufeinander aufbauen. Sie dürfen also Resultate von Aufgabenteilen in den
nächstfolgenden benutzen, auch wenn Sie diese nicht gelöst oder bearbeitet haben.
Bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben genügt es, entsprechende
Formeln abzuleiten, exakte numerische Berechnungen, etwa mit Hilfe
eines Taschenrechners sind nicht erforderlich.
Hilfsmittel (Bücher, Skripten) sind nicht zugelassen!
1
2
Aufgabe 1: Auf einer Party mit n Mathematikern wird eine Tombola
veranstaltet. Zu gewinnen sind (der Gastgeber ist großzügig) k ≥ n
Geschenke (in Form von Mathematikbüchern).
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt jeder der Mathematiker
mindestens ein Geschenk? (Hinweis: Es reicht eine Formel
abzuleiten)
(b) Geben Sie die Siebformel an.
(c) Definieren Sie die Gleichverteilung auf einer endlichen Menge.
8P
3
Aufgabe 2:
(a) Ein gut durchmischter Stapel mit je 18 roten und schwarzen
Karten wird in zwei gleichgroße Stapel geteilt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß sich in den kleineren Stapeln wiederum
je gleichviele rote und schwarze Karten befinden? (Geben Sie
auch ein geeignetes mathematisches Modell an.)
(b) Um die mediale Begabung herauszufinden, stellt eine okkultistische Gesellschaft einer Versammlung von 500 Menschen die
Aufgabe, das Ergebnis eines Versuches zu erraten. Hinter einem
Wandschirm wird eine Münze 10 mal geworfen. Bei jedem Wurf
ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 0.5. Das
Versuchsergebnis soll von den Zuschauern geraten werden. Als
medial begabt gilt, wer höchstens einen Fehler in der Vorhersage
macht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich in der Versammlung mindestens ein medial begabter Zuschauer befindet?
(c) Definieren Sie und geben Sie die Mächtigkeiten an von:
(c1) k-Permutationen mit Wiederholung einer n-elementigen Menge
A.
(c2) k-Permutationen ohne Wiederholung einer n-elementigen
Menge A.
8P
4
Aufgabe 3: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die quadratische
Gleichung x2 + px + q = 0 genau zwei reelle Lösungen besitzt? Dabei
sei der Zufallsvektor X = (p, q)
(a) in [0, 1]2 gleichverteilt;
(b) in [−1, 1]2 gleichverteilt.
Definieren Sie:
(c1) die Gleichverteilung auf einer Teilmenge des Rd .
(c2) eine Verteilung mit Lebesque-Dichte auf Rd .
8P
5
Aufgabe 4:
(a) Ein Student, der an einem wahr – falsch Test teilnimmt, verfährt
bei der Beantwortung der Fragen folgendermaßen: Sofern er
die Antwort weis, kreuzt er diese an, andernfalls wirft er eine
Münze, um sich für wahr oder falsch zu entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit, daß dem Studenten die richtige Antwort bekannt ist,
sei 3/5. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß er eine
richtig markierte Antwort wußte?
(b) Bei der Übertragung der Zeichen Punkt und Strich in einem
Fernmeldesystem werden durch Störungen im Mittel 5% der
gesendeten Punkte als Striche und 3% der gesendeten Striche
als Punkte empfangen. Das Verhältnis von gesendeten Punkten
zu gesendeten Strichen sei 3/4.
(b1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein gesendetes Zeichen richtig empfangen wird?
(b2) Es wird Punkt empfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß auch Punkt gesendet wurde?
(c) Formulieren Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
und die Bayes’sche Formel.
8P
6
Aufgabe 5: Die Lebensdauer X eines Systems sei verteilt mit Verteilungsfunktion
(
β
1 − e−αx
falls x > 0
F : x 7→
0
falls x ≤ 0.
Dabei sind α, β > 0 fest.
(a) Zeigen Sie, daß die Verteilung von X eine Lebesque-Dichte besitzt und bestimmen Sie diese.
(b) Bestimmen Sie für β = 1 und β = 2 den Erwartungswert E(X).
(c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable Y =
Xβ.
(d) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Restlebensdauer,
d.h.
Fh (x) := P {X ≤ x + h|X > h}
für ein festes h > 0.
(e) Sei a > 0. Weiter seien X1 , X2 unabhängige Zufallsvariablen
mit Verteilungsfunktion F . Geben Sie die Verteilungsfunktion
von Z = min(aX1 , aX2 ) an. Für welche a ist FZ = F ?
12P
7
Aufgabe 6: Eine Fabrik stellt zylindrische Dosen mit Durchmesser 2r0
und Höhe h0 her. Produktionsbedingt schwanken die wahren Werte
(r, h) um den Sollwert (r0 , h0 ). Also ist X = (r, h) als R2 -wertige
Zufallsvariable aufzufassen. Ihre Verteilung besitze die Dichte f .
(a) Geben Sie eine Formel für den Erwartungswert und die Varianz
der Oberfläche F l und des Volumens V ol an. (Oberfläche=
2πrh + 2r2 π, Volumen=πr2 h.)
(b) Berechnen Sie E(F l) und E(V ol) explizit für eine Dichte der
Gestalt
1
f (r, h) =
1[r −ε,r +ε] (r) · 1[h0 −δ,h0 +δ] (h)
4εδ 0 0
wobei ε, δ > 0 sind.
(c) Geben Sie die Transformationsformel für E(g(X)) an für den
Spezialfall, daß die Verteilung von X eine Lebesque-Dichte f
besitzt
12P