Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen
Teil II
Zufallsvariablen
WBL 15/17, 27.04.2015
Nina Anderegg <[email protected]> und
Alain Hauser <[email protected]>
Berner Fachhochschule | Haute école spécialisée bernoise | Bern University of Applied Sciences
Berner Fachhochschule, Technik und Informatik
Lernziele
Zufallsvariable: Beispiel
I
Sie können. . .
I
I
. . . die Definition einer Zufallsvariablen nennen und an
Beispielen erläutern.
I
. . . aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung die zugehörige
kumulative Verteilungsfunktion berechnen und umgekehrt.
I
. . . Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariable
berechnen.
Eine Zufallsvariable ist eine Variable, die numerische Werte
annimmt, die vom Ausgang eines Zufallsexperiments abhängen.
Beispiel:
I
I
Vorlesung basiert auf Kapitel 2.5 und 2.7 im Skript.
Zufallsexperiment: Jasskarte der Farbe “Herz” ziehen (Slides
wurden westlich der Reuss entworfen!)
Zufallsvariable: Wert der gezogenen Jasskarte
Karte (“Elementarereignis”)
Wert
Sechs 7→ 0
Sieben 7→ 0
..
..
.
.
König
Ass
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3 / 13
7→
7
→
4
11
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Zufallsvariable: Definition
Verteilung einer Zufallsvariablen I
Formale Definition der Zufallsvariablen:
Definition
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die einen Grundraum Ω
nach R abbildet: X : Ω → R.
Notation:
I
I
I
I
I
Wenn Ω diskret ist, kann auch X nur endlich (oder abzählbar)
viele Werte annehmen
wir können die möglichen Werte
auflisten: x1 , x2 , x3 , . . .
I
Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert x angenommen wird:
X
P(X = x) =
P({ω})
ω∈Ω:X (ω)=x
Ereignis, dass X einen Wert x annimmt: {X = x}
(Kurzschreibweise für {ω ∈ Ω : X (ω) = x})
I
Beispiel Jasskarten:
I
Beispiel (Wert von Jasskarten): {X = 11} enthält das
“Elementarereignis” (Karte) “Ass”, {X = 0} enthält die
Elementarereignisse “Sechs”, “Sieben”, “Acht”, “Neun”.
I
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Verteilung einer Zufallsvariablen II
I
X : Ω → R sei eine Zufallsvariable.
Einen Zufallsvariable wird durch einen Grossbuchstaben (z.B.
X ) dargestellt; der gleiche Kleinbuchstabe (z.B. x) bezeichnet
einen möglichen Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann.
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I
I
P(X = 11) = P(“Ass”) = 19
P(X = 0) =
P(“Sechs”) + P(“Sieben”) + P(“Acht”) + P(“Neun”) =
4
9
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Kumulative Verteilungsfunktion
Die Liste der Wahrscheinlichkeiten P(X = xi ) für alle möglichen
Werte x1 , x2 , . . . heisst Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsvariablen X .
Beispiel Jasskarten:
0
2
3
4
10
11
x
P(X = x) 4/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9
Visualisierung:
Statt via Wahrscheinlichkeitsverteilung kann eine Zufallsvariable
auch via kumulative Verteilungsfunktion beschrieben werden:
Definition
Die kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist
die Funktion FX (x) = P(X ≤ x).
Eigenschaften:
P(X = x)
0.3
●
●
●
●
0
2
4
6
8
FX wächst monoton
I
limx→−∞ FX (x) = 0, limx→∞ FX (x) = 1
I
P(a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
●
0.0
●
I
10
x
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Kumulative Verteilungsfunktion: Beispiel
Erwartungswert
Die kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X , “Wert
einer gezogenen Jasskarte” springt genau an den Stellen, die X
annehmen kann:
Definition (Erwartungswert)
Eine diskrete Zufallsvariable X kann die Werte x1 , x2 , . . . annehmen.
Der Erwartungswert von X ist dann definiert als
X
xi P(X = xi ) .
E(X ) =
FX(x)
0.4
0.8
P(X = x)
0.2
0.4
●
●
●
●
●
●
●
0
2
4
6
x
8
I
Der Erwartungswert charakterisiert die “Lage” einer
Zufallsvariablen; um ihn herum schwanken die Werte der
Zufallsvariable “im langen Mittel”
I
Beispiel Jasskarten:
●
●
0.0
●
0.0
●
i=1,2,...
●
10
0
2
4
6
x
8 10
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E(X ) = 0 ·
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Varianz und Standardabweichung
4
1
1
1
1
1
10
+ 2 · + 3 · + 4 · + 10 · + 11 · =
9
9
9
9
9
9
3
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Berechnung der Varianz
Definition (Varianz und Standardabweichung)
Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist definiert als
Var(X ) = E (X − E(X ))2
I
Eine diskrete Zufallsvariable X kann die Werte x1 , x2 , . . .
annehmen.
I
Ihre Varianz berechnet man dann nach der Formel
X
Var(X ) =
(xi − E(X ))2 P(X = xi ) .
Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus:
p
σ(X ) = Var(X )
I
I
I
i=1,2,...
I
In Worten: die Varianz misst die mittlere quadratische
Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung messen die “Breite” der
Verteilung einer Zufallsvariablen
Bei Zufallsvariablen mit physikalischen Einheiten hat die
Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable
selbst, im Unterschied zur Varianz
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Alternativ kann die Identität Var(X ) = E(X 2 ) − E(X )2
verwendet werden; macht die Berechnung oft einfacher
Was ist der Unterschied zwischen E(X 2 ) und E(X )2 ? Wie berechnet
man die beiden Grössen?
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Varianz und Standardabweichung: Beispiel
I
X : Wert einer zufällig gezogenen Jasskarte
2
2
2
4
1
10
10
·
·
· 19 +
+
2
−
+
3
−
Var(X ) = 0 − 10
3
9
3
9
3
2
2
2
1
10
1
10
4 − 10
·
+
10
−
·
+
11
−
· 19 = 16 23
3
9
3
9
3
I
σ(X ) = 4.082
I
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