Bruchrechnen und Gittergeometrie - Lehrstuhl für Mathematik und

Dr. Wolfgang Neidhardt
Seminar: Vernetzung von Geometrie und Algebra
Lisa Turowski
Bayreuth, den13.02.2004
Bruchrechnen und Gittergeometrie
1
1. Lehrplan
2
2. Bruchteile erzeugen
Aufgaben:
1. Zeichne drei Kreise (r=3cm) auf Papier und schneide sie aus
a) Falte wie gezeigt
b) Färbe die Hälfte (½) der Scheibe rot, ein Viertel (¼) der Scheibe blau und ein Achtel
( 18 ) der Scheibe grün.
c) Wie viele Achtelteile passen in ein Viertelteil?
2. Der Schulhof soll umgestaltet werden. Die Schülerinnen und Schüler möchten eine Hälfte
des Schulhofes als Spielplatz, ein Viertel als Ruhezone und den Rest zu gleichen Teilen
als Teichanlage und als Fahrradstand einrichten. Wie könnte die Aufteilung aussehen?
!
3
3. Bruchteile bestimmen
Welcher Bruchteil der Flächen ist grün, gelb, orange, rot?
Merksatz 1:
Der Nenner eines Bruchs gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt wurde.
Der Zähler gibt an, wie viele Teile genommen werden.
Bruchteile bestimmen
(1) Nenner bestimmen
In wie viele gleich große Teile ist das
Ganze zerlegt?
10 gleich große Teile,
Nenner ist 10
(2) Zähler bestimmen
Wie viele der gleich großen Teile sind
gefärbt?
Anzahl der Teile: 7,
Zähler ist 7
(3) Bruchteil notieren
7
10
4
4. Bruchteile vergleichen
Merksatz 2:
1. Bei gleichen Nennern vergleicht man die Zähler. Je größer der Zähler, desto größer der
Bruch.
2. Bei gleichen Zahlen vergleicht man die Nenner. Je größer der Nenner, desto kleiner der
Bruch.
Vergleiche:
a) 34 24
b)
1
2
Bruchteile vergleichen
1
4
Brüche mit gleichem Nenner
3
8
5
8
Brüche mit gleichem Zähler
3
5
3
4
(1) Was ist gleich?
Nenner sind gleich.
Was muss man vergleichen? Zähler vergleichen.
Zähler sind gleich.
Nenner vergleichen.
(2) Vergleichen
Fünftel < Viertel
(3) Vergleich notieren
3<5
3
8
< 85
3
5
5
< 34
5. Unechte Brüche
Merksatz 3:
Brüche deren Zähler kleiner als der Nenner ist, nennt man echte Brüche. Sie geben weniger
als ein Ganzes an.
Brüche deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, nennt man unechte Brüche.
Unechte Brüche, die nicht Vielfache von Ganzen angeben, können in gemischter
Schreibweise dargestellt werden.
6
1. Gib jeweils den Bruch an. Verwende beide Schreibweisen.
a)
b)
c)
2. Zeichne wie in der vorherigen Aufgabe
a) 138 b) 136 c) 72
3. Schreibe als gemischte oder als natürliche Zahl
30
a ) 52 b) 729 c) 11
4. Schreibe als Bruch
a ) 1 34 b) 6 56 c) 15 103
Bruch
gemischte Zahl
17
3
(1) Bruch in Ganze umwandeln
15
3
=5
(2) Zähler des Restbruches bestimmen
17 – 15 = 2
( 3) Notieren
17
3
Gemischte Zahl
Bruch
= 5 23
2 17
(1) Ganze in Bruch umwandeln
2 = 147
(2) Zähler bestimmen
14 + 1 = 15
(3) Notieren
2 17 = 157
7
6. Brüche als Quotienten
Die Geschwister Susanne und Robert bestellen für sich vier Pizzen; zwei für jeden. Ihre
Nachbarn bestellen drei Pizzen für vier Personen.
Zeichne auf, wie die Pizzen für die Nachbarn geschnitten werden müssen, damit jeder gleich
viel bekommt.
Merksatz 4:
Ein Quotient kann auch als Bruch geschrieben werden.
Der Bruchstrich bedeutet dasselbe wie das Divisionszeichen.
5 : 6 = 56 ;
a : b = ba
Geht die Division auf, so ergibt sich eine natürliche Zahl.
12 : 3 = 123 = 4
1. Schreibe als Bruch
a) 5 : 9
b) 4 : 7
c) 14 : 17
2. Schreibe jeweils den Quotienten als Bruch und als natürliche Zahl
a) 4 : 4
b) 12 : 3
c) 30 : 5
3. Schreibe als gemischte Zahl
a) 17 : 8
b) 35 : 3
c) 67 : 9
4. Schreibe als Divisionsaufgabe
11
a ) 34
b) 100
c) 37
37
5. Stelle die Dominokette zusammen. Die Lösungsbuchstaben ergeben hintereinander gelegt
ein Wort.
8
Brüche als Quotienten
21 : 4
3:7
12 : 3
(1) Ganze bestimmen
20 : 4 = 5
es gibt keine Ganzen
12 : 3 = 4
(2) Bruch bestimmen
1:4=
(3) Notieren
21 : 4 = 5 14
1
4
3
7
3:7=
3: 7 =
9
3
7
es kommt kein Bruch vor
12 : 3 = 4
7. Erweitern und Kürzen
Vergleiche in den Figuren die gefärbten Bruchteile. Was stellst du fest?
a)
b)
Merksatz 5:
Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert.
Kürzen: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert.
Durch Erweitern und Kürzen erhält man wertgleiche Brüche.
1. Mit welcher Zahl wurde erweitert?
48
a) 17 = 355
b) 94 = 108
2. Suche die Erweiterungszahl und berechne den Platzhalter
a) 56 = 30
b) 177 = 42
3. Kürze soweit wie möglich
a) 12
b) 176
18
208
4. Gib drei verschiedene Brüche mit dem Nenner 30 an,
a) die sich nicht mehr kürzen lassen
b) die sich nur durch 3 kürzen lassen.
5. Welche Brüche wurden richtig erweitert oder gekürzt? Die Buchstaben ergeben
hintereinander gelesen ein Lösungswort.
10
Brüche erweitern
(1) Zähler und Nenner multiplizieren
3
4
3⋅ 5
4⋅5
(2) Notieren
3
4
Brüche kürzen
(1) Zähler und Nenner dividieren
21
49
21: 7
49 : 7
2) Notieren
21
49
11
mit 5
= 15
20
= 15
20
mit 7
=
=
3
7
3
7
8. Anordnung der positiven rationalen Zahlen
Merksatz 6:
Alle Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern ineinander umgeformt werden können, haben
den gleichen Wert. Sie stellen eine positive rationale Zahl dar.
Die Menge aller Brüche bilden die Menge Q 0+ der positiven rationalen Zahlen.
Alle aus der Menge N0 bekannten Rechengesetze gelten weiterhin.
1. Gib jeweils einen Bruch an, der zu dem markierten Punkt gehört.
2. Zeichne eine Zahlenhalbgerade und trage folgende Brüche ein:
3. Ordne die angegebenen Brüche und die gemischten Zahlen der markierten Punkten zu
12
9. Hauptnenner
Katja, Nina und Daniel spielen in einer Freistunde das Bruchwürfelspiel. Jeder würfelt mit
zwei Würfeln. Aus den Augenzahlen wird ein Bruch gebildet, wobei die größere Zahl der
Nenner sein muss. Einen Gewinnpunkt erhält, wer den größten Bruch gewürfelt hat. Nina hat
eine 1 und eine 4 gewürfelt, Katja 4 und 3 und Daniel 1 und 2. Wer bekommt den Gewinn
punkt? Warum?
1. In den Abbildungen werden
1
4
und
1
3
schrittweise erweitert.
a) Welche Bruchteile treten auf?
b) Welches gemeinsame Bruchteil kommt vor?
2. Mit welchem Bruchteil kann man sowohl
1
4
als auch
1
5
auslegen?
Merksatz 7
Brüche mit dem gleichen Nenner heißen gleichnamige Brüche.
Brüche mit verschiedenen Nennern nennt man ungleichnamige Brüche. Ungleichnamige
Brüche werden gleichnamig gemacht, indem sie erweitert oder kürzt.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner ist der Hauptnenner.
13
Hauptnenner bestimmen
1
3
; 17
(1) Vielfache des ersten Nenners bestimmen
V3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...
(2) Vielfache des zweiten Nenners bestimmen
V7 = 7, 14, 21, 28, ...
(3) kleinstes gemeinsames Vielfaches bestimmen
kgV (3; 7) = 21
(4) Hauptnenner und gemeinsames Bruchteil
notieren
Hn = 21
1
21
1. Bestimme das gemeinsame Bruchteil
a) 14 ; 16
b) 17 ; 13
2. Bestimme den Hauptnenner
a) 13 ; 15
b) 151 ; 101
14
10. Brüche vergleichen
Bei einem Handballturnier verwandelte Martin 7 von 10 Siebenmetern; Tobias war bei 8
Versuchen 6-mal erfolgreich. Wer war der bessere Werfer?
1. Vergleiche die Größe der Brüche
a) 34 ; 119
b) 53 ; 207
2. Ordne die Brüche nach der Größe in einer Ungleichungskette
9
3
3
9
2
1
125 ; 40 ; 50 ; 25 ; 20 ; 100
3. Gib jeweils drei Brüche an, die zwischen den beiden Brüchen liegen
a) 74 und 76 ;
b) 203 und 194
3
4
4. Welche der drei Brüche liegt am nächsten bei
17
a) 56 ; 54 ; 127
b) 23 ; 19
24 ; 20
?
5. Mithilfe zweier Würfel kannst du Brüche darstellen, z.B. 62 = 13 bzw. 62 = 3 .
a) Wie viele Brüche sind möglich? Wie viele verschiedene Zahlen erhält man?
b) Welcher Bruch ist der größte, welcher der kleinste?
c) Welche Brüche stellen natürliche Zahlen dar?
d) Welche Brüche haben den Wert 12 , welche sind kleiner als 12 ?
e) Welche Brüche sind vollständig gekürzt?
Brüche vergleichen
(1) Hauptnenner bestimmen
(2) Brüche auf den Hauptnenner erweitern
(3) Erweiterte Brüche vergleichen
(4) Vergleich notieren
3
8
2
5
Hn = 40
3
15
8 = 40 ;
15
16
40 < 40
3
2
8 < 5
15
2
5
= 16
40
11. Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Susanne hat zum Geburtstag ihre Freunde Sabine, Andreas und Christine eingeladen. Ihre
Mutter hat eine große rechteckige Pizza gebacken, die sie in acht gleich große Teile unterteilt.
Andreas isst drei Achtel, Sabine zwei Achtel der Pizza.
Welchen Bruchteil der Pizza essen Andreas und Sabine gemeinsam?
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
Andreas
Sabine
3 Achtel plus 2 Achtel ist gleich 5 Achtel.
Andreas und Sabine essen zusammen 85 der Pizza.
Man rechnet: 83 + 82 = 3 +8 2 = 85
Welcher Anteil der Pizza bleibt für Susanne und Christine übrig?
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
Andreas
Sabine
8 Achtel minus 5 Achtel ist gleich 3 Achtel.
Für Susanne und Christine bleiben 83 der Pizza übrig.
Man rechnet: 88 − 85 = 8 8− 5 = 83
Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl
a) 19 + 59 ;
b) 178 − 138
Merksatz 8:
Man addiert gleichnamige Brüche, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält.
Man subtrahiert gleichnamige Brüche, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner
beibehält.
Gleichnamige Brüche addieren und
subtrahieren
(1) Zähler addieren bzw. subtrahieren,
Nenner beibehalten
(2) Wenn möglich, kürzen
(3) Wenn möglich, in eine gemischte Zahl
verwandeln
(4) Notieren
11
12
+ 125
= 1112+ 5 = 16
12
:4
= 16
12 : 4 =
4
3
= 1 13
11
12
16
4
1
+ 125 = 16
12 = 3 = 1 3
12. Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Peter, Martina und Johannes teilen sich eine Tafel Schokolade. Peter nimmt ein Fünftel,
Martina ein Drittel der Tafel. Welcher Bruchteil bleibt für Johannes?
=
1
5
= 153
1
3
Peter und Martina essen zusammen:
Für Johannes bleibt übrig:
Johannes erhält
7
15
1
5
=
5
15
+ 13 = 153 + 155 = 315+ 5 = 158
15 − 8
8
7
1 − 158 = 15
15 − 15 = 15 = 15
der Schokolade.
Merksatz 9:
Man addiert bzw. subtrahiert ungleichnamige Brüche, indem man sie auf den Hauptnenner
bringt. Danach rechnet man wie mit gleichnamigen Brüchen weiter.
1. Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl
17
a) 158 + 18 ;
b) 13
25 − 100
2. Die Schüler der 6. Klassen wurden zu unterschiedlichen mathematischen Themen befragt.
Sie konnten zwischen drei verschiedenen Antworten auswählen: großes Interesse (☺),
weniger Interesse ( ), kein Interesse ( ). Bestimme die fehlenden Bruchteile in der
Abbildung.
Kopfrechnen
Bruchrechnen
Geometrie
17
3. Überprüfe die Ergebnisse. Die Kennbuchstaben ergeben ein Lösungswort, wenn du sie
richtig zusammensetzt.
wahr
S
falsch
V
11
+ 52 + 12 = 1 15
E
O
3
4
11
+ 56 − 12
=
3
4
T
A
2
5
+ 34 − 109 =
1
4
N
H
1
2
+ + =1
5
6
2
3
3
4
11
12
4. Ergänze das Quadrat so, dass beim Addieren in den Spalten, den Zeilen und den
Diagonalen immer die Summe 1 erreicht wird.
4
15
4
15
2
5
5. Bei einem Spiel würfelt jeder Spieler mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen
zwei Brüche. Das Spiel gewinnt, wer seine gewürfelten Zahlen für die Platzhalter so
einsetzt, dass sich der kleinste Wert ergibt.
Zwei Varianten: a) ab + dc
b) ab − dc
18
13. Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
Herr Müller streicht Türen und Fenster seines Hauses. Er verdünnt 1 12 l Hochglanzlack mit 83 l
Wasser. Wie viel Liter erhält er?
1.
5
17
17
2
3 54 + 2 13 = 3 + 54 + 2 + 13 = 3 + 2 + 54 + 13 = 5 + 12
15 + 15 = 5 + 15 = 5 15 = 6 15
2.
57
35
92
3 54 + 2 13 = 155 + 54 + 63 + 13 = 195 + 73 = 15
+ 15
= 15
= 6 152
1. Berechne:
a) 3 14 + 2 83
13
b) 39 16
− 6 14
c) 1 94 + 157
2. a) Addiere zu der Summe aus 1 14 und 2 125 den Bruch 16 .
b) Subtrahiere von der Summe aus 1 154 und 2 101 den Bruch 16 .
c) Addiere zur Differenz aus 7 12 und 3 52 die gemischte Zahl 4 103 .
d) Der Summenwert von drei Zahlen ist 8 34 . Die erste Zahl ist 1 15 , die zweite ist doppelt so
groß wie die erste. Wie groß ist die dritte Zahl?
19
14. Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl
1
8
⋅ 4 = 18 + 18 + 18 + 18 = 84 =
1
2
Merksatz 10:
Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl
multipliziert und den Nennern unverändert lässt.
1. Welche Aufgaben sind dargestellt?
a)
⋅3
⎯⎯→
b)
⋅4
⎯⎯→
2. Stelle die Aufgaben wie in Aufgabe 1 dar.
a) 83 ⋅ 2
b) 3 ⋅ 165
3. Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl.
a) 13 ⋅ 3
b) 4 ⋅ 73
c) 127 ⋅10
4. Auf einem Blütenstrauch sitzen 50 Bienen, 3 Hummeln, 15 Schmetterlinge, 12 Marienkäfer
und 125 Ameisen. Wie viele Gramm wiegen alle Tiere zusammen?
5. Tanja trainiert in der Woche dreimal 1 12 Stunden Leichtathletik, Matthias dagegen
schwimmt fünfmal in der Woche jeweils eine 34 Stunde. Wer trainiert länger?
20
Brüche vervielfachen
(1) Zähler mal natürliche Zahl, Nenner beibehalten
12 ⋅ 83
(2) Wenn möglich, kürzen
=
(3) Berechnen
(4) Wenn möglich, in eine gemischte Zahl umwandeln
= 92
= 4 12
21
= 128⋅ 3
3
12 ⋅ 3
82
15. Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl
Merksatz 11:
Man teilt einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem man denn Nenner mit der natürlichen
Zahl multipliziert und den Zähler unverändert lässt.
Brüche teilen
(1) Nenner mal natürliche Zahl, Zähler beibehalten
52
5
:8
=
52
5⋅8
(2) Wenn möglich, kürzen
= 552⋅ 82
(3) Berechnen
(4) Wenn möglich, in eine gemischte Zahl verwandeln
13
= 10
= 1 103
Berechne:
a) 52 : 6
b) 73 : 21
13
c) 251 : 25
22
16. Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch
Zwei Drittel der Klasse 6c sind Mädchen. Drei Viertel der Mädchen sind Fahrschüler? Wie
groß ist ihr Anteil in der ganzen Klasse?
⋅3
⎯⎯→
:4
⎯⎯→
Zwei Drittel
Also:
2
3
in vier Teile geteilt
2⋅3
⋅3
:4
6
2
⎯⎯→
⎯→
3⋅ 4 ⎯
3 ⋅ 4 = 12 =
drei Teile davon
1
2
Merksatz 12:
Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit
Nenner multipliziert.
1. Berechne
a) 53 ⋅ 76
b) 54 ⋅ 34
2. Berechne
a) 2 14 ⋅ 5
b) 4 ⋅ 3 52
24 5
c) 35
⋅ 16
c) 7 34 ⋅ 4 74
Brüche multiplizieren
(1) Wenn nötig, gemischte Zahlen in
einen unechten Bruch umwandeln
(1) Zähler mal Zähler,
Nenner mal Nenner
(2) Wenn möglich, kürzen
⋅ 53
nicht nötig
4
7
=
4⋅3
7⋅5
geht nicht, teilerfremd
(3) Berechnen
= 12
35
(4) Wenn möglich, in eine gemischte Zahl (geht nicht, Zähler < Nenner)
verwandeln
2 152 ⋅ 169
30
32
2 152 = 15
+ 152 = 15
= 1532⋅⋅169
=
2
32 ⋅ 93
5 15 ⋅ 161
= 65
= 1 15
3. Dirk kommt durstig vom Sportunterricht nach Hause und trinkt 34 einer 1 12 l Flasche. Seine
Mutter meint: „Jetzt hast du mindestens einen halben Liter Getrunken!“ Hat sie Recht?
23
4. Der Grundbesitz eines Bauern besteht zu drei Fünfteln aus Ackerland, davon wird auf zwei
Dritteln Raps angebaut. Auf welchem Teil des Grundes wird Raps angebaut?
5. Jeder Spieler würfelt mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen zwei Brüche,
die anschließend miteinander multipliziert werden. Das Spiel gewinnt wer das kleinste
Ergebnis hat.
24
17. Division eines Bruchs mit einem Bruch
Der Quotient 115 : 23 hat den gleichen Wert wie das Produkt 115 ⋅ 32 .
11
5
: 23 ist eine positive rationale Zahl x, es gilt also 115 : 23 = x.
Dadurch gilt auch : ( 115 : 23 ) ⋅ 23 = x ⋅ 23 ; bzw. vereinfacht : 115 = x ⋅ 23 .
11
5
⋅ 32 = ( x ⋅ 23 ) ⋅ 32 und somit 115 ⋅ 32 = x.
Weil
11
5
: 23 = x und 115 ⋅ 32 = x, gilt :
11
5
: 23 = 115 ⋅ 32 .
Merksatz 13:
Jeder Bruch hat einen Kehrwert.
Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch
des zweiten Bruchs multipliziert.
Brüche dividieren
(1) Wenn nötig, gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
(2) Den 1. Bruch notieren, dann mit dem Kehrbruch des 2. Bruches
multiplizieren.
(3) Wenn möglich, kürzen
2 152 : 16
21
(4) Berechnen
(5) Wenn möglich in eine gemischte Zahl umwandeln
= 145
= 2 54
1. Berechne:
21 14
a) 95 : 76
b) 45
: 35
30
32
2 152 = 15
+ 152 = 15
32 21
15 ⋅ 16
=
2
5
32 ⋅ 217
15 ⋅ 161
c) 2 56 : 3 52
2. Schreibe den entsprechenden Term und berechne seinen Wert.
a) Dividiere 94 durch die Summe von 73 und 32 .
b) Dividiere die Differenz aus 195 und 3 14 durch 11
30 .
3. Jeder Spieler würfelt mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen zwei Brüche,
die anschließend dividiert werden müssen. Das Spiel gewinnt, wird das größte Ergebnis
hat.
25
18. Doppelbrüche
1. Schreibe den Doppelbruch als Quotient und berechne
3
2 289
a) 74
b) 6
17
2
2. Schreibe mithilfe von Bruchstrichen und berechne dann
a) (3 : 5) : (21 : 10)
b) (5 : 8) : 15
3. Berechne
3 34 + 127
a) 1
5 2 − 4 15
b)
( 12 + 13 ) ⋅ 34 + 78
5 3
2 ⋅ 32
26
19. Verbindung der Rechenarten und Rechengesetze
1. Rechne möglichst geschickt
5 54 + 3 73 + 2 107 + 12 + 1 149
2. Berechne vorteilhaft
11 15 17 38 9
17 ⋅ 19 ⋅ 22 ⋅ 45 ⋅ 20
3. Berechne mithilfe des Distributivgesetzes
2 117 ⋅ 94 − 113 ⋅ 94 + 117 ⋅ 94
4. Rechne auf zwei Weisen
3
15
10
5 ⋅ ( 9 − 15 )
5. Berechne
5
3
1
7 : (2 + 5)
6. In einer Tischtennis-Gruppe sind 12 Schülerinnen und Schüler. Welchen Bruchteil einer
Doppelstunde kann sich der Sportlehrer mit jedem Kind beschäftigen, wenn von der
Doppelstunde für den Aufbau 19 , gemeinschaftliche Spiele 16 , und den Abbau 181 der Zeit
gerechnet wird?
7. a) Die Seiten eines Rechtecks werden halbiert. Wie verändern sich Umfang und
Flächeninhalt des Rechtecks?
b) Eine Quadratseite wird auf ein Drittel gekürzt. Wie verändern sich Umfang und
Flächeninhalt?
27
Zur Geschichte der Bruchrechnung
Die Vorstellung von Brüchen gibt es schon sehr lange. Sie entstand, indem ein Ganzes in gleiche Teile geteilt wurde, z.B. Beute oder Ernte. Bereits vor über 4000 Jahren verwendeten die
Babylonier und Ägypter Zeichen für Brüche, aber nur wenige Menschen waren gebildet genug, um mit ihnen zu rechnen.
In der Keilschrift der Babylonier entstand das Zeichen für ½ aus einem Bildzeichen für ein
zur Hälfte gefülltes Gefäß.
Die Ägypter, die von rechts nach links lasen, stellten ihre Brüche im Normalfall mit der Hieroglyphe „Mund“ dar. Da sie nur Stammbrüche, d.h. Brüche mit dem Zähler 1 verwendeten,
genügte es, dieses Zeichen über den Nenner zu schreiben. Daher konnte auch neben der Hieroglyphe weitergeschrieben werden, wenn der Platz darunter nicht ausreichte.
Für einige Brüche gab es besondere Zeichen,
alle anderen wurden in Stammbrüche zerlegt, wobei darauf geachtet wurde, keinen Teilbruch
doppelt zu verwenden. Im Papyrus Rhind, eine 30 cm breite und 550 cm lange Schriftrolle,
sind alle Brüche mit dem Zähler 2 und den ungeraden Nennern von 5 bis 101 in ihrer
Zerlegung aufgeführt.
28
Eine Ausnahme der Ägypter war das Messen von Getreide oder Flüssigkeiten. Dazu benutzten sie die Maßeinheit Hekat – das ist etwas weniger als fünf Liter – und dazugehörige Bruchteile. Für diese Brüche, die durch fortführendes Halbieren entstanden, verwendeten sie eine
eigene Schreibweise: verschiedene Teile von dem geschminkten Auge des Falkengottes
Horus.
Angeblich wurde das Auge von Seth, dem Gott der Dürre und des Unwetters, im Kampf zerstückelt und anschließend von Thot, dem Gott der Schreibkunst und der Wissenschaft, wieder
geheilt.
Ebenso wie die Ägypter rechneten die Römer meist in Stammbrüchen. Sie leiteten sie von der
Gewichtseinheit 1 As (etwa 327 Gramm) ab. Da diese Größe für Gewürze und Edelmetalle zu
grob war, wurde sie von den Römern in 12 Unzen geteilt. Durch fortschreitendes Halbieren
kam man zu weiteren Unterteilungen.
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Die, uns heute bekannte, Schreibweise mit dem Bruchstrich führten die Inder ein. Im Mittelalter kam sie dann über die Araber nach Mitteleuropa.
Leonardo von Pisa, besser als Fibonacci bekannt, lebte etwa von 1170 – 1240.
Er gilt als größter europäischer Mathematiker des Mittelalters. Als Lebensmittelhändler lernte er in Algerien die Sprache und die Mathematik der Araber kennen.
Nachdem er 1202 von mehreren Reisen zurückkehrte, veröffentlichte er ein umfangreiches
Mathematikbuch. Mit diesem wollte er die italienischen Gelehrten mit der griechischen und
arabischen Mathematik vertraut machen und sie von den Vorzügen des arabischen Ziffernsystems gegenüber dem römischen überzeugen. Weil auch zu dieser Zeit vor allem noch mit
Stammbrüchen gearbeitet wurde, beschäftigte er sich unter anderem mit der Zerlegung von
Brüchen. Dabei kam er zu folgendem Ergebnis: 1n = n 1+ 1 + n ⋅ ( n1 + 1) .
Beweis durch vollständige Induktion
IV:
1
n
=
1
n +1
+ n ⋅ ( n1 + 1)
IA: A (1) ist wahr:
l.S. : 11 = 1
r.S. : 1 +1 1 + 1 ⋅ (11+ 1) = 12 + 12 = 1
IS: A (n) ist wahr A (n + 1) ist wahr
IB: A (n + 1) ist wahr:
l.S. = (n + 11) + 1 + ( n + 1) ⋅ [(1n + 1) + 1] =
=
n +1
( n + 2 ) ⋅ ( n + 1)
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+ ( n + 1) 1⋅ ( n + 2) =
1
n+2
+ ( n + 1) 1⋅ ( n + 2 ) =
n+2
( n + 1) ⋅ ( n + 2 )
=
1
n +1
= r.S.
In der Praxis verwendete er allerdings eine andere Methode um Brüche in Stammbrüche zu
zerlegen: das sogenannte „nimmersatte“ Verfahren. Erklären lässt sich dieses am besten an
Hand eines Beispiels: Zerlegung des Bruches 52 .
1. Ermitteln des nächstkleineren Stammbruches: 13 < 52 , weil 155 < 156
2. Bilden der Differenz: 52 − 13 = 156 − 155 = 151
3. Bilden der Summe: 52 = 13 + 151
4. Ist der im zweiten Schritt entstandene Bruch kein Stammbruch, so fängt man wieder
bei 1. an
In Deutschland wurde der Bruchstrich erst ab ca. 1500 n. Chr. verwendet. 1527 beschriebt
Peter Apian aus Ingolstadt in seinem Rechenbuch „Kauffmannß Rechnung“ die gemischte
Schreibweise von Brüchen.
und 1574 erklärte Adam Riese in einem Rechenbüchlein die Bruchstrichweise.
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Literatur:
Dlugosch u.a., Mathematik 6, Braunschweig 2001
Habler u.a., Mathematik für Realschulen 6, Frankfurt am Main 2001
Padberg, Didaktik der Bruchrechnung, Heidelberg u.a. 1995
Lernkartei zum Bruchrechnen, Ernst Klett Schulbuchverlag Leipzig GmbH, Leipzig 1997
http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/Innsbruck/experimente/dyn_arb.html
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